1、2018-2019学年陕西省商洛市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，Bx|x+1，则AB（）A（，2）B（0，）C（0，+）D（，2）2（5分）设z35i，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）已知向量（5，5），（0，3），则与的夹角为（）ABCD4（5分）设x，y满足约束条件，则zx+3y的最大值是（）A3B2C4D65（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率
2、为0.2若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（）A0.36B0.49C0.51D0.756（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3S515，则S7（）A4B7C14D7（5分）（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于（）A80B40C20D108（5分）已知cos（+）3cos（），则tantan（）ABC2D29（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，E为棱BB1的中点，则异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）设圆x2+y2+2x20截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD，则四边形ACBD的面积是（）AB
3、CD811（5分）已知三棱锥DABC外接球的表面积为12，ABC是边长为1的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD12（5分）若定义域为R的偶函数f（x）满足f（2x）f（x），且当0x1时，f（x）1x，则函数g（x）f（x）ex在2，2上的最大值为（）A1BeC2eDe二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）在正项等比数列an中，a1a39，a524，则公比q 14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为 15（5分）已知曲线yx2+4x+m1与x轴只有一个交点，则m 16
4、（5分）设F1，F2分别为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C左支于A，B两点，且|AF2|6，|BF2|10，|AB|8，则双曲线C的离心率为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（ab+c）（sinA+sinBsinC）bsinC（1）求A；（2）若A+BC，b1，求ABC的周长18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，且ADBC，ABBC，PAAD2，BC3，AB，PD2，PB（1）证明：PA平面ABCD（2）求平面PB
5、C与平面PAD所成锐二面角的余弦值19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点与双曲线y21的右焦点重合（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线yx+1与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求y1y2的值20（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示组别40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男235151812女051010713（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请
6、完成答题卡中的22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为了鼓励市民关注环保针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动，每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望附表及公式，na+b+c+dP（K2k）0.15
7、0.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821（12分）已知函数f（x）（x1）ex+alnx（1）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）存在最小值，证明：f（x）的最小值不大于0（二）选考题：共10分.请考生从第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为（1）若l与C相交于A，B两点P（2，0），求|P
8、A|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|3xa2|+|3x3|+a（1）当a2时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）17，求a的取值范围2018-2019学年陕西省商洛市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x23x0，Bx|x+1，则AB（）A（，2）B（0，）C（0，+）D（，2）【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|x
9、23x0x|0x3，Bx|x+1x|x，ABx|0x（0，）故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）设z35i，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】由已知求得的坐标，则答案可求【解答】解：z35i，在复平面内对应的点的坐标为（3，5），位于第一象限故选：A【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）已知向量（5，5），（0，3），则与的夹角为（）ABCD【分析】根据题意，设与的夹角为，由、的坐标可得|5，|3，50+5（3）15，由向量数量积的计算公式可得cos的值，
10、据此分析可得答案【解答】解：根据题意，设与的夹角为，（0）向量（5，5），（0，3），则|5，|3，50+5（3）15，则cos，则；故选：D【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题4（5分）设x，y满足约束条件，则zx+3y的最大值是（）A3B2C4D6【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：如图即为x，y满足约束条件，的可行域，由，解得A（0，2）由图易得：当zx+3y经过可行域的A时，取得最大值，zx+3y的最大值为6，故选：D【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条
11、件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解5（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（）A0.36B0.49C0.51D0.75【分析】乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，由此能求出乙至少赢甲一局的概率【解答】解：甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，由乙至少赢甲一局是指两局
12、比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，乙至少赢甲一局的概率为：p0.30.3+0.30.7+0.70.30.51故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S3S515，则S7（）A4B7C14D【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式及前n项和公式，求出首项和公差的值，可得结论【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，且S3S515，a4+a50，2a1+7d0再根据S33a1+3d15，可得a17，d2，则S77a1+49+21（2）7，故选：B【点评】
13、本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前n项和公式，属于基础题7（5分）（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于（）A80B40C20D10【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2的系数【解答】解：（1+2x）5的展开式的 通项公式为Tr+12rxr，令r2，可得x2的系数等于2240，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8（5分）已知cos（+）3cos（），则tantan（）ABC2D2【分析】直接利用和角公式和同角三角函数关系式的应用求出结果【解答】解
14、：已知cos（+）3cos（），所以：coscossinsin3coscos+3sinsin，所以：4sinsin2coscos，故：故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型9（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，E为棱BB1的中点，则异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（）ABCD【分析】取CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，推导出四边形BCEF是平行四边形，从而异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，由此能求出异面直线AE与A1D所成角的余弦值【解答】解：取
15、CC1的中点F，连结DF，A1F，EF，E为棱BB1的中点，EFBC，EFBC，四边形BCEF是平行四边形，异面直线AE与A1D所成角即为相交直线DF与A1D所成角，ABAD2，AA14，A1D2，DF，A1F2，A1DF是直角三角形，A1FD90，cos，异面直线AE与A1D所成角的余弦值为故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）设圆x2+y2+2x20截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD，则四边形ACBD的面积是（）ABCD8【分析】求得，即可得四边形ACBD的面积【解答】解：x2+y2+
16、2x20可化为（x+1）2+y23，所以圆心坐标为（1，0），半径为，则，四边形ACBD的面积故选：C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题11（5分）已知三棱锥DABC外接球的表面积为12，ABC是边长为1的等边三角形，且三棱锥DABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则三棱锥DABC的体积为（）ABCD【分析】设球心O到平面ABC的距离为d，求出球O的半径，通过VDABC2VOABC，求解即可【解答】解：设球心O到平面ABC的距离为d，三棱锥DABC外接圆的表面积为12，则球O的半径为，所以，故，由O是CD的中点得：，故选：B【点评】本题考查几何体的外接球以及几何体的体积的求法，
17、等体积法的应用，是中档题12（5分）若定义域为R的偶函数f（x）满足f（2x）f（x），且当0x1时，f（x）1x，则函数g（x）f（x）ex在2，2上的最大值为（）A1BeC2eDe【分析】根据已知的偶函数以及f（2x）f（x）可以求得函数f（x）在2，2上的解析式，进而得到g（x）在2，2上的解析式，对g（x）进行求导可知g（x）的增减性，通过增减性求得最大值【解答】解：f（2x）f（x），f（x）f（2x）设x（1，2，则（2x）0，1），f（2x）1（2x）x1，当x（1，2时，f（x）f（2x）1x又f（x）为偶函数，当x2，0）时，f（x）x+1，当2x0时，g（x）0，当0x2时
18、，g（x）0，g（x）在2，0）是增加的，在0，2上是减少的，g（x）在2，2上的最大值为g（0）1e01故选：A【点评】这道题目考察了函数的基本性质对称性，奇偶性，周期性同时利用导函数的性质研究了函数在给定区间内的最值问题，考察内容较多，相对较难二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13（5分）在正项等比数列an中，a1a39，a524，则公比q2【分析】运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比【解答】解：在正项等比数列an中，a1a39，a524，可得a12q29，a1q424，解得q2，a1，（负的舍去）故答案为：2【点评】本题考查等比数列的通
19、项公式和方程思想，属于基础题14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的S的值为9【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值【解答】解：模拟程序的运行过程知，k1时，S1，k2时，S1，k3时，S9，k4时，不满足k4，结束程序，输出S9故答案为：9【点评】本题考查了程序框图的运行问题，是基础题15（5分）已知曲线yx2+4x+m1与x轴只有一个交点，则m5【分析】由曲线yx2+4x+m1与x轴只有一个交点0可求m的值【解答】解：yx2+4x+m1与x轴只有一个交点，164m+40，m5故答案为：5【点评】本题考查由判定二次函数与x轴交点个数问题，属于基础题16（5分）设F1，F
20、2分别为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C左支于A，B两点，且|AF2|6，|BF2|10，|AB|8，则双曲线C的离心率为【分析】由题意可得ABF2为直角三角形，设|AF1|m，|BF1|n，运用双曲线的定义可得a2，再由直角三角形AF1F2，用勾股定理可得c，由离心率公式可得所求值【解答】解：|AF2|6，|BF2|10，|AB|8，可得|AB|2+|AF2|2|BF2|2，即ABF2为直角三角形，设|AF1|m，|BF1|n，可得m+n8，由双曲线的定义可得6m2a，10n2a，可得a2，m2，在直角三角形AF1F2中，可得（2c）222+6240，即c，可得e
21、故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理和化简运算能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（ab+c）（sinA+sinBsinC）bsinC（1）求A；（2）若A+BC，b1，求ABC的周长【分析】（1）由正弦定理，余弦定理可得cosA，结合范围A（0，），可得A的值（2）由已知利用三角形的内角和定理可求B，C的值，进而根据正弦定理可求a，c的值，即可得解ABC的周长【解答】解：（1）（ab+c）（sinA+sinBsinC
22、）bsinC，由正弦定理可得：（ab+c）（a+bc）bc，可得：a+（cb）a（cb）a2（cb）2bc，可得：b2+c2a2bc，由余弦定理可得：cosA，A（0，），A（2）A+BC，A+B+C，B，C，a，c2，ABC的周长为3+【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的内角和定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，且ADBC，ABBC，PAAD2，BC3，AB，PD2，PB（1）证明：PA平面ABCD（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出PAAD，PAAB，由
23、此能证明PA平面ABCD（2）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值【解答】解：（1）证明：PAAD2，PD2，PA2+AD2PD2，即PAAD，PAAB，ADABA，PA平面ABCD（2）解：由题意得AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），C（，3，0），A（0，0，0），P（0，0，2），则（，0，2），（0，3，0），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取x，则（），AB平面PAD，平面PAD的一个法向量（1，0
24、，0），设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为，则cos平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点与双曲线y21的右焦点重合（1）求抛物线C的方程及焦点到准线的距离；（2）若直线yx+1与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求y1y2的值【分析】（1）求得双曲线的右焦点，可得抛物线的焦点，以及焦准距；（2）联立抛物线方程和直线方程，运用韦达定理，可得所求【解答】解：（1）双曲线y21的右焦点为（2，
25、0），可得2，即p4，可得抛物线的方程为y28x，焦点到准线的距离为4；（2）直线yx+1与抛物线y28x联立，消去x可得y216y+160，则y1y216【点评】本题考查双曲线的方程和抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，属于基础题20（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示组别40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男235151812女051010713（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称
26、为“环保关注者”，请完成答题卡中的22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为了鼓励市民关注环保针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动，每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望附表及公式，na+b+c+d
27、P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题目所给的数据可求22列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P1（）3（）3，解出X的分布列数学期望E（X）即可；【解答】解：（1）由图中表格可得22列联表如下： 男 10 4555 女 15 30 45 合计 2575100规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，将22列联表中的数据代入公式，na+b+c+d计算得：3.0
28、33.841；所以在犯错误的概率不超过0.05的前下，不能认为是否为环保关注者”与性别有关，（2）视频率为概率，用户为男“环保达人”的概率为：，为女“环保达人”的概率为：，抽取的3名用户中既有男“环保达人“又有女“环保达人”的概率为：P1（）3（）3，X的取值为：10，20，30，40；P（X10）；P（X20）+；P（X30）C21；P（X40）；所以X的分布列为：X 10 20 30 40 P E（X）10+20+30+40【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目21（12分）已知函数f（x）（x1）ex+alnx（1）讨论f（x）的导
29、函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）存在最小值，证明：f（x）的最小值不大于0【分析】（1）根据条件求出f（x），然后通过构造函数g（x）x2ex（x0），进一步得到f（x）的零点个数；（2）由题意可知a0时，函数f（x）无最小值，则只需讨论当a0时，f（x）是否存在最小值即可【解答】解：（1）f（x）（x1）ex+alnx，则令g（x）x2ex（x0），则g（x）（x2+2x）ex0，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）0，当a0时，导函数f（x）没有零点；当a0时，导函数f（x）只有一个零点（2）证明：当a0时，f（x）0，则函数f（x）无最小值；故a0时，必存在x00
30、，使得，当0xx0时，f（x）0，此时f（x）单调递减；当xx0时，f（x）0，此时f（x）单调递增，令，则令h（x）0，则x1，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，h（x）h（1）0，即f（x0）0，f（x）的最小值不大于0【点评】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题（二）选考题：共10分.请考生从第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的
31、极坐标方程为（1）若l与C相交于A，B两点P（2，0），求|PA|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径【分析】（1）先将圆C的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线l的参数方程代入，利用参数t的几何意义可得；（2）设出圆M的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理列式可得【解答】解：（1）由，得x2+y210，将代入x2+y210，得t22t60，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t26，故|PA|PB|tt2|6（2）直线l的普通方程为y+20，设圆M的方程为（xa）2+（yb）2a2（a0）圆心（a，0）到直线l的距离为d
32、，因为21，所以d2a2，解得a18（a10，舍去），则圆M的半径为13，【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修4-5：不等式选讲（10分）23设函数f（x）|3xa2|+|3x3|+a（1）当a2时，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）17，求a的取值范围【分析】（1）代入a的值，求出函数f（x）的解析式，解不等式求出不等式的解集即可；（2）根据不等式的性质求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）a2时，f（x），由56x0，解得：x，由6x90，解得：x，故不等式f（x）0的解集是（，）；（2）f（x）|3xa2|+|3x3|+a|3xa23x+3|+a|a23|+a，|a23|+a17，解得：a5或a4，故a的范围是（，5）（4，+）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道常规题
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