1、空间直角坐标系编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中
2、指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；
3、点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点，则此两点间的距离.特别地，点与原点间的距离公式为.2.空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.【典型例题】类型一：空间坐标系例1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。 （1）求各顶点的坐标；（2）求棱C1C中点的坐标；（3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。【答案】（1）略（2
4、）（3）【解析】如图所示，由棱长为1，可得（1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；（2）棱CC1中点为；（3）平面AA1B1B对角线交点为。【总结升华】（1）空间的中点坐标公式：设A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2），则AB的中点为。（2）熟记坐标轴上点的坐标和坐标平面上点的坐标表示的特征。举一反三：【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABCD1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标【答案】O（0，0，0）
5、，A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2在平面直角坐标系中，点P（x，y）的几种特殊的对称点的坐标如下： （1）关于原点的对称点是P（x，y）； （2）关于轴的对称点是P（x，y）； （3）关于轴的对称点是P（x，y） 那么，在空间直角坐标系内，点P（x，y，z）的几种特殊的对称点坐标为： 关于原点的对称点是P1_； 关于横轴（x轴）的对称点是P2_； 关于纵轴（y轴）的对称点是P3_； 关于竖轴（z轴）的对称点是P4_； 关于xOy坐标平面的对称点是P5_； 关于yOz坐标平面
6、的对称点是P6_； 关于zOx坐标平面的对称点是P7_【答案】 （x，y，z） （x，y，z） （x，y，z） （x，y，z）（x，y，z） （x，y，z） （x，y，z）【解析】 类比平面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论：P1（x，y，z）；P2（x，y，z）；P3（x，y，z）；P4（x，y，z）；P5（x，y，z）；P6（x，y，z）；P7（x，y，z） 【总结升华】 上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点P1，则有PP1的中点为原点。由中点坐标公式即可求出P1点坐标上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于轴对称的点，横坐标不
7、变，纵、竖坐标变为原来的相反数；关于坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反举一反三： 【变式1】（1）在空间直角坐标系中，点P（2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A（2，1，4） B（2，1，4） C（2，1，4） D（2，1，4） （2）在空间直角坐标系中，点P（2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ） A（2，1，4） B（2，l，4） C（2，1，4） D（2，1，4）【答案】（1）B （2）A类型二：两点间的距离公式例3如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作ODAC于D，求点O1到点D的距离。【答案】【
8、解析】 由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）。设D（x，y，0）。在RtAOC中，|OA|=2，|OC|=3， 如右图，过点D分别作DMOA于M，DNOC于N，则RtODA与RtOMD相似，可得，|OM|=x，|OD|2=x|OA|，同样的，利用RtODC与RtODN相似，可得 【总结升华】若原题目中没有建立坐标系，要注意根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上。 举一反三： 【变式1】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的
9、距离【答案】M、N两点间的距离为。【变式2】已知两点 A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)，点P在z轴上，若|PA|=|PB|，求点P的坐标.【答案】P例4在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PAPB1 【解析】 如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，则A（1，0，0），B1（1，1，1），由两点间的距离公式得，。 |AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，APPB1 【总结升华】 本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比较，也更体现出了坐标法解题的优越性 依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利用空间
10、中两点问的距离公式可以求距离、证垂直、求举一反三： 【变式1】如右图所示，已知PA平面ABCD，平面ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB。 【答案】如图所示，以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），设B（a，0，0），D（0，b，0），P（0，0，c），因为M、N分别是AB、PC的中点，所以，。方法一：连接AN，在AMN中，有，所以|AN|2=|MN|2+|AM|2，所以MNAB。方法二：连接AN、BN，因为，所以|AN|2=|BN|2，即|AN|=|BN|，所以ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，所
11、以MNAB。 例5正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动。若|CM|=|BN|=a（）。 （1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短。【答案】（1）（2）【解析】因为平面ABCD平面ABEF，且交线为AB，BEAB，所以BE平面ABCD，所以BA，BC，BE两两垂直。取B为坐标原点，过BA，BE，BC的直线分别为x轴，y轴和z轴，建立如图4-3-12所示的空间直角坐标系。因为|BC|=1，|CM|=a，且点M在坐标平面xBz内且在正方形ABCD的对角线上，所以点。因为点N在坐标平面xBy内且在正方形ABEF的对角线上，
12、|BN|=a，所以点。（1）由空间两点间的距离公式，得，即MN的长度为。（2）由（1）得，当（满足）时，取得最小值，即MN的长度最短，最短为。【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值。举一反三：【变式1】正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M为AC的中点，点N在DD1上运动，求|MN|的最小值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，0)，由于点N在z轴上，故设N的坐标为(0，0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，当点N在原点时，|MN|有最小值为.6
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