1、专题十几何变换综合题类型一 涉及一个动点的几何问题 (2017广东)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A,C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A,C重合),连接BD,作DEDB,交x轴于点E,以线段DE,DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空:点B的坐标为_;(2)是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形?若存在,请求出AD的长度;若不存在,请说明理由;(3)求证:;设ADx,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式(可利用的结论),并求出y的最小值【分析】 (1)求出AB,BC的长即可解决问题;(2)先推出ACO30,ACD
2、60,由DEC是等腰三角形,观察图象可知,只有EDEC,DCEEDC30,推出DBCBCD60,可得DBC是等边三角形,推出DCBC2,由此即可解决问题;(3)先表示出DN,BM,再判断出BMDDNE,即可得出结论;作DHAB于H.想办法用x表示BD,DE的长,构建二次函数即可解决问题。【自主解答】 1(2019中山模拟)如图,在矩形ABCD中,AB5,AD4,E为AD边上一动点(不与点A重合),AFBE,垂足为F,GFCF,交AB于点G,连接EG.设AEx,SBEGy.(1)证明:AFGBFC;(2)求y与x的函数关系式,并求出y的最大值;(3)若BFC为等腰三角形,请直接写出x的值2(20
3、19威海)如图,在正方形ABCD中,AB10 cm,E为对角线BD上一动点,连接AE,CE,过E点作EFAE,交直线BC于点F.E点从B点出发,沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动,当点E与点D重合时,运动停止,设BEF的面积为y cm2,E点的运动时间为x秒(1)求证:CEEF;(2)求y与x之间关系的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)求BEF面积的最大值3(2019霞山区一模)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B坐标为(4,6),点P为线段OA上一动点(与点O,A不重合),连接CP,过点P作PECP交AB于点D,且PEPC,过点P作PFOP且PFPO(点F在第一象限),
4、连接FD,BE,BF,设OPt.(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示):_;(2)四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时,S有最小值,并求出最小值;(3)BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,请说明理由类型二 涉及两个动点的几何问题 (2018广东)已知RtOAB,OAB90,ABO30,斜边OB4,将RtOAB绕点O顺时针旋转60,如图1,连接BC.(1)填空:OBC_;(2)如图1,连接AC,作OPAC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在OCB边上运动,M沿OCB路径匀速运动,N沿OBC路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速
5、度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?【分析】 (1)只要证明OBC是等边三角形即可;(2)求出AOC的面积,利用三角形的面积公式计算即可;(3)分三种情形讨论求解即可解决问题:当0x时,M在OC上运动,N在OB上运动,此时过点N作NEOC且交OC于点E.当x4时,M在BC上运动,N在OB上运动当4x4.8时,M,N都在BC上运动,作OGBC于G.【自主解答】 4(2019青岛)已知:如图,在四边形ABCD中,ABCD,ACB90,AB10 cm,BC8 cm,OD垂直平分AC.点P从点B出发,沿BA方向匀
6、速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为 1 cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动过点P作PEAB,交BC于点E,过点Q作 QFAC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0t5),解答下列问题:(1)当t为何值时,点E在BAC的平分线上?(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OEOQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由类
7、型三 涉及动线、动图的几何问题 (2016广东)如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA,QD,并过点Q作QOBD,垂足为O,连接OA,OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?(2)请判断OA,OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设ySOPB,BPx(0x2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值【分析】 (1)根据平移的性质,可得PQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得答案;(2)根据正方形的性质,平移的性质,可得PQ与AB的关系,根据等腰直
8、角三角形的性质与判定,可得PQO,根据全等三角形的性质与判定,可得AO与OP的数量关系,根据余角的性质,可得AO与OP的位置关系;(3)根据等腰直角三角形的性质,可得OE的长,根据三角形的面积公式,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得到答案【自主解答】 5(2019广东模拟)如图1,在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B(6,0)RtCDE中,CDE90,CD4,DE4,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合RtCDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动解答下列问题:(1)如图2,当RtCDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求BME的度数(2)如图3,在RtCDE的运
9、动过程中,当CE经过点B时,求BC的长(3)在RtCDE的运动过程中,设ACh,OAB与CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数关系式,并求出面积S的最大值6(2019普宁模拟)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(6,0),点C在y轴正半轴上,且cos B,动点P从点C出发,以每秒一个单位长度的速度向D点移动(P点到达D点时停止运动),移动时间为t秒,过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其他边交于点Q.(1)求点D坐标;(2)求OPQ的面积S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;(3)在直线l移动过程中,是否存在t值,使SS菱形ABCD?若存在,求出t的值
10、;若不存在,请说明理由参考答案类型一【例1】 (1)(2,2)提示:四边形AOCB是矩形,BCOA2,OCAB2,BCOBAO90,B(2,2)(2)存在理由如下:OA2,OC2,tanACO,ACO30,ACB60.如图,当E在线段CO上时,DEC是等腰三角形,观察图象可知,只有EDEC,DCEEDC30,DBCBCD60,DBC是等边三角形,DCBC2.在RtAOC中,ACO30,OA2,AC2AO4,ADACCD422,当AD2时,DEC是等腰三角形如图,当E在OC的延长线上时,DCE是等腰三角形,只有CDCE,DBCDECCDE15,ABDADB75,ABAD2.综上所述,满足条件的A
11、D的值为2或2.(3)如图,过点D作MNAB交AB于M,交OC于N.A(0,2)和C(2,0),直线AC的表达式为yx2.设D(a,a2),DNa2,BM2a.BDE90,BDMNDE90,BDMDBM90,DBMEDN.BMDDNE90,BMDDNE,.如图,作DHAB于H.在RtADH中,ADx,DAHACO30,DHADx,AHx,BH2x,在RtBDH中,BD,DEBD,矩形BDEF的面积为y(x2)(2x2),即y(x3)2.0,x3时,y有最小值.跟踪训练1(1)证明:在矩形ABCD中,ABC90,ABFFBC90.AFBE,AFB90,ABFGAF90,GAFFBC.FGFC,G
12、FC90,AFBGFC,AFBGFBGFCGFB,即AFGBFC,AFGBFC.(2)解:由(1)得AFGBFC,.在RtABF中,tanABF,在RtEAB中,tanEBA,.BCAD4,AB5,AG,BGABAG5x,yBGAE(5x)xx2x(x)2,y的最大值为.(3)解:BFC为等腰三角形,当FCFB时,如图,过点F作FHBC于H,过点F作FPAB于P,BHCHBC2,四边形BHFP是矩形,FPBH2.在RtBPF中,tanPBF,在RtAPF中,tanAFP.AFPPAF90,PBFPAF90,PBFPFA,.APPBAB5,AP5PB,PB4或PB1(舍)PFAE,PBFABE,
13、xAE.当BFBC4时,在RtABF中,AF3,易得AEFBAF,xAE.当FCBC4时,如图,连接CG,在RtCFG和RtCBG中,RtCFGRtCBG,FGBG.ABF是直角三角形,点G是AB的中点,AGBGAB.由(2)知AGx,x,x.即x的值为,或.2(1)证明:如图,过点E作MNAB,交AD于M,交BC于N,四边形ABCD是正方形,ADBC,ABAD,MNAD,MNBC,AMEFNE90NFEFEN.AEEF,AEFAEMFEN90,AEMNFE.DBC45,BNE90,BNENAM,AEMEFN(AAS),AEEF.四边形ABCD是正方形,ADCD,ADECDE.DEDE,ADE
14、CDE(SAS),AECEEF.(2)解:在RtBCD中,由勾股定理得BD10,0x5,由题意得BE2x,BNENx,由(1)知AEEFEC,分两种情况:当0x时,ABMN10,MEFN10x,BFFNBN10xx102x,yBFEN(102x)x2x25x(0x5);当x5时,过E作ENBC于N,ENBNx,FNCN10x,BFBC2CN102(10x)2x10,yBFEN(2x10)x2x25x.(3)解:当0x时,y2x25x2(x)2,20,当x时,y有最大值是;当0,当x时,y随x的增大而增大,当x5时,y有最大值50.即BEF面积的最大值是50.3解:(1)(t6,t)(2)如图,
15、连接EF,过点E作EGx轴于点G.DAEG,PADPGE,ADt(4t),BDABAD6t(4t)t2t6.EGx轴,FPx轴,且EGFP,四边形EGPF为矩形,EFBD,EFPG,S四边形BEDFSBDFSBDEBDEF(t2t6)6(t2)216,当t2时,S有最小值是,最小值为16.(3)假设FBD为直角,则点F在直线BC上PFOPAB,点F不可能在BC上,即FBD不可能为直角;假设FDB为直角,则点D在EF上点D在矩形的对角线PE上,点D不可能在EF上,即FDB不可能为直角;假设BFD为直角,且FBFD,则FBDFDB45.如图,作FHBD于点H,则FHPA,即4t6t,方程无解,假设
16、不成立,即BDF不可能是等腰直角三角形类型二【例2】 (1)60(2)OB4,ABO30,OAOB2,ABOA2,SAOCOAAB222.BOC是等边三角形,OBC60,ABCABOOBC90,AC2,OP.(3)当0x时,M在OC上运动,N在OB上运动如图,过点N作NEOC且交OC于点E,则NEONsin 60x,yOMNE1.5xxx2,x时,y有最大值,最大值为.当x4时,M在BC上运动,N在OB上运动如图,作MHOB于H,则BM81.5x,MHBMsin 60(81.5x),yONMHx22x.当x时,y取最大值,y.当4x4.8时,M,N都在BC上运动,如图,作OGBC于G.MN12
17、2.5x,OGAB2,yMNOG12x,当x4时,y有最大值,y2.综上所述,y有最大值,最大值为.跟踪训练4解:(1)在RtABC中,AB10,BC8,ACB90,AC6,tan B,PE,cos B,BE.BC8,EC8.当点E在BAC的平分线上时,PEEC,即8,t4,当t为4秒时,点E在BAC的平分线上(2)如图,作PHAC于H,则APHABC,即,PH.ABCD,FQAC,ACDBACGQD,ABCCDO,DGQDOCBCA,.O为AC的中点,OC3,OD4,CD5.DQt,DGt,GQt,SS四边形ABCDSAOPSAODSBPES梯形ECDG8664334t3(8)t2t6(0t
18、5)(3)St2t6(0t5),0,t.05,存在t.(4)假设存在如图,EOCCOQ90,GOQCOQ90,EOCGOQ,RtEOCRtQOG,即,化简为t213.2t320,即(t10)(t3.2)0,t110(舍),t23.2,存在t3.2时,使OEOQ.类型三【例3】 (1)四边形APQD为平行四边形(2)OAOP,OAOP.理由如下:四边形ABCD是正方形,ABBCPQ,ABOOBQ45.OQBD,PQO45,ABOOBQPQO45,OBOQ.在AOB和POQ中,AOBPOQ(SAS),OAOP,AOBPOQ,AOPBOQ90,OAOP.(3)如图,过O作OEBC于E.如图,当P点在
19、B点右侧时,则BQx2,OE,yx,即y(x1)2.又0x2,当x2时,y有最大值为2.如图,当P点在B点左侧时,则BQ2x,OE,yx,即y(x1)2.又0x2,当x1时,y有最大值为.综上所述,当x2时,y有最大值为2.跟踪训练5解:(1)在平面直角坐标系中,点A(0,6),点B(6,0)OAOB,OAB45.CDE90,CD4,DE4,OCE60,CMAOCEOAB 604515,BMECMA15.(2)CDE90,CD4,DE4,OBCDEC30.OB6,BC4.(3)h2时,如图,作MNy轴交y轴于点N,作MFDE交DE于点F.CD4,DE4,ACh,ANNM,CN4FM,ANMN4
20、hFM.CMNCED,解得FM4h,SSEDCSEGM44(44h)(4h)h24h8,S最大15.当2h62时,SSAOBSACM66h(hh)18h2,S最大15.如图,当62h6时,SSOBCOBOC(6h)2,S最大6.6解:(1)在RtBOC中,BOC90,OB6,cos B,BC10,OC8.四边形ABCD为菱形,CDx轴,点D的坐标为(10,8)(2)ABBC10,点B的坐标为(6,0),点A的坐标为(4,0)分两种情况考虑,如图所示当0t4时,PQOC8,OQt,SPQOQ4t.40,当t4时,S取得最大值,最大值为16;当4t10时,设直线AD的表达式为ykxb(k0),将A(4,0),D(10,8)代入ykxb得解得直线AD的表达式为yx.当xt时,yt,PQ8(t)(10t),SPQtt2t.St2t(t5)2,0,当t5时,S取得最大值,最大值为.综上所述,S关于t的函数关系式为SS的最大值为.(3)S菱形ABCDABOC80.当0t4时,4t12,解得t3;当4t10时,t2t12,解得t15(舍去),t25.综上所述,在直线l移动过程中,存在t值,使SS菱形ABCD,t的值为3或5.