1、2018-2019学年陕西省西安市阎良区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“”的否定是（）AxR，BxR，lnx0CD2（5分）抛物线y2x的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）3（5分）命题“若a+b1，则a2+b21”的逆否命题为（）A若a2+b21，则a+b1B若a2+b21，则a+b1C若a+b1，则a2+b21D若a2+b21，则a+b14（5分）若（2，3，1）是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A（0，3，1）B（2，0，1）C（
2、2，3，1）D（2，3，1）5（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+1（a0）的焦距为4，则该椭圆的长轴长为（）A4B8C2D26（5分）如图，在棱长均相等的四面体OABC中，点D为AB的中点，CEED，设，则（）A+B+C+D+7（5分）已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A2B4C5D68（5分）a5是命题“x1，2，x2a0”为真命题的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（5分）若双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线与直线y2x垂直，则此双曲线的离心率为（）A2BCD10（5分）命题“a+b是偶数，则
3、a，b都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A0B1C2D311（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为BB1的中点，则点C到平面A1D1E的距离为（）ABCD12（5分）已知点F是椭圆+1（ab0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知椭圆+1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线交椭圆于M、N两点，则MNF2的周长为 14（5分）已知向量（2x，x+1，1），（2，4，k），若与共线，则k 15（5分）已知
4、点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，则2等于 16（5分）已知点M是抛物线x24y上的一个动点，则点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线y21有公共焦点，且过点（）的双曲线标准方程18（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的顶点在坐标原点，焦点为圆M：（x2）2+y24的圆心（）求抛物线C的标准方程和准线方程；（）若直线l：ykx+b（k0）为物线C的切线，证明：圆心M到直线l的距离恒大于2
5、19（12分）已知命题p：m1am2+1；命题q：函数f（x）log2xa在区间（，4）上有零点（）当m1时，若（p）q为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的取值范围20（12分）已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA2，CE1请用空间向量知识解答下列问题：（）求证：PO平面BDE；（）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值21（12分）已知椭C：（ab0）的离心率e，坐标原点O到直线l：ybx+2的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）已知定点E（1，0），若直线ykx+2（k0）与椭圆C相交
6、于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0，求k的值22（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PAAB1（）证明：EF平面DCP（）设点G是线段AB的中点，求二面角CPDG的余弦值2018-2019学年陕西省西安市阎良区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“”的否定是（）AxR，BxR，lnx0CD【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题P的否定p即可【解答】解：命题“”，它的否定是
7、：“xR，lnx”故选：A【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，直接写出答案即可，是基础题2（5分）抛物线y2x的焦点坐标为（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【分析】由抛物线y2x可得，即可得出【解答】解：由抛物线y2x可得，其焦点坐标为故选：C【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题3（5分）命题“若a+b1，则a2+b21”的逆否命题为（）A若a2+b21，则a+b1B若a2+b21，则a+b1C若a+b1，则a2+b21D若a2+b21，则a+b1【分析】根据逆否命题的定义，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命
8、题“若a+b1，则a2+b21”的逆否命题是“若a2+b21，则a+b1”，故选：A【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题4（5分）若（2，3，1）是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A（0，3，1）B（2，0，1）C（2，3，1）D（2，3，1）【分析】利用两向量共线的条件即可找出平面的法向量【解答】解：（2，3，1）（2，3，1），向量（2，3，1）与平面的一个法向量平行，它也是此平面的法向量故选：D【点评】本题主要考查了共线向量与共面向量，正确理解平面的法向量是解题的关键5（5分）已知焦点在y轴上的椭圆+1（a0）的焦距为4，则该椭圆的长轴长为（）
9、A4B8C2D2【分析】利用已知条件，推出a，然后求解椭圆的长轴长；【解答】解：焦点在y轴上的椭圆+1（a0）的焦距为4，可得a2412，解得a4，所以2a8故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题6（5分）如图，在棱长均相等的四面体OABC中，点D为AB的中点，CEED，设，则（）A+B+C+D+【分析】利用空间向量加法法则直接求解【解答】解：在棱长均相等的四面体OABC中，点D为AB的中点，CEED，设，则+（）+（+）+（）故选：D【点评】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）已知双曲线x21上一点P到它的一
10、个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于（）A2B4C5D6【分析】由已知可得双曲线上的点到焦点的最近距离为3，结合双曲线的定义，可得答案【解答】解：双曲线x21的a1，c4，则双曲线上的点到焦点的最近距离为3，若双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，点P到另一个焦点的距离等于4+26，或422（舍），故选：D【点评】本题考查的知识点是双曲线的性质，双曲线的定义，难度不大，属于基础题8（5分）a5是命题“x1，2，x2a0”为真命题的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由x的范围求得x2的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案
11、【解答】解：x1，2，有x21，4，则由a5，可得x1，2，x2a0成立；反之，x1，2，x2a0成立，可得a4a5是命题“x1，2，x2a0”为真命题的充分而不必要条件故选：A【点评】本题考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题9（5分）若双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线与直线y2x垂直，则此双曲线的离心率为（）A2BCD【分析】由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，再利用c2a2+b2，即可得双曲线的离心率【解答】解：双曲线mx2y21（m0）的一条渐近线yx，渐近线与直线y2x垂直，故一条渐近线的斜率为，则m，即a2，b1，c，双曲线的离心率e故选：B【点
12、评】本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，是基础题10（5分）命题“a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A0B1C2D3【分析】根据四种命题之间的真假关系，结合题意，判断原命题和逆命题的真假性即可【解答】解：命题“a+b是偶数，则a，b都是偶数”，是假命题；则它的逆否命题是假命题；又它的逆命题是“a、b都是偶数，则a+b是偶数”，它是真命题，所以它的否命题也是真命题；综上，真命题有2个故选：C【点评】本题考查了四种命题之间的真假性判断问题，是基础题11（5分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为BB1的
13、中点，则点C到平面A1D1E的距离为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面A1D1E的距离【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，1，），（1，0，0），（1，1，），（0，1，1），设平面A1D1E的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，2），点C到平面A1D1E的距离为：故选：A【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
14、想，是中档题12（5分）已知点F是椭圆+1（ab0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则该椭圆的离心率为（）ABCD【分析】利用椭圆的简单性质，椭圆的通径与焦距的关系，列出方程求解即可【解答】解：点F是椭圆+1（ab0）的右焦点，过F作垂直于长轴的垂线交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，可得：c，即a2c2ac0，可得e2+e10，e（0，1），解得e故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知椭圆+1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线
15、交椭圆于M、N两点，则MNF2的周长为16【分析】利用椭圆的定义可知|F1M|+|F2M|和|F1N|+|F2N|的值，进而把四段距离相加即可求得答案【解答】解：利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|2a8，|F1N|+|F2N|2a8MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|8+816故答案为：16【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质解题的关键是利用椭圆的第一定义14（5分）已知向量（2x，x+1，1），（2，4，k），若与共线，则k2【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量（2x，x+1，1），（2，4，k），与共线，解得x1，k2故答案为：2【点评】本题考
16、查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，则2等于25【分析】求出B的坐标，计算向量，即可得到结论【解答】解：点B是点A（3，7，4）在xOz平面上的射影，B（3，0，4），则（3，0，4），则2|232+（4）29+1625，故答案为：25【点评】本题主要考查空间向量的计算，根据空间向量的坐标公式以及向量模长的计算公式是解决本题的关键16（5分）已知点M是抛物线x24y上的一个动点，则点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x24y上的点M到
17、该抛物线准线的距离转化为点M到其焦点F的距离，当F、P、A共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值【解答】解：抛物线x24y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，抛物线x24y的准线方程为y1，设点M到该抛物线准线y1的距离为d，由抛物线的定义可知，d|MF|，|MA|+d|MA|+|MF|FA|（当且仅当F、M、A三点共线时（M在F，A中间）时取等号），点M到点A（2，0）的距离与点M到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，F（0，1），A（2，0），FOA为直角三角形，|FA|，故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档
18、题三、解答题（本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线y21有公共焦点，且过点（）的双曲线标准方程【分析】（1）设出椭圆的标准方程，确定几何量，即可得到椭圆的标准方程；（2）求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为（a，b0），由题意可得c，即a2+b23，将点（）代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程【解答】解：（1）设椭圆标准方程为（ab0），则焦距为4，长轴长为6，a3，c2，b25，椭圆标准方程为；（2）双曲线y21双曲线的焦点为（，0），设双曲线的方程为（a，
19、b0），可得a2+b23，将点（）代入双曲线方程可得，解得a1，b，即有所求双曲线的方程为：【点评】本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，点满足方程，考查运算能力，属于基础题18（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的顶点在坐标原点，焦点为圆M：（x2）2+y24的圆心（）求抛物线C的标准方程和准线方程；（）若直线l：ykx+b（k0）为物线C的切线，证明：圆心M到直线l的距离恒大于2【分析】（）求得抛物线的焦点和准线方程，由圆的方程可得圆心，可得p的方程，求得p，可得抛物线的标准方程和准线方程；（）联立直线方程和抛物线方程，运用直线和抛物线相切的
20、条件：判别式为0，化简可得kb2，再由点到直线的距离公式，结合不等式的性质即可得证【解答】解：（）抛物线C：y22px（p0）的焦点为（，0），准线方程为x，圆M：（x2）2+y24的圆心为（2，0），可得2，即p4，可得抛物线的方程为y28x，准线方程为x2；（）证明：联立可得k2x2+（2kb8）x+b20，由题意可得（2kb8）24k2b26432kb0，即kb2，圆心M（2，0）到直线ykx+b的距离为d22【点评】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题19（12分）已知命题p：m1am2+1；命题q：函数f（x）log2xa在区间（，4
21、）上有零点（）当m1时，若（p）q为真命题，求实数a的取值范围；（）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数m的取值范围【分析】（）当m1时，由命题p求出p再由函数ylog2x在区间（，4）上的值域为（2，2），求出a的范围，得到命题q，根据（p）q为真命题，得到实数a的取值范围是（）由（）及命题p是命题q的充分不必要条件，求出实数m的取值范围【解答】解：（）当m1时，命题p：0a2，则p：a0或2函数f（x）log2xa在区间（，4）上单调递增，且函数f（x）log2xa在区间（，4）上有零点log2a0且log24a0，2a2，命题q：2a2，若（p）q为真命题，2a0实数a的取值范围是（
22、2，0（）命题p：m1am2+1；命题q：2a2，命题p是命题q的充分不必要条件，得1m1命题p是命题q的充分不必要条件，m1实数m的取值范围（1，1【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查充分必要条件的判定与应用，考查数学转化思想方法，是中档题20（12分）已知平面ABCD是边长为2的正方形，平面PACE是直角梯形，PA平面ABCD，O为AC与BD的交点，且PA2，CE1请用空间向量知识解答下列问题：（）求证：PO平面BDE；（）求直线PO与平面PAB夹角的正弦值【分析】（）以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PO平面BDE（
23、）求出（1，1，2），平面PAB的一个法向量（0，1，0），利用向量法能求出直线PO与平面PAB夹角的正弦值【解答】解：（）证明：如图，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（1，1，0），P（0，0，2），E（2，2，1），（1，1，2），（2，2，0），（0，2，1），0，0，POBD，POBEBDBEB，PO平面BDE（）解：（1，1，2），平面PAB的一个法向量（0，1，0），则cos，设直线PO与平面PAB的夹角为，则sin|cos|，直线PO与平面PAB夹角的正弦
24、值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）已知椭C：（ab0）的离心率e，坐标原点O到直线l：ybx+2的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）已知定点E（1，0），若直线ykx+2（k0）与椭圆C相交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且0，求k的值【分析】（）由题意及原点到直线的距离得及a，b，c之间的关系求出椭圆的标准方程；（）直线与椭圆联立得出判别式大于零及两根之和两根之积，再由数量积为零得k的值【解答】解：（）由题意得：e，a2b2+c2，所以得：1，a23b2，坐标原点O到直线l：yb
25、x+2的距离为，所以，b21，a23，所以椭圆的C的标准方程为：+y21；（）由（）将直线方程与椭圆方程联立整理得：（1+3k2）x2+12kx+90，36k2360，k21，x1+x2，x1x2，所以（x1+1，y1），（x2+1，y2），（x1+1）（x2+1）+y1y20，（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+50即（1+k2）+（2k+1）+50，解得：k1；所以k的值为：【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题22（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，E、F分别是线段AD、PB的中点，PAAB1（）证明：EF平面DCP（）设点G是线
26、段AB的中点，求二面角CPDG的余弦值【分析】（）取PC的中点为H，连接DH，FH，只需证明EFDH即可得证；（）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可【解答】解：（）证明：取PC的中点为H，连接DH，FH，如图，四边形ABCD为正方形，E，F，H分别是线段AD、PB、PC的中点，DEBC且，FHBC且，DEFH且DEFH，四边形DEFH为平行四边形，EFDH，EF不在平面DCP内，DH在平面DCP内，EF平面DCP；（）PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AP，AB，AD两两垂直，以点A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面CPD的法向量为，则，则；设平面GPD的法向量为，则，则；，即二面角CPDG的余弦值为【点评】本题考查线面平行的判定及利用空间向量求二面角的余弦值，考查逻辑推理及运算求解能力，属于基础题
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