1、2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）1（4分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A32B16C8D42（4分）下列方程中，以x2y0为渐近线的双曲线是（）A1B1C1D13（4分）设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）ABCD4（4分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A2 个B1 个C3 个D4 个5（4分）已知f（
2、x）1+xsinx，则f（2）、f（e）、f（）的大小关系正确的是（）Af（2）f（e）f（）Bf（e）f（2）f（）Cf（2）f（）f（e）Df（）f（e）f（2）6（4分）已知函数f（x）xlnx，则f（x）（）A在（0，+）上递增B在（0，+）上递减C在上递增D在上递减7（4分）抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2+y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（）ABCD8（4分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是（）A2B4CD9（4分）如图所示的是函数f（x）x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22
3、等于（）ABCD10（4分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D811（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）12（4分）已知函数f（x）+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（2，0）与（0，2）内，则的取值范围为（）A（，1）（，+）BCD二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13（4分）设点A（2，3）与抛物线y24x上的点P之
4、间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为 14（4分）椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 15（4分）函数f（x）x315x23x+6的单调递增区间为 16（4分）已知函数f（x）ex2x+2m有零点，则实数m的取值范围是 三、解答题（本题共4小题，共36分）17（9分）若函数f（x）ax3bx+4，当x2时，函数f（x）有极值（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）k有3个不同的根，求实数k的取值范围18（9分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（1）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点x1处的切线方程；（2）求f（x）在区间0
5、，2上的最小值19（9分）已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）经过点（1，f（1）的切线方程20（9分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率（1）分别求出抛物线C和椭圆E的方程；（2）过点D（1，2）作直线l交抛物线C于A、B两点，经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M，求|DM|的最小值2018-2019学年陕西省西安市西工大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）1（4分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线
6、过F1交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为（）A32B16C8D4【分析】先由椭圆方程求得长半轴，而ABF2的周长为AB+BF2+AF2，由椭圆的定义求解即可【解答】解：椭圆a4，b，c3根据椭圆的定义AF1+AF22a8BF1+BF22a8AF1+BF1ABABF2的周长为4a16故选：B【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，应用的定义的基本特征，是与焦点有关2（4分）下列方程中，以x2y0为渐近线的双曲线是（）A1B1C1D1【分析】求出双曲线的渐近线方程即可推出结果【解答】解：1的渐近线方程为：x2y0所以A正确1的渐近线方程为：xy0所以B不正确1的渐近线方程为：2xy0所以C不正确
7、1的渐近线方程为：xy0所以D不正确故选：A【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力3（4分）设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）ABCD【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在x轴，然后对选项进行验证即可得到答案【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选：B【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握4（4分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有
8、极小值（）A2 个B1 个C3 个D4 个【分析】由图象得：f（x）的增区间为（a，c），（d，0），（0，e），减区间为（c，d），（e，b），从而求出函数f（x）在开区间（a，b）内有1个极小值【解答】解：函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，由图象得：当axc，或dx0，或0xe时，f（x）0，当cxd或e，xd时，f（x）0，f（x）的增区间为（a，c），（d，0），（0，e），减区间为（c，d），（e，b），f（d）是函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值，函数f（x）在开区间（a，b）内有1个极小值故选：B【点评】本题考查函数的极小值
9、的个数的求法，考查导数性质、函数的单调性、函数的极值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题5（4分）已知f（x）1+xsinx，则f（2）、f（e）、f（）的大小关系正确的是（）Af（2）f（e）f（）Bf（e）f（2）f（）Cf（2）f（）f（e）Df（）f（e）f（2）【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得f（x）在R上为增函数，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）1+xsinx，则f（x）1cosx0，则f（x）在R上为增函数，又由2e，则有f（）f（e）f（2）；故选：D【点评】本题考查函数单调性的判定，关键是利用导数分析函数的单调性，属于基础题6（4
10、分）已知函数f（x）xlnx，则f（x）（）A在（0，+）上递增B在（0，+）上递减C在上递增D在上递减【分析】先对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可得答案【解答】解：f（x）xlnxf（x）lnx+1当0x时，f（x）0，函数f（x）单调递减当x时，f（x）0，函数f（x）单调递增故选：D【点评】本题主要考查根据函数的导数值的正负判断原函数的单调性的问题，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减7（4分）抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x2+y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（）ABCD【分析】根据题意，由
11、椭圆的方程计算可得其焦点坐标，即可得抛物线的焦点的坐标，由抛物线的几何性质，即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的方程为4x2+y21，其标准方程为：+1，其焦点坐标为（0，），抛物线的焦点是椭圆4x2+y21的一个焦点，则，则此抛物线的焦点到准线的距离p；故选：B【点评】本题考查抛物线的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意抛物线的焦点到准线的距离是p8（4分）过抛物线y22px（p0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值是（）A2B4CD【分析】由题意得直线AB的方程为yx，与抛物线方程消去y关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义得出|
12、AB|4p8，从而解出p的值【解答】解：直线AB的方程为yx，与抛物线方程消去y，得x23px+0设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义，得|AB|x1+x2+p4p8解之得p2故选：A【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题9（4分）如图所示的是函数f（x）x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）ABCD【分析】由图象知f（x）0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解【解答】解：由图象知f（x）0的根为0，1，2，d0f（
13、x）x3+bx2+cxx（x2+bx+c）0x2+bx+c0的两个根为1和2b3，c2f（x）x33x2+2xf（x）3x26x+2x1，x2为3x26x+20的两根，故选：C【点评】本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系10（4分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，所以，此二次函
14、数对应的抛物线的对称轴为x02，因为2x02，所以当x02时，取得最大值，故选：C【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力11（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（1）0，则不等式xf（x）0的解集为（）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）【分析】由题意构造函数g（x）xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）0得g（
15、1）0、还有g（1）0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集【解答】解：设g（x）xf（x），则g（x）xf（x）xf（x）+xf（x）xf（x）+f（x）0，函数g（x）在区间（0，+）上是增函数，f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）xf（x）是R上的奇函数，函数g（x）在区间（，0）上是增函数，f（1）0，f（1）0；即g（1）0，g（1）0xf（x）0化为g（x）0，设x0，故不等式为g（x）g（1），即1x；设x0，故不等式为g（x）g（1），即1x0故所求的解集为（1，0）（1，+）故选：A【点评】本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调
16、性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值12（4分）已知函数f（x）+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（2，0）与（0，2）内，则的取值范围为（）A（，1）（，+）BCD【分析】函数的两个极值分别为f（x1）和f（x2），f（x）x2+ax+2b0的两个根为x1，x2，x1，x2分别在区间（2，0）与（0，2）内，可得，画出可行域，设Q（1，1），设可行域ABC内部的点为P（a，b）根据斜率计算公式即可得出【解答】解：函数的两个极值分别为f（x1）和f（x2），f（x）x2+ax+2b0的两个根为x1，x2，x1，x2分别在区间（2
17、，0）与（0，2）内，所以：化为：画出可行域，设Q（1，1），设可行域ABC内部的点为P（a，b）kAQ，kBQ1的取值范围为（，1）（，+）故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、可行域、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13（4分）设点A（2，3）与抛物线y24x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为【分析】作图根据抛物线的定义将d1+d2的最小值转换为两点间距离最短可得答案【解答】解：抛物线y24x，可知：抛物线焦点F（1，0）；点A 在抛物线外侧点A（2
18、，3）与抛物线上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，根据抛物线定义得：d2PF；d1AP则d1+d2的最小值转换为d1+d2AP+PFAF；故答案为：d1+d2的最小值为；【点评】考查抛物线的定义，两点间距离公式运算，数形结合法，属于基础题14（4分）椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，通过椭圆的2c，2b，2a是等比数列建立关于a，b，c的等式，求出椭圆的离心率即可【解答】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，2c，2b，2a成等比数
19、列，4b22a2c，b2acb2a2c2ac，两边同除以a2得：e2+e10，解得，e，故答案为：【点评】本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题15（4分）函数f（x）x315x23x+6的单调递增区间为（，5、5+，+）【分析】根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系可得f（x）3x230x30，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）x315x23x+6，其导数为f（x）3x230x3，若f（x）3x230x30，解可得：x5或x5+，则函数f（x）的递增区间为（，5、5+，+）；故答案为：（，5、5+，+）【点评】本题考查
20、利用导数分析函数的单调性，关键是掌握函数的单调性与导数的关系，属于基础题16（4分）已知函数f（x）ex2x+2m有零点，则实数m的取值范围是m|mln2eln2【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调区间，进而可得f（x）的最小值，结合函数零点的定义分析可得f（ln2）eln22ln2+2m0，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）ex2x+2m，则其导数f（x）ex2，令f（x）ex20可得xln2，分析可得：在（，ln2）上，f（x）0，函数f（x）为减函数，在（ln2，+）上，f（x）0，函数f（x）为增函数，
21、则f（x）存在最小值f（ln2），其f（ln2）eln22ln2+2m，若函数f（x）ex2x+2m有零点，则有f（ln2）eln22ln2+2m0，解可得：mln2eln2，即m的取值范围为m|mln2eln2；故答案为：m|mln2eln2【点评】本题考查函数的零点的判定，涉及函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题三、解答题（本题共4小题，共36分）17（9分）若函数f（x）ax3bx+4，当x2时，函数f（x）有极值（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）k有3个不同的根，求实数k的取值范围【分析】（1）求出f（x）3ax2b，利用当x2时，函数f（x）有极值列出方程组求解即可（2）
22、求出函数的极值点，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后推出a的范围即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）3ax2b由题意；，解得a，b4，所求的解析式为f（x）（2）由（1）可得f（x）x24（x2）（x+2）令f（x）0，得x2或x2，当x2时，f（x）0，当2x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0因此，当x2时，f（x）有极大值，当x2时，f（x）有极小值，函数f（x）的图象大致如图由图可知：【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性，函数的零点个数，考查分析问题解决问题的能力18（9分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（1）若f（1）3，求a的值及
23、曲线yf（x）在点x1处的切线方程；（2）求f（x）在区间0，2上的最小值【分析】（1）根据题意，求出函数f（x）的导数，又由f（1）32a3，解可得a的值，进而可得f（3）的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，求出函数f（x）的导数，令f（x）0，解得x10，x2；分情况讨论x1与x2的大小，可得函数在区间0，2上的单调性，据此求出函数的最值，综合即可得答案【解答】解：（1）根据题意，f（x）x2（xa），则f（x）3x22ax，因为f（1）32a3，所以a0当a0时，f（1）1，f（1）3，所以曲线yf（x）在点x1处的切线方程为3xy20（2）由（1）可知，f（x）3x2
24、2ax令f（x）0，解得x10，x2当 0，即a0，f（x）在0，2上单调递增，从而fminf（0）0当 2，即a3，f（x）在0，2上单调递减，从而fminf（2）84a当02，即0a3，f（x）在0，上单调递减，在，2上单调递增，从而fminf（）综上所述，fmin【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于中档题19（9分）已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）经过点（1，f（1）的切线方程【分析】（1）可得f（x）即可得出单调性与极值（2）f（1）0f（1）0利用点斜式即可得出切线方程【解答】解：（1）f（x）可得：函数f（
25、x）在（，1），（1，+）上单调递减，在（1，1）上单调递增x1时，函数f（x）取得极小值，f（1）0x1时，函数f（x）取得极大值，f（1）（2）f（1）0f（1）0函数f（x）经过点（1，f（1）的切线方程为y0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性切线方程值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（9分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率（1）分别求出抛物线C和椭圆E的方程；（2）过点D（1，2）作直线l交抛物线C于A、B两点，经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相
26、交于点M，求|DM|的最小值【分析】（1）根据焦点坐标求出抛物线方程，根据端点坐标和离心率求出椭圆的方程；（2）设直线l斜率为k，联立方程组得出A，B两点的坐标关系，根据导数的几何意义求出两条切线的方程，得出M的坐标，从而得出|DM|关于k的函数解析式，根据二次函数的性质求出|DM|的最小值【解答】解：（1）F（0，），p，抛物线C的方程为：x2y；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，不妨设椭圆的方程为：1，点F是它的一个顶点，故b，又e，a2，椭圆E的方程为：+1（2）显然直线l有斜率，设直线l的方程为yk（x1）+2，联立方程组，消元可得x2kx+k20，设A（x1，x12），B（x2，x22），则x1x2k2，x1+x2k由x2y可得yx2，y2x，故切线l1的方程为：y2x1（xx1）+x12，切线l2的方程为：y2x2（xx2）+x22，联立可得M点坐标为M（，x1x2），即M（，k2），|DM|，当k时，|DM|取得最小值【点评】本题考查了抛物线、椭圆的定义，直线与抛物线的位置关系，切线方程的求解，属于中档题
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