1、圆的方程编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】要点一：圆的标准方程，其中为圆心，为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时
2、：；过原点：(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点三：圆的一般方程当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.要点诠释：由方程得(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程条件方程
3、形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于或的方程组.(3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如
4、圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）2求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；（2）列出关于的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答【典型例题】类型一：圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；(3)经过点，圆心在点【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法
5、，求出圆心坐标和半径. 【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)(2)线段的中垂线方程为，与轴的交点即为圆心的坐标，所以半径为 ，所以圆的方程为.(3)解法一：圆的半径，圆心在点圆的方程是解法二：圆心在点，故设圆的方程为又点在圆上，所求圆的方程是.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程举一反三：【变式1
6、】圆心是（4，1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A(x4)2+(y+1)2=10 B(x+4)2+(y1)2=10C(x4)2+(y+1)2=100 D【答案】A例2求圆心在直线2xy3=0上，且过点（5，2）和（3，2）的圆的方程【答案】(x2)2+(y1)2=10【解析】 解法一：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，由题意得，解方程组得a=2，b=1，所求圆的方程为(x2)2+(y1)2=10解法二：因点（5，2）和（3，2）在圆上，故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上，可求得垂直平分线的方程为x+2y4=0又圆心在直线2xy3=0上，故圆心为两直线的交点由求得两直线交点为（2
7、，1），由两点间距离公式可求得半径为故所求圆的方程为(x2)2+(y1)2=10【总结升华】求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径，这就需要充分挖掘题目中所给的几何条件，并充分利用平面几何中的有关知识求解，如“若圆经过某两点，则圆心必在这两点连线的中垂线上”等举一反三：【高清课堂：圆的方程370891 典型例题1】【变式1】（1）过点且圆心在直线上；（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为【答案】（1）（2）或【解析】（1）设圆的方程为：，则 ，解得：所求圆的方程为：（2）设圆的方程为：，则 解得：或所求圆的方程为：或类型二：圆的一般方程例3已知直线x2+y22(t+3)x+2(
8、14t2)y+16t4+9=0表示一个圆（1）求t的取值范围；（2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示，则它具备隐含条件D2+E24F0，解题时，应充分利用这一隐含条件【答案】（1）（2）（t+3，4t21） （3） 【解析】（1）已知方程表示一个圆D2+E24F0，即4(t+3)2+4(14t2)24(16t4+9)0，整理得7t26t10（2）圆的方程化为x(t+3)2+y+(14t2)2=1+6t7t2它的圆心坐标为（t+3，4t21），半径为（3）由r的最大值为，此时圆的标准方程为【总结升华】 在本例中，当t在中任取一
9、个值，它对应着一个不同的圆，它实质上是一系列的圆，因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程，由得y=4(x3)21，再由，知，因此它是一个圆心在抛物线的圆系方程举一反三：【高清课堂：圆的方程370891 典型例题2】【变式1】（1）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；（2）求经过点且与直线相切于点（8，6）的圆的方程【答案】（1） （4，1） （2）【解析】（1）法一：设圆的方程为：，则，解得：所以所求圆的方程为：，即，所以圆心为（4，1），半径为法二：线段的中点为为，线段的中垂线为，即同理得线段中垂线为联立，解得所以所求圆的方程为（4，1），半径所以（2）法一：设圆的方程为：，则，解得：所以圆
10、的方程为法二：过点与直线垂直的直线是，线段的中垂线为，由得：圆心坐标为，由两点间距离公式得半径，所以圆的方程为【变式2】判断方程ax2+ay24(a1)x+4y=0（a0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长 【答案】表示圆，圆心坐标，半径【变式3】方程表示圆，则a的取值范围是 A或 B C D【答案】D【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为，所以若方程表示圆，则有， ， 例4（1）ABC的三个顶点分别为A（1，5），B（2，2），C（5，5），求其外接圆的方程；（2）圆C过点P（1，2）和Q（2，3），且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等，求圆C的方程【思路点拨】在（1
11、）中，由于所求的圆过三个点，因而选用一般式，从而只要确定系数D、E、F即可；注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点，所以也可先求圆心，再求半径，从而求出圆的方程在（2）中，可用圆的一般方程，但这样做计算量较大，因此我们可以通过作图，利用图形的直观性来进行分析，从而得到圆心或半径所满足的条件【答案】（1）x2+y24x2y20=0（2）(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】（1）解法一：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意有，解得故所求的圆的方程为x2+y24x2y20=0解法二：由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2，BC的中垂线方
12、程为x+y3=0圆心是两中垂线的交点（2，1），半径，所求的圆的方程为(x2)2+(y1)2=25，即x2+y24x2y20=0（2）解法一：如右图所示，由于圆C在两坐标轴上的弦长相等，即|AD|=|EG|，所以它们的一半也相等，即|AB|=|GF|，又|AC|=|GC|，RtABCRtGFC，|BC|=|FC|设C（a，b），则|a|=|b| 又圆C过点P（1，2）和Q（2，3），圆心在PQ的垂直平分线上，即，即y=3x+4，b=3a+4 由知a=b，代入得或或5故所求的圆的方程为(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25即x2+y2+2x2y3=0或x2+y2+4x+4
13、y17=0解法二：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆C过点P（1，2）和Q（2，3），解得圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D8)y+117D=0，将y=0代入得x2+Dx+117D=0圆C在x轴上截得的弦长为将x=0代入得y2+(3D8)y+117D=0，圆C在y轴上截得的弦长为由题意有，即D24(117D)=(3D8)24(117D)，解得D=4或D=2故所求的圆的方程为x2+y2+4x+4y7=0或x2+y2+2x2y3=0【总结升华】 （1）本例（1）的解法二思维迂回链过长，计算量过大，而解法一则较为简捷，因此，当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系，在求该圆的方程时
14、，一般设圆的方程为一般方程，再用待定系数法来确定系数即可（2）本例（2）中，尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系，但可通过画图分析，利用平面几何知识，找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹，从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算（3）一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件举一反三：【变式1】如图，等边ABC的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长 【答案】，类型三：
15、点与圆的位置关系例5判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x5)2+(y6)2=10的位置关系【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内【解析】 圆的方程为(x5)2+(y6)2=10，分别将M（6，9），N（3，3），Q（5，3）代入得(65)2+(96)2=10，M在圆上；(35)2+(36)2=1310，N在圆外；(55)2+(36)2=910，Q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O，半径为r，则点P在圆内|PQ|r；点P在圆上|PQ|=r；点P在圆外|PO|r从数的角度来看，设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2，圆心为A（a，b），半径为r，则
16、点M（x0，y0）在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2；点M（x0，y0）在圆外(x0a)2+(y0b)2r2；点M（x0，y0）在圆内(x0a)2+(y0b)2r2举一反三：【变式1】已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？【答案】点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内类型四：轨迹问题例6等腰ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状【思路点拨】可以判断出C的轨迹以A为圆心，半径为|AB|的圆.利用直接法求出方程.【答案】
17、除去点(-1，15)和点(1，-3)【解析】由题意得|CA|=|AB|，则点C到定点A的距离等于定长|AB|，所以C的轨迹是圆.又，C的轨迹方程为除去点(-1，15)和点(1，-3)，即C的轨迹形状是以点A(0，6)为圆心，半径为的圆，其中去除点(-1，15)和点(1，-3).【总结升华】 本例求轨迹方程的方法是直接法用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标为M（x，y）；（2）几何点集：写出满足题设的点M的集合P=M|P (M)；（3）翻译列式：将几何条件P（M）用坐标x、y表示，写出方程f (x,y)=0；（4）化简方程：通过同解变形化简方程；
18、（5）查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点，曲线上是否有遗漏的点例7已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程【答案】(x2)2+y2=1【解析】 设Q点坐标为（x，y），P点坐标为（x，y），则且，即x=2x4，y=2y又P点在圆x2+y2=4上，x2+y2=4，将x=2x4且y=2y代入得(2x4)2+(2y)2=4，即(x2)2+y2=1故所求的轨迹方程为(x2)2+y2=1【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法代入法，对于“双动点”问题，即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时，通
19、常用这一方法代入法是先设所求轨迹的动点坐标为（x，y），在已知曲线上运动的点的坐标为（x，y），用x，y表示x，y，即x=f (x,y)，y=g (x,y)，并将它代入到已知曲线方程，即求出所求动点的轨迹方程一般情况下，证明可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，即扣除不合题意的解或补上失去的解举一反三：【变式1】已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程 【答案】 【高清课堂：圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆【解析】以两定点所在的直线为轴，以两定点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，设两定点分别为，设动点，则，整理得：所以，即所以动点的轨迹是一个圆
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