1、概率的应用 编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】联系实际，利用实例对概率应用作正确理解，进而了解概率应用的广泛性。【要点梳理】要点一：概率在现实生活中的应用 在现实生活中，随机现象广泛存在，概率论就是用数学的观点研究随机现象基本性质的数学知识概率是指随机事件发生的可能性大小的数量指标，事件的概率记为P(A)虽然在现实生活中我们不能准确预测未来或一些尚未发生的事件，但概率论的应用有利于更好地处理各种不确定因素概率论渗透到生活的方方面面，从而为我们的日常生活带来方便 要点二：互斥事件概率的加法公式的应用 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的
2、概率的和，即P(A+B)P(A)+P(B)；如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1+A2+An发生(即A1，A2，An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+An)P(A1)+P(A2)+P(An)；对立事件的概率和等于1，即P(A+)P(A)+P()1， P()1P(A)互斥事件概率的加法公式，是在事件A和事件B互斥的前提下使用的事件A、B互为对立事件的条件：AB为不可能事件，AB为必然事件，且有P(A)+P(B)1对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件，只有当两个互斥事件中有一个发生时，它才能成为对立事件 从集合的角度来看，若将总体看
3、成全集U，将事件A看成由A所含的结果组成的集合，则A是U的子集，这时A的对立事件A可看成是A的补集；判断两个事件是否为对立事件。首先要判断它们是否互斥，其次要确定它们中必定要有一个发生 从正面解决问题较困难时，可转换思维视角从其反面考虑，即从事件的对立事件考虑，往往可以降低解题的难度，简化运算，即“正难则反” 要点三：古典概型的应用古典概型有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件有有限个；每个基本事件出现的可能性相等满足以上两个特点，便可用古典概型概率公式求解其中，n是基本事件总数，m是所求事件所含的基本事件数要点诠释： 古典概型问题中，如果基本事件的个数比较少，可用列举法将基本事件一一列出，
4、但列举时应按某种规律一一列举，做到不重不漏，常常可借助于树状图、表格、坐标系等 要点四：几何概型的应用 几何概型是另一种重要的概率模型，它的两个基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果基本事件有无限多个；(2)每个基本事件发生的可能性相等古典概型与几何概型中基本事件发生都是等可能的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个几何概型事件A的概率计算公式为要点诠释：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解 (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域
5、(3)一元几何概型长度之比，二元几何概型面积之比，三元几何概型体积之比 要点五：概率的应用 概率问题求解的关键是寻找它的模型，只要正确找到模型，问题便迎刃而解，而概率模型的提取往往需要观察、分析、归纳、判断等复杂的思维过程，解题时必须熟悉各种概率的类型，注意一题多解的总结和各方法之间的联系 应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意各事件彼此是否互斥求复杂事件的概率通常有两种思路：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率 要学会判断所求概率是古典概型还是几何概型对于古典概型的计算，关键是要分清基本事件总数及事件A所包含的基本事件数找出古典概型的基本事件空间常用的方法有：(1)列
6、举法；(2)坐标网格法；(3)树状图等注意恰当地进行分类，分类时应不重不漏，要分清问题是“放回”还是“不放回”对于几何概型问题的计算，在确定基本事件时要分析清楚该问题是与长度、角度、面积、体积哪个有关的几何概型，再用公式计算【典型例题】类型一：概率在现实生活中的应用例1.某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？【思路点拨】我们可以计算各班的概率,以此判断这种方法是否公平.【答案】不公平【解析】这种方法是不公平的，分析如下：任意抛掷一枚
7、骰子，有6种可能的结果，因此当第一枚骰子出现一种结果时，第二枚骰子仍然随机地出现6种可能的结果，故掷两枚骰子共出现66=36种可能结果，由于抛掷是随机的，所以这36种结果是等可能出现的.在这36种等可能的结果中，我们可以看出，“点数和为2”只有一种可能，即出现“点数和为2”的频率约为.也就是说，选二班的可能性只有.“点数和为3”有两种可能，即出现“点数和为3”的频率约为.也就是说，选三班的可能性有；（由分析可知，每个班被选中的可能性是不同的；七班被选中的可能性最大，约为；其次是六班和八班，约是；可能性最小的是二班和十二班，可能性只有.显然此做法不公平. 举一反三：【变式1】在一场乒乓球比赛前，
8、要决定由谁先发球，可用下面的方法：裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的均匀塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈那面朝上还是绿圈那面朝上，如果他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方发球试作出解释 【解析】 这样体现了公平性，它使得两名运动员的先发球机会是等可能的用概率的语言描述，就是两个运动员取得发球权的概率都是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的 【总结升华】 足球比赛中用抛掷硬币的方式来确定场地也是这个原因【变式2】甲、乙二人玩一个游戏，每人抛一个质
9、地均匀的小立方体（每个面分别标有数字1、2、3、4、5、6），落地后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜你认为这个游戏公平吗？试说明理由【思路点拨】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可，游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平【解析】公平理由：甲/乙1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，
10、2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，其中两个数字之和为偶数的有18种，数字之和为奇数的有18种，P（甲胜）=P（乙胜）=游戏是公平的类型二：互斥事件概率的加法公式的应用例2某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，而且一些成员还参加了不止1个小组，具体情况如图所示随机选取一个成员(1)他属于至少2个小组的概率是多少？ (2)他属于不超过2个小组的概率是多少?【解析】 (1)从
11、图中可以看出，三个课外小组总人数为60用A表示事件“选取的成员只属于一个小组”，则A就表示“选取的成员属于至少2个小组”，于是因此，随机选取的个成员属于至少2个小组的概率是(2)用B表示事件“选取的成员属于3个小组”，则就表示“选取的成员属于不超过2个小组”，于是， 所以随机选取的个成员属于不超过2个小组的概率是【总结升华】本题将集合的表示与概率交汇于一体，有新意这种看图、识图、用图也是很符合我们这个“读图时代”的举一反三：【变式1】抛掷颗质地均匀的骰子，求点数和为的概率。【解析】在抛掷颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现点，点，点种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号以便区分，因此同时掷两颗骰子的
12、结果共有，在上面的所有结果中，向上的点数之和为的结果有，共种，所以，所求事件的概率为.类型三：古典概型的应用例3.某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码本中任取一个电话号码，求： (1)头两位数码都是8的概率； (2)头两位数码都不超过8的概率 【解析】 电话号码每位上的数字都可以由0，1，2，9十个数字中的任一个数字组成，故试验基本事件总数为n108 (1)记“头两位数码都是8”为事件A，则事件A的一、二两位数码都只有一种选法，即只能选8，后六位各有10种选法，故事件A包含的基本事件数为m111106106 由古典概型概率公式，得P(A) (2)记“头两位数码都不超过8”为事件B，则事件B
13、的一、二两位数码都有9种选法，即从08这9个数字中任选一个，后六位各有10种选法故事件B所包含的基本事件总数为m29910681106 由古典概型概率公式，得【总结升华】 随机事件的概率公式为本题要仔细分析，准确求解举一反三：【变式1】如果生男生女的概率一样，阿来叔叔家有4个小孩，全是女孩的概率大不大？ 有1个男孩和3个女孩的概率，与有3个男孩和1个的概率一样吗?【解析】 通常使用树状图来讨论表示女孩，表示男孩，阿来叔叔的四个小孩性别的所有可能情况如图所示 由树状图可以看出，四个小孩性别的所有可能情况有16种，其中4个孩子都是女孩只有情况(1)一个，我们称“4个孩子都是女孩的概率是”1个男孩和
14、3个女孩的情况有(2)(3)(5)(9)四个，我们称“1个男孩和3个女孩的概率是”3个男孩和1个女孩的情况有(8)(12)(14)(15)四个，我们称“3个男孩和1个女孩的概率是”因此，有1个男孩和3个女孩的概率，与有3个男孩和1个女孩的概率是一样的 类型四：几何概型的应用例4.设有一个等边三角形网格，如图所示，其中每个最小等边三角形的边长都是cm，现有直径等于2 cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率 【思路点拨】 硬币落下后与格线没有公共点的充要条件是硬币中心与格线的距离都大于半径1，在等边三角形内作三条与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等
15、边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题 【解析】记A硬币落下后与格线没有公共点，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为由几何概率公式得 【总结升华】 解决此题的关键是把问题转化为硬币中心到三角形三边的距离问题，即硬币中心落在小三角形内的概率 举一反三： 【变式1】如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？【解析】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件
16、。设A“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：2525625两个等腰直角三角形的面积为：带形区域的面积为：62552996 。 例5.在间隔时间T(T2)内的任何瞬间，两个信号等可能地进入收音机若这两个信号的间隔时间小于2，则收音机将受到干扰，试求收音机受到干扰的概率(单位：秒)【解析】 设两个信号进入收音机的瞬间分别为x与y，x与y的变化范围为0xT，0yT，则样本空间W是边长为T的正方形，且当|x-y|2时，收音机受到干扰，即当样本点(x，y)落在两条直线yx+2，yx-2之间，且在正方形之内的区域A(如图中阴影部分)中时，收音机才受到干扰，于是所求概率为【总结升华】 对于一个随机
17、试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验称为几何概型几何概型解题方法与步骤：一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域边界；建立空间模型，根据空间模型和边界画图；对照定义，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率分清d和D，分别计算其几何度量和 举一反三： 【变式1】一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种
18、情况的概率各是多少?(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯 【解析】总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，（1）出现红灯的概率。（2）出现黄灯的概率。（3）不是红灯的概率。【变式2】甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，如果甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率 【解析】如图，用x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的条件是2xy4.在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果为图中阴影部分所示故A242222202134，242576.所以P(A)
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