1、2019-2020学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合班级题目要求的）1（5分）一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为（）Ax|x2或x1Bx|x1或x2Cx|2x1Dx|1x22（5分）已知等比数列an中a427，q3，则a1（）A1B1C3D33（5分）设a，b，c是ABC的内角A，B，C的对边，若A，B，a3，则b（）A2B2C3D34（5分）准线方程为y2的抛物线的标准方程是（）Ax216yBx28yCx216yDx28y5（5分）命题“x0（0，+）lnx0x0+1”的否定是（）A
2、x0（0，+）lnx0x0+1Bx（0，+）lnxx+1Cx（0，+）lnxx+1Dx0（0，+）lnx0x0+16（5分）已知ab，c0，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCacbcD7（5分）若直线l的方向向量为，平面的法向量为（2，0，4），则（）AlBlClDl与斜交8（5分）已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM3MA，点N为BC的中点，则（）ABCD9（5分）若数列an满足ann2+3n+2，则的前10项和为（）ABCD10（5分）已知an是等比数列，则“a2a4”是“an是单调递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件1
3、1（5分）有下列四个命题：若pq为假命题，则p，q均为假命题；命题“若|x|1，则x1”的否命题为“若|x|1，则x1”；命题“若x23x+20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”；设a、bR+，命题“若，则ab”的逆命题是真命题其中真命题的个数是（）A1B2C3D412（5分）点F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（）A2BCD3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集是 14（5分）已知ABC的顶点A是椭圆的一个焦点，顶点B
4、、C在椭圆上，且BC边经过椭圆的另一个焦点，则ABC的周长为 15（5分）已知，则x+y的最小值为 16（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S200，S210，则当Sn取最大值时，n的值为 三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17（10分）设等差数列an的公差为d（d0），a11，a2为a1，a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bnan+2n，求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点（）求|EF|；（）求证：EF平面AA1D1D19（12分）在ABC中，a
5、、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2Bsin2CsinAsinB（1）求角C的大小；（2）若c7，a+b8，求ABC的面积20（12分）已知F为抛物线C：y22px（p0）的焦点，点A（4，2）为抛物线C内一定点，点P为抛物线C上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8（）求抛物线C的方程；（）若直线xy30与抛物线C交于B（x1，y1）、D（x2，y2）两点，求BD的长21（12分）如图，在四棱锥SABCD中，SA底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA1，点M是SD的中点请用空间向量的知识解答下列问题：（）求证：SCAM；（）求平面SAB与平面SCD夹角的
6、大小22（12分）设椭圆（ab0）的左焦点为F1（2，0），左准线 L1：x与x轴交于点N（3，0），过点N且倾斜角为30的直线L交椭圆于A、B两点（1）求直线L和椭圆的方程；（2）求证：点F1（2，0）在以线段AB为直径的圆上2019-2020学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合班级题目要求的）1（5分）一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为（）Ax|x2或x1Bx|x1或x2Cx|2x1Dx|1x2【分析】根据一元二次不等式（x1）（x+2）0，即或，即可求解【解答】解
7、：一元二次不等式（x1）（x+2）0即或，解得：2x1一元二次不等式（x1）（x+2）0的解集为x|2x1；故选：C【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法；属于基础题2（5分）已知等比数列an中a427，q3，则a1（）A1B1C3D3【分析】根据等比数列的通项公式计算即可【解答】解：等比数列an中，a427，q3，则a11故选：B【点评】本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题3（5分）设a，b，c是ABC的内角A，B，C的对边，若A，B，a3，则b（）A2B2C3D3【分析】由已知利用正弦定理即可求解b的值【解答】解：A，B，a3，由正弦定理，可得，解得b2故选：A【点评】本题
8、主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题4（5分）准线方程为y2的抛物线的标准方程是（）Ax216yBx28yCx216yDx28y【分析】利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可【解答】解：准线方程为y2的抛物线的标准方程是：x28y故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查5（5分）命题“x0（0，+）lnx0x0+1”的否定是（）Ax0（0，+）lnx0x0+1Bx（0，+）lnxx+1Cx（0，+）lnxx+1Dx0（0，+）lnx0x0+1【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“x0（0，+
9、）lnx0x0+1”的否定是：x（0，+）lnxx+1故选：C【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查6（5分）已知ab，c0，则下列不等式一定成立的是（）Aa2b2BCacbcD【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论【解答】解：ab，c0，则a2b2，acbc不一定成立，而一定成立故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（5分）若直线l的方向向量为，平面的法向量为（2，0，4），则（）AlBlClDl与斜交【分析】推导出直线l的方向向量与平面的法向量平行，从而得到l【解答】解：直线l的方向向量为，平面的法向量为（2，
10、0，4），l故选：B【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查直线的方向向量、平面的法向量、空间中线面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题8（5分）已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM3MA，点N为BC的中点，则（）ABCD【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用，表示出即可【解答】解：如图空间四边形OABC中，点M在OA上，且OM3MA，又N为BC的中点，（+），故选：D【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属基础题9（5分）若数列an满足ann2+3n+2，则的前10项和为（）ABCD【
11、分析】求得，再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【解答】解：，则数列的前10项和为+故选：B【点评】本题考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题10（5分）已知an是等比数列，则“a2a4”是“an是单调递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：在等比数列1，2，4，8中，满足a2a4，但“an是单调递增数列不成立，即充分性不成立，若an是单调递增数列，则必有a2a4，即必要性成立，则“a2a4”是“an是单调递增数列”的必要不充分条件，故选：B【点评】本
12、题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质是解决本题的关键11（5分）有下列四个命题：若pq为假命题，则p，q均为假命题；命题“若|x|1，则x1”的否命题为“若|x|1，则x1”；命题“若x23x+20，则x1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”；设a、bR+，命题“若，则ab”的逆命题是真命题其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】对于“”命题，一假则假；否命题是指对条件和结论都进行否定；根据原命题和逆否命题的关系进行改写即可；先写出逆命题，再判断逆命题的真假【解答】解：若pq为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以错误；否命题是指对条
13、件和结论都否定，所以应该是“若|x|1，则x1”，所以错误；根据逆否命题的定义进行改写，正确；a、bR+，逆命题为“若ab，则”，显然该命题成立，所以正确；所以真命题为，故选：B【点评】本题考查了复合命题中的“且”命题、四种命题的改写及真假关系，属于基础题12（5分）点F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，以F为圆心的圆过坐标原点O，且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率为（）A2BCD3【分析】由题意，AOF是等边三角形，利用双曲线C的离心率为，即可得出结论【解答】解：由题意，AOF是等边三角形，双曲线C的离心率为2故选：A【点评】本题考查双曲
14、线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集是x|2x2【分析】因为0等价于（x2）（x+2）0且x2；直接写出结论【解答】解：因为0等价于（x2）（x+2）0且x2；不等式0的解集是：x|2x2故答案为：x|2x2【点评】本题考查分式不等式的解法，基本知识的考查14（5分）已知ABC的顶点A是椭圆的一个焦点，顶点B、C在椭圆上，且BC边经过椭圆的另一个焦点，则ABC的周长为4【分析】由题意可得将三角形的周长转化为焦半径的长，再由椭圆的性质求出三角形的周长【解答】解：设A为左焦点，由题意可得直线BC过右焦点F
15、，则ABC的周长为AC+BC+ABAC+BF+AB+BF4a，而由题意可得a23，即a，所以三角形的周长为：4，故答案为：4【点评】考查椭圆的性质，属于基础题15（5分）已知，则x+y的最小值为16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：因为，则x+y（x+y）（）10+10+616，当且仅当时取等号，此时取得最小值16故答案为：16【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题16（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a10，S200，S210，则当Sn取最大值时，n的值为10【分析】由等差数列的性质可知，a1+a20a10+a110，a1+a212a11
16、0，从而可得a100，a110，即可【解答】解：因为a10，S200，S210，由等差数列的性质可知，a1+a20a10+a110，a1+a212a110，故a100，a110，当n10时，Sn取最大值故答案为：10【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17（10分）设等差数列an的公差为d（d0），a11，a2为a1，a4的等比中项（）求数列an的通项公式；（）设bnan+2n，求数列bn的前n项和Tn【分析】本题第（）题根据等差数列的通项公式和等比中项结合，可计算出公差d，即可得到数列an的通项
17、公式；第（）题先求出数列bn的通项公式，然后运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn【解答】解：（）由题意，a11，a2为a1，a4的等比中项，a1a4，即（1+d）21（1+3d），解得d1数列an的通项公式为an1+（n1）1n，nN*（）由（）得bnan+2nn+2n，nN*故Tnb1+b2+bn（1+21）+（2+22）+（n+2n）（1+2+n）+（21+22+2n）+2（2n1）【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识和求和公式，以及利用分组求和法求数列的前n项和，考查了数学运算能力本题属中档题18（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1
18、B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点（）求|EF|；（）求证：EF平面AA1D1D【分析】（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|（）求出（2，0，2），由2，得AD1EF，由此能证明EF平面AA1D1D【解答】解：（）解：在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中E，F分别为AB，A1C的中点以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题知，E（2，1，0），F（1，1，1），（1，0，1），|（）证明：由题知A（2，0，0），D1（0，0，2），（2，0，2），2，故AD1EF，又AD1平面AA1D1
19、D，EF平面AA1D1D，EF平面AA1D1D【点评】本题考查线段长的求法，考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且sin2A+sin2Bsin2CsinAsinB（1）求角C的大小；（2）若c7，a+b8，求ABC的面积【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，a2+b2c2ab，然后结合余弦定理可求，cosC，进而可求C（2）由c7，a+b8，结合（1）的条件，a2+b2c2ab可求ab，然后结合ABC的面积公式S可求【解答】解（1）siA+sin2Bsin2CsinAsin
20、B，由正弦定理可得，a2+b2c2ab由余弦定理可得，cosC，0C，C；（2）c7，a+b8，由（1）可得，a2+b2c2ab即（a+b）2c2ab，ab15，ABC的面积S【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题20（12分）已知F为抛物线C：y22px（p0）的焦点，点A（4，2）为抛物线C内一定点，点P为抛物线C上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8（）求抛物线C的方程；（）若直线xy30与抛物线C交于B（x1，y1）、D（x2，y2）两点，求BD的长【分析】（）设d为点P到x的距离，通过|PF|d，说明当点P为过点A且垂直于准线的直
21、线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，转化求解即可（）联立，得y216y480，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可【解答】解：（）设d为点P到x的距离，则由抛物线定义知，|PF|d，当点P为过点A且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，|PA|+|PF|取得最小值，即4+8，解得P8，抛物线C的方程为y216x（）联立，得y216y480，B（x1，y1）、D（x2，y2）显然0，y1+y216，y1y248，|y1y2|8，|BD|y1y2|8【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题21（12分）如图，在四棱锥SABCD
22、中，SA底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的正方形，且SA1，点M是SD的中点请用空间向量的知识解答下列问题：（）求证：SCAM；（）求平面SAB与平面SCD夹角的大小【分析】（）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明SCAM（）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD夹角的大小【解答】解：（）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则S（0，0，1），C（1，1，0），A（0，0，0），M（0，），（1，1，1），（0，），0，SCAM（）解：
23、由题意知平面SAB的一个法向量为（0，1，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），（1，1，1），（0，1，1），设平面SCD的法向量为（x，y，z），则，取y1，得平面SCD的一个法向量为（0，1，1），设平面SAB与平面SCD的夹角为，则cos，故45，平面SAB与平面SCD夹角的大小为45【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）设椭圆（ab0）的左焦点为F1（2，0），左准线 L1：x与x轴交于点N（3，0），过点N且倾斜角为30的直线L交椭圆于A、B两点（1）求直线L
24、和椭圆的方程；（2）求证：点F1（2，0）在以线段AB为直径的圆上【分析】（1）由椭圆的左焦点为F1（2，0），左准线 L1：x与x轴交于点N（3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点，列出方程组，能求出椭圆方程和直线L的方程（2）由方程组，得2x2+6x+30，由此利用韦达定理、直线的斜率公式推导出F1AF1B，由此能证明点F（2，0）在以线段AB为直径的圆上【解答】解：（1）椭圆（ab0）的左焦点为F1（2，0），左准线 L1：x与x轴交于点N（3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点，解得a，b，c2，椭圆方程为直线L的方程为：y0tan30（x+3），即y（x+3）证明：（2）由方程组，得2x2+6x+30，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x23 x1x2，1，F1AF1B，AF1B90点F（2，0）在以线段AB为直径的圆上【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆的左焦点在以线段AB为直径的圆上，考查圆、直线方程、椭圆、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题
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