1、专题九圆的综合题类型一 与三角形结合 (2019广东)如图1,在ABC中,ABAC,O是ABC的外接圆,过点C作BCDACB交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CFAC,连接AF.(1)求证:EDEC;(2)求证:AF是O的切线;(3)如图2,若点G是ACD的内心,BCBE25,求BG的长【分析】 (1)由ABAC知ABCACB,结合ACBBCD,ABCADC得BCDADC,从而得证;(2)连接OA,由CAFCFA知ACDCAFCFA2CAF,结合ACBBCD得ACD2ACB,CAFACB,据此可知AFBC,从而得OAAF,得到证;(3)证ABECBA得AB2BCBE,据此知A
2、B5,连接AG,得BAGBADDAG,BGAGACACB,由点G为内心知DAGGAC,结合BADDAGGACACB得BAGBGA,从而得出BG.【自主解答】 1(2019中山模拟)如图,AB是O的直径,C,G是O上两点,且C是的中点,过点C的直线CDBG的延长线于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.(1)求证:CD是O的切线;(2)若,求证:AEAO;(3)连接AD,在(2)的条件下,若CD2,求AD的长2(2019广东模拟)如图,在RtABC中,ACB90,AO是ABC的角平分线以O为圆心,OC为半径作O.(1)求证:AB是O的切线;(2)已知AO交O于点E,延长AO交O于点
3、D,tan D,求的值;(3)在(2)的条件下,设O的半径为3,求AB的长类型二 与四边形结合 (2019禅城区二模)如图,平行四边形ABCD中,ACBC,过A,B,C三点的O与AD相交于点E,连接CE.(1)证明:ABCE;(2)证明:DC与O相切;(3)若O的半径r5,AB8,求sinACE的值【分析】 (1)由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得DBDEC,即可得CDCEAB;(2)由垂径定理可得CFAB,即可证DC与O相切;(3)连接OE,OA,过点C作CNAD于点N,过点O作OMAE于点M,由勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质即可得解【自主解答】 3(2019空港经济区一模
4、)如图,四边形ABCD内接于O,ABAD,对角线BD为O的直径,AC与BD交于点E.点F为CD延长线上一点,且DFBC.(1)证明:ACAF;(2)若AD2,AF1,求AE的长;(3)若EGCF交AF于点G,连接DG.证明:DG为O的切线4(2019霞山区一模)如图,四边形ABCD的顶点在O上,BD是O的直径,延长CD,BA交于点E,连接AC,BD交于点F,作AHCE,垂足为点H,已知ADEACB.(1)求证:AH是O的切线;(2)若OB4,AC6,求sinACB的值;(3)若,求证:CDDH.参考答案类型一【例1】 (1)如图,ABAC,13.12,23.34,24,EDEC.(2)如图,连
5、接OA,OB,OC,OBOC,ABAC,AO是BC的垂直平分线,AOBC.由(1)已证23,ABDF.ABACCF,四边形ABCF是平行四边形,AFBC,AOAF,AF是O的切线(3)如图,连接AG,12,25,15.G是ADC的内心,78.BAG57,618,BAG6,ABBG.33,15,ABECBA,AB2BEBC25,AB5,BG5.跟踪训练1(1)证明:如图,连接OC,AC,CG.C是的中点,ACCG,ABCCBG.OCOB,OCBOBC,OCBCBG,OCBG.CDBG,OCCD,CD是O的切线 (2)解:OCBD,OCFDBF,EOCEBD,.OAOB,AEOA.(3)解:如图,
6、过A作AHDE于H.由(2)知E30,EBD60,CBDEBD30.CD2,BD6,DE6,BE12,AEBE4,AH2,EH2,DH4.在RtDAH中,AD2.2(1)证明:如图,过点O作OFAB于点F,AO平分CAB,OCAC,OFAB,OCOF,AB是O的切线(2)解:如图,连接CE,ED是O的直径,ECD90,ECOOCD90.ACB90,ACEECO90,ACEDCO.OCOD,OCDODC,ACEADC.CAEDAC,ACEADC,.tan D,.(3)解:由(2)知,设AEx,AC2x.ACEADC,AC2AEAD,(2x)2x(x6),解得x2或x0(不合题意,舍去),AE2,
7、AC4.由(1)知ACAF4,OFBACB90.BB,OFBACB,.设BFa,则BC,BOBCOC3.在RtBOF中,BO2OF2BF2,(3)232a2,解得a或a0(不合题意,舍去),ABAFBF.类型二【例2】 (1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BD,ADBC.四边形ABCE是圆的内接四边形,DECB,DDEC,CDCE,ABCE.(2)如图,连接CO,并延长CO交AB于F.ACBC,且CO是半径,CFAB,AFBF.四边形ABCD是平行四边形,ABCD,且CFAB,CFCD,且CO是半径,DC与O相切(3)如图,连接OE,OA,过点C作CNAD于点N,过点O作OMAE于点M
8、,AFBF,AB8,AFBF4,且AO5,CFAB,OF3,CFCOOF8,AC4,ACBCAD4.BD,CNDCFB90,CDNCBF,DN.CDCE,CNDA,DNEN,AEADDNEN.OEOA,OMAD,AMEMAE,EOMAOE.ACEAOE,ACEEOM,sinACEsinEOM.跟踪训练3(1)证明:四边形ABCD内接于O,ABCADC180.ADFADC180,ABCADF.在ABC和ADF中,ABCADF,ACAF.(2)解:由(1)得,ACAF1.ABAD,ADEACD.DAECAD,ADEACD,AE22.(3)证明:EGCF,1,AGAE.由(2)得,.DAGFAD,A
9、DGAFD,ADGF.ACAF,ACDF.又ACDABD,ADGABD.BD为O的直径,BAD90,ABDBDA90,ADGBDA90,GDBD,DG为O的切线4(1)证明:如图,连接OA.由圆周角定理得ACBADB.ADEACB,ADEADB.BD是直径,DABDAE90.在DAB和DAE中,DABDAE,ABAE.又OBOD,OADE.又AHDE,OAAH,AH是O的切线(2)解由(1)知,EDBE,DBEACD,EACD,AEACAB6.在RtABD中,AB6,BD8,ADEACB,sinACBsinADB.(3)证明:由(2)知,OA是BDE的中位线,OADE,OADE,CDFAOF,CDOADE,即CDCE.ACAE,AHCE,CHHECE,CDCH,CDDH.