1、直线、多边形、圆编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1.了解图形变换的不变性，加深对图形与其变换后的图形之间关系的认识，加深对形的概念的理解.图形变换过程中的不变性是几何学研究的重要而基本的问题.2.理解和掌握平行线分线段成比例定理、直角的射影定理、直线和圆的位置关系的重要定理及其相关证明，探索并证明圆内接四边形的性质。3.进一步提高学生的几何直观能力及运用综合几何方法解决问题的能力，提高学生对几何命题的论证能力.通过对几何定理的探索证明，让学生体会“探索-发现-猜想-证明”的思维过程.【知识网络】【要点梳理】要点一：平行截割定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
2、那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例如图1：l1l2l3， 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 如图2，是的一条角平分线，则.直角三角形的射影定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.如图3中的中，则分别是在斜边的射影，则，或；，或； ，或.平行截割定理常用结论：（1）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（2）经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（3）平行于三角形一边
3、的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例（4）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用要点诠释：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二：相似三角形相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）相似用符号“”表示，读作“相似于”。相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似。两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三
4、角形相似。平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相似直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。相似三角形的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比，周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：
5、（1）对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的（3）两个三角形形状一样，但大小不一定一样（4）全等三角形是相似比为1的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例要点三：圆的有关性质有关圆心角和圆周角的性质在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径垂
6、径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角直线与圆的位置关系当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆只有1个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离与切线有关的定理判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线，是圆的
7、切线性质定理：圆的切线垂直过切点的半径（反证法）推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线的夹角弦切角定理弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等圆内接四边形的性质定理与判定定理圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆要点四：几何证明中的思想方法分类思想方法所谓分类思想方法就是依据一定的标准，按照既不重复也不遗漏
8、的原则，将所要研究的对象划分为若干类别，然后通过对每一类别的研究去达到对事物整体研究的目的例如，按角的关系分类，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，每种类型的三角形有自身的一些特性，如果不作分类讨论，那么就很难找出这些特性另一方面，对一些问题的讨论，必须通过分类才能穷尽各个方面，使得到的结论具有一般性要结合圆周角定理、四点共圆判定定理和弦切角定理的证明，认真对分类思想方法加以体会运动变化思想运动变化思想具体体现为图形的运动变化几何中的许多问题源于相同的模型，尽管图形中某些要素的位置关系有差异，但其本质是相同的要结合相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理之间的关系领悟运动变
9、化思想在数学探究中的作用猜想与证明数学中的许多定理都是先对一定的典型事例进行观察、实验、类比和归纳后，发现一定的规律性，并提出一个猜想，然后再对猜想进行严格的证明得来的猜想和证明既是数学研究的常用方法，同时又是训练思维的重要工具.【典型例题】类型一：平行截线定理的应用例1. 如图，D、E、F分别为ABC边BC、CA、AB上的点，。连结DE、CF。求证：DE和CF互相平分。【思路点拨】证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结EF、DF，然后证四边形DCEF是平行四边形。【解析】连结EF、DF，EFBC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例
10、，那么这条直线平行于三角形的第三边。）同理DFAC四边形DCEF是平行四边形DE和CF互相平分【总结升华】要证明两直线平行，通常都是通过证明角的关系来得到，现在我们又有了新的方法证明对应线段成比例。举一反三：【变式1】如图，F是ABCD的边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E。求证：.【答案】ABCDCDAB，ADBC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）同理可得【变式2】如图，在ABC中，E为中线AD上的一点，。连结BE，延长 BE交AC于点F。求证AF=CF。【答案】作DHAC，交BF于点H（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三
11、边与原三角形三边对应成比例。）D是BC的中点=同理可得，AF=CF【变式3】已知：如图，AD是ABC的角平分线.求证：.【答案】过点C作CEDA，与BA的延长线交于点E，CEDA，AEC=BAD，DAC=ACE又AD是BAC的角平分线，BAD=DACACE=AEC AC=AE。由平行截线定理知：，即。类型二：相似三角形的判定及性质的应用例2如图所示，已知ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 【思路点拨】由可知ABCD，ADBC，再根据平行线找相似三角形.【解析】 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC，
12、BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 当BEFCDF时，相似比；当BEFAED时，相似比；当CDFAED时，相似比.【总结升华】本题可利用平行判定相似，可以看出BEF、CDF、AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.举一反三：【变式1】如图，在四边形ABCD中，EFBC，FGAD，则_。【答案】1。利用平行转相似。【变式2】如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则BF_. 【答案】因为DEBC，所以ADEABC，所以，即，所以BC10.又DFAC，所以四边形DECF是平行
13、四边形，故BFBCFCBCDE1064.【高清课堂：相似三角形的判定及有关性质401238例题1】【变式3】在梯形ABCD中，AD/BC，AC，BD相交于O， AO=2 cm， AC=8 cm，且SBCD =6 cm2，求SAOD.【答案】因为AD/BC ADO=DBC 且AOD=BOC 所以 AOBBOC SAOD：SBOC=AO：OC=4：36=1:9且OD：BO=2:6 =1:3 在BCD中 BOC与DOC共高 所以其面积比为OB：OD=1:3 设SAOD=x 则 SBOC=9x SDOC=3xSBCD=SDOC+SBOC=9x+3x=12x=6x=0.5所以 SAOD=1/2 (cm2
14、 )例3已知，如图，在ABC中，ABAC，BDAC，点D是垂足求证：BC22CDAC.【思路点拨】作AEBC，证明AEC和BDC相似即可【解析】过点A作AEBC，垂足为E，CEBEBC，由BDAC，AEBC.又CC，AECBDC.，即BC22CDAC.【总结升华】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理除了平行，还可利用“两角对应相等”、“两边对应成比例及夹角相等”、“三边对应成比例”这三个判定定理。在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到举一反三：【变式1】如图所示，点D在ABC的边AB上，满足怎样的条件时，ACD与ABC相似？试分别加以列举. 【答案】 此
15、题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，ACD与ABC已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 当满足以下三个条件之一时，ACDABC.条件一：1=B.条件二：2=ACB.条件三：，即.【变式2】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点 求证：ADQQCP 【答案】因ADQ与QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下： 在正方形ABCD中，Q是CD的中点，=2
16、=3，=4 又BC=2DQ，=2 在ADQ和QCP中，=，C=D=90，ADQQCP【变式3】 如图ABC中，C，B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E，求证：BDOBOCDEC. 【答案】易得AO平分BAC，AODE ADO=AEO BDO=CEO又BDO=90+BAC BOC=180（ABC+ACB）=90+BAC BDO=BOC 又DBO=OBC BDOBOC 同理ECOOCB BDOBOCOEC类型三：射影定理的应用例4.如图所示，已知是的两条高，过点的直线交和的延长线于，交于，且.求证：【思路点拨】解决本题的关键是确定.在中，运用射影定理，则要证，只需要证明
17、，也就是，只要确定就可以了.【证明】，.又，即 中，故由射影定理可得， 由可知，.【总结升华】射影定理包含三个等式，主要用于与直角三角形斜边上的高有关的证明或计算本题也可以用勾股定理列方程组求解，但不如这里的解法简捷举一反三：【变式1】在中，=90，于点，=2， =3，则=_.【答案】.如图，由射影定理得，于是.又，.【变式2】中，于，则()A32 B23C94 D49【答案】D.由射影定理得，由得，即.【变式3】在中，=90，于点，于点，于点.求证：。【答案】由直角三角形射影定理知：，由，得由，得【变式4】如右图，BD、CE分别是ABC的两边上的高，过D作DGBC于G，分别交CE及BA的延长
18、线于F、H.求证：（1）；（2）.【答案】类型四：圆周角定理和圆心角定理的应用例5. 如图：OA、OB、OC都是O的半径 AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC. 【思路点拨】所对圆周角是ACB, 圆心角是AOB. 则ACB= AOB. 所对圆周角是 BAC , 圆心角是BOC, 则 BAC=BOC【解析】ACB= AOB，BAC=BOCAOB=2BOC ACB=2BAC【总结升华】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理举一反三：【变式1】如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30 ，AB2，则O的半径是 。【答案】连接OA、OBC
19、=30 ，AOB=60 又OA=OB ，AOB是等边三角形OA=OB=AB=2，即半径为2。【变式2】如图所示，已知：AB和DE是O的直径，弦ACDE，求证：CE=BE 【答案】ACDE ，AOD=BOE，故而，CE=BE【变式3】已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆，A = 80，那么BOC =，BIC_.【答案】160，130如图，A80，BOC =2A160又在ABC中，A=80，ABC+ACB18080=100又IBCABC，ICB=ACB，IBCICB(ABC +ACB)50，BIC18050130例6如图，AB为O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPB
20、_.【思路点拨】连结AD，BC，结合正弦定理求解【解析】连接AD，BC. 如图：因为AB是圆O的直径，所以ADBACB90. 又ACDABD，所以在ACD中，由正弦定理得：AB3，又CD1，所以sinDACsinDAP，所以cosDAP.又sinAPBsin (90DAP)cosDAP.【总结升华】审题时要注意利用推论2 ：半圆（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径这一关键条件，解决本题的关键是寻找APB与DAP的关系以及AD与AB的关系。举一反三：【变式1】如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD. (1)P是上一点(不与C、D重合),试判断CPD与COB的大小关系,
21、并说明理由. (2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合时),CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论.【答案】(1)相等.理由如下:连接OD,ABCD,AB是直径,COB= DOB.COD=2P,COB=P,即COB=CPD.(2)CPD+COB=180. 理由如下:连接PP,则PCD=PPD,PPC=PDC.PCD+PDC=PPD+PPC=CPD.CPD=180-(PCD+PDC)=180-CPD=180-COB, 从而CPD+COB=180.【变式2】如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4, 求tanBPD的值.【答案】连接BD,则AB是直径,ADB=90
22、.C=A,D=B,PCD PAB,.在RtPBD中,cosBPD=,设PD=3x,PB=4x,则BD=,tanBPD=.类型五：圆的切线的应用例7. 如图所示，AB是O的直径，C，F为O上的点，CA是BAF的角平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，作CMAB，垂足为点M.（1）求证：DC是O的切线；（2）求证：AMMBDFDA.【思路点拨】证明圆的切线可以借助切线的判定定理【证明】【总结升华】(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧
23、)两端画圆周角或作弦切角举一反三：【高清课堂：直线与圆的位置关系401237例题1】【变式1】如右图所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则DAC =( )A. B. C. D.【答案】B.由弦切角定理得,又,故,【变式2】如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点。求证： (1)ACEBCD；(2)BC2BECD.【答案】(1)因为，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.【高清课堂：直线与圆的位置关系
24、401237例题3】【变式3】 AB是圆O的直径，BC是圆O的切线，D在圆O上，且OC/AD，求证： DC是圆O的切线.【答案】连接ODOCADCOD=ODA，BOC=OADOA=ODOAD=ODABOC=DOCOB=OD，OC=OCBOCDOCODC=OBC=90CD是圆O的切线【变式4】如下图，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足为D求证：AC平分BAD 【答案】连结BCAB是O的直径 ACB=90B+CAB=90ADCE ADC=90DAC=CAB即AC平分BAD类型六：圆内接四边形性质的应用例8. 已知：如图，APCBPC60，则BAC_。 【解析】APC
25、BPC60 APB120，BCAC 四边形APBC内接于O ACB60 ABC是等边三角形 BCA60，故填60【总结升华】本题较综合，考察：相等的圆周角所对弦相等，圆内接四边形对角互补，一个角是60的等腰三角形是等边三角形。举一反三：【变式1】 如图，四边形ABCD内接于O，BOD110，则BCD_。【答案】125BOD110，BAD55 又BADBCD180 BCD18055125【变式2】如图所示，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E=46，DCF=32，则A的度数是_.【答案】99分别连结OB、OC、AC.OBEB，OCEF，E=46，BOC=134，BAC
26、=67，DCF=32，CAD=32，BAD=67+32=99.【变式3】 如图所示，锐角ABC内接于圆O，BAC60，H是ABC的垂心，BD是O的直径。 求证： 【答案】连结AD、CD、CH BD是O的直径 BADBCD90 又BAC60 CAD30 DBCCAD30 在RtBCD中，得：. H是ABC的垂心 AHBC，CHAB 又DCBC，DAAB AHDC，ADHC 四边形AHCD是平行四边形 AHCD类型七：圆的割线定理的应用例9. 如图所示，PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E，求ADAE的值 【思路点拨】 由切割线
27、定理知PA2PBPC，可得直径BC的长，要求ADAE，由ACEADB，得ADAECABA，只要求出CA，BA的长即可【解析】如图所示，连接CE，PA是O的切线，PBC是O的割线， PA2PBPC.又PA10，PB5，PC20，BC15.PA切O于A，PABACP.又P为公共角，PABPCA.BC为O的直径，CAB90.AC2AB2BC2225.AC6，AB3.又ABCE，CAEEAB，ACEADB，.ADAEABAC3690.【总结升华】 在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧举一反三：【变式1】如图
28、所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点，已知PA2，点P到O的切线长PT4，则弦AB的长为_【答案】6由切割线定理知PT2PAPB，PB8.弦AB的长为PBPA826.【变式2】如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BDAE，AB4，BC2，AD3，则DE_，CE_.【答案】5由圆的割线定理知：ABACADAE，AE8，DE5.连接EB，EDB90，EB为直径ECB90.由勾股定理，得EB2DB2ED2AB2AD2ED21692532.在RtECB中，EB2BC2CE24CE2，来源:学&科&网Z&X&X&KCE228，CE2.【变式3】如图，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为
29、PA的中点，过M引割线交圆于B、C两点求证：MCPMPB.【答案】PA与圆相切于A，MA2MBMC.M为PA的中点，PMMA，PM2MBMC，.BMPPMC，BMPPMC，MCPMPB.类型八、综合应用例10. 如图所示，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与ABC外接O交于点D，N为BC延长线上一点，且CNCD，DN交O于点M。求证：（1）DBDC（2）【思路点拨】（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到；（2）欲证乘积式，只须证比例式，也即，这只须要证明DCMDNC即可。【解析】（1）AD平分EAC EADD
30、ACDBC 又ABCD内接于O EADDCB 故DBCDCB DBDC （2）DMC180DBC180DCBDCN， 且CDMNDC DMCDCN 故 【总结升华】本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法。举一反三： 【变式1】已知：如图所示，在等腰三角形ABC中，ABAC，D是AC的中点，DE平分ADB交AB于E，过A、D、E的圆交BD于N。 求证：BN2AE【答案】连结EN 四边形AEND是圆内接四边形 BNEA 又ABDABD BNEBAD 又ADENDE AEEN BN2AE【变式2】如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED. (1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆【答案】 (1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A，B，G，F四点共圆
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