1、2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分,共60分)1(5分)已知an为等差数列,a34,a5+a79,则a9()A4B5C6D72(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3依次等差数列,若a11,则S5()A16B31C32D633(5分)对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有如下关系:6+2+3,则()A四点O、A、B、C必共面B四点P、A、B、C必共面C四点O、P、B、C必共面D五点O、P、A、B、C必共面4(5分)下列说法错误的是()A“x0”是“x0”的充分不必要条件B命题“若x23x+20,则x1”的
2、逆否命题为:“若x1,则x23x+20”C若pq为假命题,则p,q均为假命题D命题p:xR,使得x2+x+10,则p:xR,均有x2+x+105(5分)两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量(1,0,1),则两平面间的距离是()ABCD36(5分)已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135,设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点,则的最小值是()AB2CD47(5分)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若SABC2,a+b6,2cosC,则c()A2B4C2D38(5分)已知a,b是正数,且满足2a+2b4,那么的取值范围是()ABC
3、D9(5分)已知ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若+2c,则ABC是()A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形10(5分)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线为x+y0,点M在双曲线上,且MF1x轴,若F2同时为抛物线y212x的焦点,则F1到直线F2M的距离为()ABCD11(5分)已知点A(,1)在抛物线C:x22py(p0)的准线l1上,过点A作一条斜率为2的直线l2,点P是抛物线上的动点,则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是()ABC2D12(5分)已知直线l:kxy2k+10与椭圆C1:(ab0)交于A、B两点,
4、与圆C2:(x2)2+(y1)21交于C、D两点若存在k2,1,使得,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A(0,B)C(0,D)二、填空题(每小题5分共20分)13(5分)如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为(090)的平面所截,截面是一个椭圆,当为30时,这个椭圆的离心率为 14(5分)过点的双曲线C的渐近线方程为,P为双曲线C右支上一点,F为双曲线C的左焦点,点A(0,3),则|PA|+|PF|的最小值为 15(5分)已知x0,y0,x+3y+xy9,则x+3y的最小值为 16(5分)已知数列an满足则an的通项公式 三、解答题17(10分)已知命题p:方程x2+2mx+(m+2
5、)0有两个不等的实根;命题q:方程1表示焦点在y轴上的双曲线(1)若q为真命题,求实数m的取值范围;(2)若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围18(12分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn2n+k(1)求k的值及数列an的通项公式an;(2)求数列的前n项和Tn19(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上且经过点(2,4)()求抛物线的方程;()求抛物线被直线2x+y+80所截得的弦长20(12分)在锐角ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且()求角B的大小;()若b6,a+c8,求ABC的面积21(12分)如图在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABC
6、D,侧棱PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD2AB2BC2,O为AD的中点(1)求证PO平面ABCD;(2)求二面角CPDA夹角的正弦值;(3)线段AD上是否存在Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由22(12分)已知动点M到点F(1,0)的距离,等于它到直线x1的距离()求点M的轨迹C的方程;()过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2,分别交曲线C于点A,B和M,N设线段AB,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点;()在()的条件下,求FPQ面积的最小值2018-2019学年陕西省渭南市合阳县高二(上)期末数学试卷(理科
7、)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共60分)1(5分)已知an为等差数列,a34,a5+a79,则a9()A4B5C6D7【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出结果【解答】解:an为等差数列,a34,a5+a79,解得,d,a9a1+8d5故选:B【点评】本题考查等差数列的第9项的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2(5分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3依次等差数列,若a11,则S5()A16B31C32D63【分析】运用等差数列中项性质,结合等比数列通项公式和求和公式,计算即可得到所求值【解答】解:4
8、a1,2a2,a3依次等差数列,可得4a24a1+a3,显然公比q不为1,则4a1q4a1+a1q2,即为q24q+40,解得q2,则S531故选:B【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,等差数列中项的性质,考查运算能力,属于中档题3(5分)对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有如下关系:6+2+3,则()A四点O、A、B、C必共面B四点P、A、B、C必共面C四点O、P、B、C必共面D五点O、P、A、B、C必共面【分析】由已知得+,可得+1,利用共面向量定理即可判断出【解答】解:由已知得+,而+1,四点P、A、B、C共面故选:B【点评】本题考查了共面向量定理,属于基础题4
9、(5分)下列说法错误的是()A“x0”是“x0”的充分不必要条件B命题“若x23x+20,则x1”的逆否命题为:“若x1,则x23x+20”C若pq为假命题,则p,q均为假命题D命题p:xR,使得x2+x+10,则p:xR,均有x2+x+10【分析】A根据充分条件和必要条件的定义进行判断,B根据逆否命题的定义进行判断,C根据复合命题真假关系进行判断,D根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解:A“x0”是“x0”的充分不必要条件,正确,故A正确,B命题“若x23x+20,则x1”的逆否命题为:“若x1,则x23x+20”正确,C若pq为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故C错误,D
10、命题p:xR,使得x2+x+10,则p:xR,均有x2+x+10,正确,故错误的是C,故选:C【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及知识点较多,考查学生的运算和推理能力5(5分)两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量(1,0,1),则两平面间的距离是()ABCD3【分析】求得向量OA的坐标,由题意可得两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值,运用向量的投影定义,计算可得所求值【解答】解:由题意可得(2,1,1),两平行平面的一个法向量(1,0,1),两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值,可得距离为d|,故选:B【点评】本题考查两平行平面的距离,注意运
11、用向量的投影,考查运算能力,属于基础题6(5分)已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135,设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点,则的最小值是()AB2CD4【分析】过点(1,3)的直线l的倾斜角为135,可得直线方程:x+y4再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解:过点(1,3)的直线l的倾斜角为135,可得直线方程:y3(x1),化为:x+y4设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点,x+y4,且x,y0则(x+y),当且仅当y2x时取等号故选:C【点评】本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题7(5分)在AB
12、C中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若SABC2,a+b6,2cosC,则c()A2B4C2D3【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角C,再由面积公式和余弦定理,计算即可得到c的值【解答】解:1,即有2cosC1,可得C60,若SABC2,则absinC2,即为ab8,又a+b6,由c2a2+b22abcosC(a+b)22abab(a+b)23ab623812,解得c2故选:C【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式的运用,考查运算能力,属于中档题8(5分)已知a,b是正数,且满足2a+2b4,那么的取值范围是()
13、ABCD【分析】如图所示,画出可行域,的表示可行域内的点Q(a,b)与P(1,1)所在直线的斜率分别求出直线PA,PB的斜率即可【解答】解:画出的可行域,如图所示,表示可行域内的点Q(a,b)与P(1,1)所在直线的斜率A(4,0),B(0,2)而kPA,kPB33故选:A【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,考查了数形结合的能力,属于中档题9(5分)已知ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若+2c,则ABC是()A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【分析】由已知及正弦定理可得:,而+22,当且仅当sinAsinB时取等号,即2s
14、inC2,解得C90,AB,从而得解【解答】解:+2c,由正弦定理可得:,而+22,当且仅当sinAsinB时取等号2sinC2,即sinC1,又sinC1,故可得:sinC1,C90又sinAsinB,可得AB,故三角形为等腰直角三角形故选:C【点评】本题主要考查了正弦定理,基本不等式的解法,正弦函数的图象和性质,属于中档题10(5分)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线为x+y0,点M在双曲线上,且MF1x轴,若F2同时为抛物线y212x的焦点,则F1到直线F2M的距离为()ABCD【分析】求出双曲线的渐近线的方程,可得ab,由抛物线的焦点坐标,可得c3,即
15、a2+b29,解得a,b,可得双曲线的方程,求得M的坐标和直线MF2的方程,运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值【解答】解:双曲线1(a0,b0)的渐近线方程为yx,由题意可得,又抛物线y212x的焦点为(3,0),即有c3,即a2+b29,解得b,a,可得双曲线的方程为1,令x3,可得y3,可设M(3,),直线MF2的方程为yx+,可得F1到直线F2M的距离为故选:D【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查点到直线的距离的求法,注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程,以及运算能力,属于中档题11(5分)已知点A(,1)在抛物线C:x22py(p0)的准线l1上,过点A作一条斜率为2的直
16、线l2,点P是抛物线上的动点,则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是()ABC2D【分析】点F作直线l2的垂线FH,垂足为H,则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得,|PF|为点P到直线的l1距离,又|PH|为点P到直线l2的距离,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离【解答】解:由题意,抛物线的焦点为F(0,1),则直线l2的方程为2xy40,过点F作直线l2的垂线FH,垂足为H,则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P由抛物线的定义可得,|PF|为点P到直线的l1距离,又|PH|为点P到直线l2的距离,所以点P到直线l1和到直线l2的
17、距离之和的最小值是F到直线l2的距离d,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是故选:B【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道中档题12(5分)已知直线l:kxy2k+10与椭圆C1:(ab0)交于A、B两点,与圆C2:(x2)2+(y1)21交于C、D两点若存在k2,1,使得,则椭圆C1的离心率的取值范围是()A(0,B)C(0,D)【分析】求得直线恒过定点(2,1),即为圆心,CD为直径,由,可得AB的中点为(2,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式,即可得到所求离心率的
18、范围【解答】解:直线l:kxy2k+10,即为k(x2)+1y0,可得直线恒过定点(2,1),圆C2:(x2)2+(y1)21的圆心为(2,1),半径为1,且C,D为直径的端点,由,可得AB的中点为(2,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则+1,+1,两式相减可得+0,由x1+x24y1+y22,可得k,由2k1,即有1,则椭圆的离心率e(0,故选:C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其离心率的范围,注意运用直线恒过圆心,以及点差法求直线的斜率,考查了推理能力与计算能力,属于中档题二、填空题(每小题5分共20分)13(5分)如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为(090)的平
19、面所截,截面是一个椭圆,当为30时,这个椭圆的离心率为【分析】利用已知条件,求出题意的长半轴,短半轴,然后求出半焦距,即可求出题意的离心率【解答】解:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的短半轴为:R,长半轴为:,a2b2+c2,c,椭圆的离心率为:e故答案为:【点评】本题考查椭圆离心率的求法,注意椭圆的几何量与双曲线的几何量(a,b,c)关系的正确应用,考查计算能力14(5分)过点的双曲线C的渐近线方程为,P为双曲线C右支上一点,F为双曲线C的左焦点,点A(0,3),则|PA|+|PF|的最小值为8【分析】先求出双曲线的方程,根据A点在双曲线的两支之间
20、,由双曲线的定义|PF|PF|2a4,进而根据PA|+|PF|AF|5两式相加求得答案【解答】解:由题意,设双曲线方程为(a0,b0),则过点的双曲线C的渐近线方程为,a2,b,A点在双曲线的两支之间,且双曲线右焦点为F(,0),由双曲线的定义|PF|PF|2a4而|PA|+|PF|AF|4两式相加得|PF|+|PA|4+48,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立|PA|+|PF|的最小值为8故答案为:8【点评】本题主要考查了双曲线的定义,考查了学生对双曲线定义的灵活运用15(5分)已知x0,y0,x+3y+xy9,则x+3y的最小值为6【分析】由于要求x+3y的最小值,故在解题时注意把x+3
21、y看为一个整体,需将已知方程中的xy利用基本不等式转化为x+3y的形式【解答】解:由于x0,y0,x+3y+xy9,则9(x+3y)xy,当且仅当x3y时,取“”则此时,由于x0,y0,解得,故x+3y6故答案为6【点评】本题考查利用基本不等式求解式子的最值问题,属于基础题,可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力16(5分)已知数列an满足则an的通项公式【分析】根据所给的关系式,仿写一个有n1项的关系式,注意这个关系式的条件是n大于1,两个式子相减得到只含有第n项的式子,整理出结果,注意对于首相的验证,写成分段形式【解答】解:数列an满足,当n2时,仿仿写一个式子得,an2n+1n2,当n1
22、时,a16,an的通项公式 an故答案为:an【点评】本题考查递推式,仿写是解决本题的关键,注意题目最后对于首项的验证,当首项符合通项时,直接写出通项就可以,当不符合时要写成分段形式三、解答题17(10分)已知命题p:方程x2+2mx+(m+2)0有两个不等的实根;命题q:方程1表示焦点在y轴上的双曲线(1)若q为真命题,求实数m的取值范围;(2)若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围【分析】(1)方程1表示焦点在y轴上的双曲线等价于m+30且12m0;(2)“p或q”为真,“p且q”为假p与q一真一假,分p真q假,p假q真两种情况讨论【解答】解:(1)由已知方程1表示焦点在y轴
23、上的双曲线,则,得,得m3,即q:m3(2)若方程x2+2mx+(m+2)0有两个不等的实根则4m24(m+2)0,解得m1或m2,即p:m1或m2因p或q为真,所以p,q至少有一个为真因p或q为假,所以p,q至少有一个为假因此,p,q两命题应一真一假,当p为真,q为假时,解得3m1或m2;当p为假,q为真时,解集为空集综上,3m1或m2【点评】本题考查了复合命题及其真假,属基础题18(12分)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn2n+k(1)求k的值及数列an的通项公式an;(2)求数列的前n项和Tn【分析】(1)根据公式可求得an,因为数列an为等比数列,所以n1时a1也适合n2时an
24、的解析式从而可求得k(2)由(1)知,因为通项公式符合等差乘等比的形式,所以应用错位相减法求数列的和【解答】解:(1)当n1时,a1S12+k,(1分)当n2时,anSnSn1(2n+k)(2n1+k)2n1,(3分)又an为等比数列,a12+k适合上式,2+k1,得k1,此时an2n1(nN*)(5分)(2),数列的前n项和:Tn1+,Tn,( 8分)得:Tn2,Tn4(12分)【点评】本题考查数列有通项公式及前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意错位相减法的合理运用19(12分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上且经过点(2,4)()求抛物线的方程;()求抛物线被直线2x+y+
25、80所截得的弦长【分析】(I)设抛物线的标准方程为y22Px,(P0),代入点的坐标求P,可得答案;(II)联立直线与抛物线方程组,解得交点坐标,利用两点间距离坐标公式计算【解答】解:(I)设抛物线的标准方程为y22Px,(P0),点(2,4)在抛物线上,422P(2)P4,抛物线的方程为y28x;(II)设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组解得,|AB|6【点评】本题考查了抛物线的标准方程,直线与抛物线的相交弦长问题,计算要细心20(12分)在锐角ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且()求角B的大小;()若b6,a+c8,求ABC的面积【分析】()
26、由2bsinAa,以及正弦定理,得sinB,结合B为锐角,即可得解()由余弦定理可得:a2+c2ac36,由a+c8,解得ac的值,根据三角形面积公式即可得解【解答】解:()由2bsinAa,以及正弦定理,得sinB,又B为锐角,B,(5分)()由余弦定理b2a2+c22accosB,a2+c2ac36,a+c8,ac,SABC(10分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了正弦函数的性质,属于基础题21(12分)如图在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD2AB2BC2,O为A
27、D的中点(1)求证PO平面ABCD;(2)求二面角CPDA夹角的正弦值;(3)线段AD上是否存在Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由【分析】(1)推导出POAD,利用侧面PAD底面ABCD,能证明PO平面ABCD(2)OCAD,又PO平面ABCD,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角CPDA夹角的正弦值(3)设线段AD上存在Q(a,b,c),01,使得它到平面PCD的距离为,利用向量法能求出【解答】证明:(1)侧棱PAPD,O为AD的中点,POAD,侧面PAD底面ABCD,侧面PAD底面ABCDAD,PO平面
28、ABCD解:(2)底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD2AB2BC2,OCAD,又PO平面ABCD,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,平面PAD的法向量(1,0,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),设平面PCD的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,1,1),设二面角CPDA夹角为,则cos,sin,二面角CPDA夹角的正弦值为(3)设线段AD上存在Q(a,b,c),01,使得它到平面PCD的距离为,则A(0,1,0),D(0,1,0),(a,b+1,c)(0,2,0),Q(0,21,
29、0),(0,21,1),Q到平面PCD的距离d,解得,Q(0,0),【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,考查满足点到平面的距离的点是否存在的判断与求法,考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题22(12分)已知动点M到点F(1,0)的距离,等于它到直线x1的距离()求点M的轨迹C的方程;()过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2,分别交曲线C于点A,B和M,N设线段AB,MN的中点分别为P,Q,求证:直线PQ恒过一个定点;()在()的条件下,求FPQ面积的最小值【分析】()设动点M的坐标为(x,y),由题意得,由此能求出点M的轨迹C的方程
30、()设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为由题意可设直线l1的方程为yk(x1)(k0),由得k2x2(2k2+4)x+k20再由根的判别式和根与系数的关系进行求解()题题设能求出|EF|2,所以FPQ面积【解答】解:()设动点M的坐标为(x,y),由题意得,化简得y24x,所以点M的轨迹C的方程为y24x(4分)()设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为由题意可设直线l1的方程为yk(x1)(k0),由得k2x2(2k2+4)x+k20(2k2+4)24k416k2+160因为直线l1与曲线C于A,B两点,所以x1+x22+,y1+y2k(x1+x22)所以点P的坐标为由题知,直线l2的斜率为,同理可得点的坐标为(1+2k2,2k)当k1时,有,此时直线PQ的斜率kPQ所以,直线PQ的方程为,整理得yk2+(x3)ky0于是,直线PQ恒过定点E(3,0);当k1时,直线PQ的方程为x3,也过点E(3,0)综上所述,直线PQ恒过定点E(3,0)(10分)()可求得|EF|2,所以FPQ面积当且仅当k1时,“”成立,所以FPQ面积的最小值为4(13分)【点评】本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用,具有一定的难度,解题时要认真审题,注意挖掘隐含条件,仔细解答