1、平面编稿：丁会敏审稿： 王静伟【学习目标】1.利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法2重点掌握平面的基本性质3.能利用平面的性质解决有关问题【要点梳理】【高清课堂：空间点线面之间的位置关系 知识讲解】要点一、平面的基本概念1.平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的要点诠释：(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；(2) “平面”无厚薄之分；(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面
2、图形”的依据2.平面的画法：通常画平行四边形表示平面要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3.平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；4.点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；(2)点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；(3)直线在平面内，记作；直线不在平面内
3、，记作要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；(2)符号语言表述：，；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2.公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；(2)符号语言表述：、三点不共线有且只有一个平面，使得，；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把空间问题化
4、归成平面问题的重要依据它还可用来证明“两个平面重合”特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件“有且只有一个”的含义可以分开来理解“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义(4)公理2的推论：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；过两条相交直线，有且只有一个平面；过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3.公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；(2)符号语言表述：且；(3)图形语言表述：要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及
5、证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题 1证明点线共面的主要依据： （1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论） 2证明点线共面的常用方法： （1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面a、重合；（3）反证法 3具体操作方法： （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内； （2
6、）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内要点四、证明三点共线问题 所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同条直线上 1证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上 对于这个公理应进一步理解下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上
7、2证明三点共线的常用方法 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点根据公理3知，这些点都在交线上 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上要点五、证明三线共点问题 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点 1证明三线共点的依据是公理3 2证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1平面内的直线a、b相交于点P，用符号语寄语言概述为“，且P ”，是否正确？ 【答案】不正确【解析】不正确应表示为：，且ab=P 相交于点P的直线a、b都在平面内，也可以说，
8、平面经过相交于点P的直线a、b题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P，点P在平面内，而没有描述直线a、b也都在平面内，下图也是题中的符号语言所表示的情形 【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）组成立体几何语言，我们必须准确地把握它们其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的培养举一反三：【变式1】 根据下列符号表示的语
9、句，说明点、线面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）A，B；（2），；（3）P，P，Q，Q【解析】（1）点A在平面内，点B不在平面内； （2）直线在平面内，直线m与平面相交于点A，且点A不在直线上； （3）直线经过平面外一点P和平面内一点Q 图形分别如图（1）、（2）、（3）所示 类型二、平面的确定例2判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）一点和一条直线确定一个平面； （2）经过一点的两条直线确定一个平面： （3）两两相交的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内【答案】不正确 正确 不正确 不正确 【解析】（1）不正确如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不
10、在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有且只有一个平面，或直接由公理2的推论1知，有且只有一个平面 （2）正确经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2的推论2知，有且只有一个平面 （3）不正确3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图（1）、（2）所示前者，由公理2的推论2知可以确定1个或3个平面；后者，由公理2的推论2及公理1知，能确定一个平面 （4）不正确四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图（3），因此这4条线段不一定在同一平面内【总结升华】公理2及其3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件立体几何研究的对象是空
11、间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们各种不同的位置关系，以及由此产生的不同结果举一反三：【变式1】正方体的八个顶点一共可以确定 个平面【答案】20例3在空间内，可以确定一个平面的是（ ） A两两相交的三条直线 B三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 C三个点 D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 【答案】D 【解析】A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A； B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除
12、B； 对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，因此排除C； 只有选项D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理2知其确定一个平面所以应选D 【总结升华】要准确理解“确定”的含义，即为“有且只有”，其包含存在性和唯一性两个方面解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速类型三、平面的基本性质的应用例4已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线求证：直线a、b、c、d共面【解析】（1）无三线共点的情况如右图所示，设ad=M，bd=N，cd=P，ab=q，ac=R，bc=Sad=M，a，d可确定一个平面，Nd，
13、Qa，N，Q，NQ，即b同理c直线a、b、c、d共面（2）有三线共点的情况如右图所示，设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M，且KaKa，A和a可确定一个平面，设为Na，a，N，又K，NK，即b同理c，d，直线a、b、c、d共面由（1）（2）知直线a、b、c、d共面 【总结升华】（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中 （2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：利用公理2及其推论直接证
14、明；重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，再证明两个平面重合（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可举一反三：【变式1】 如右图，已知直线m与直线a、直线b分别交于A、B且ab求证：过a、b、m有且只有一个平面 证明：ab，过a、b有一个平面 又ma=A，mb=B，Aa，Bb，A，B 又Am，Bm，m，即过a、b、m有一个平面 假设过a、b、m还有一个平面异于， 则， 这与ab，过a、b有且只有一个平面相矛盾 因此，过a、
15、b、m有且只有一个平面例5如右图，已知ABC在平面外，它的三边所在直线分别交于P、Q、R， 求证：P、Q、R三点共线 证明：因为A、B、C为平面外的三点，所以ABC所在的平面与平面不重合 因为AB=P，所以P为平面与的公共点 同理可证R、Q也是平面与的公共点 由公理3知，P、Q、R三点共线 【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上 （1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在
16、这两个平面的交线上 （2）证明三点共线的常用方法： 方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点 方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上 类似地有：（1）证明三线共点的依据是公理3（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题举一反三：【高清课堂：空间点线面之间的位置关系 例3】【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P求证：B，D，P在同一直线上【解析】例6. 如下图，在三棱锥S-ABC的边SA、SC、AB、BC上分别取点E、F、
17、G、H，若EFGH=P，求证：EF、GH、AC三条直线交于一点证明：ESA，SA平面SAC，FSC，SC平面SAC，EF平面SACGAB，AB平面ABC，HBC，BC平面ABC，GH平面ABC，又EFGH=P，P平面SAC，P平面ABC平面SAC平面ABC=AC，PAC 即直线EF、GH、AC共点于P 【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据举一反三： 【变式1】 如右图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 求证：直线EF、GH、AC相交于一点 证明：E、H分别是边AB、AD的中点，
18、EHBD且 F、G分别是边BC、CD上的点，且，FGBD且故知EHFG且EHFG， 即四边形EFGH为梯形，从而EF与GH必相交，设交点为P PEF，EF平面ABC，P平面ABC 同理P平面ADC 平面ADC平面ABC=AC，PAC 即EF、GH、AC交于一点P例7如下图，E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线 【解析】 设法找出两平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线 如上图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M 因为MFD1，MDA，FD1平面BED1F
19、，AD平面ABCD，所以M平面BED1F平面ABCD，又B平面BED1F平面ABCD，所以，连接MB，则MB=平面BED1F平面ABCD 即直线MB为所求两平面的交线【总结升华】求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点本题中两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，进而推出该点也为两平面的公共点，这两点确定的直线即为所求举一反三：【变式1】 已知正方体ABCD=A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点，试作出过M、N、P三点的截面 作法：（1）设M、N、P三点确定的平面为，则平面 与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MPA1B1=R，则RN是平面与平面A1B1C1D1的交线，设RNB1C1=Q，连接PQ，则PQ是平面与平面BB1C1C的交线（如右图） （2）设MPA1A=F，则FN是平面与平面A1D1DA的交线，设FNAD=H，连接HM，则HM是平面与平面ABCD的交线 由（1）（2）知平面PMHNQ就是过M、N、P三点的截面（如右图中阴影部分）8
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