1、 立体几何初步全章复习与巩固编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】1了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。2.能画出简单空间图形的三视图，由三视图能够还原成空间立体图形，并会用斜二测法画出它们的直观图。3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4.理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。5.理解平面的基本性质及确定平面的条件。6.掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。7.掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。【知识网络】【要点梳理】 要点一：空间几何体的结构与特征 本章出现的几何体有：棱柱与圆柱统称为柱体；棱锥
2、与圆锥统称为锥体；棱台与圆台统称为台体；球体 柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形 空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：它能反映物体的长度和宽度先会读懂三视图，并还原为直观图，再研究其性质和进行计算侧面展开图问题是经常出现的一个问题平面图形的翻折与空间图形的
3、展开问题，要对照翻折(或展开)前后两个图形，分清哪些元素的位置(或数量)关系改变了，哪些没有改变，哪些元素是同一个元素 与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，基本概念和公式要熟练，计算要准确，重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用，等积转换可使体积计算变得简单化 要点二：平面基本性质 刻画平面的公理(或基本性质)是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题、进行逻辑推理的基础 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内作用：是判定直线是否在平面内的依据 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面作用：提供确定平面最基本的依据 公理3：如果不重合的
4、两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线作用：是判定两个平面交线位置的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行作用：是判定空间直线之间平行的依据 要点三：空间的平行与垂直关系 理解和熟练应用空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理，是解决有关计算和证明的金钥匙归纳出以下判定定理： (1)空间中的平行关系 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行 如果两个平行平面同时与第
5、三个平面相交，那么它们的交线平行 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 (2)空间中的垂直关系 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 解决空间问题的重要思想方法：等价转化化空间问题为平面问题空间平行、垂直关系证明的基本思想方法转化与联系，如图所示 【典型例题】类型一：空间几何体的三视图例1某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩
6、的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等（2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG；【总结升华】根据三视图判断空间几何
7、体的形状，进而求几何体的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台举一反三：【变式1】一个几
8、何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_.【答案】38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为 【总结升华】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计算出表面积. 例2如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）。（1）在正视图下面，按照画
9、三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：面EFG。【思路点拨】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体ABCD-ABCD中，连接AD，在所给直观图中连接BC，证明EGBC，即可证明BC面EFG【解析】（1）如图4642224622（俯视图）（正视图）（侧视图） （2）所求多面体体积ABCDEFG （3）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面 【总结升华】长方体的有关知识、体积计算及三视图
10、的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视类型二：几何体的表面积和体积例3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示 （单位：m）:（1）试画出它的直观图； （2）求它的表面积和体积.【思路点拨】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1由此可画出直观图（2）分别求出个面的面积，之和即为表面积；法一：将该几何体看作一个长方体被截去一个角，而且被截去的部分为一直三棱柱，利用长方体和棱柱的体积公式求解即可法二：该几何体为直四棱柱，体面为直角梯形，故利用棱柱的体积
11、公式求解即可【解析】（1）由三视图可知该几何体为棱柱，底面为直角梯形，上下底边长分别为1和2，高为1，侧棱垂直于底面，长为1直观图如图所示：（2）法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A1A，A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，则AA1EB是正方形，AA1=BE=1在RtBEB1中，BE=1，EB1=1，BB1=几何体的表面积S=S正方形AA1D1D+2S梯形AA1B1B+S矩形BB1C1C+S正方形ABCD+S矩形A1B1C1D1=1+=（m2）几何体的体积该几何体的表面积为（）m2，体积为。法二：几何体也可以看
12、作是以AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同法一，V直四棱柱D1C1CD-A1B1BA=Sh=该几何体的表面积为（）m2，体积为。举一反三：【变式1】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( ) A B C D 【答案】 B 【解析】设三棱柱底面所在圆的半径为r，球的半径为R，易知，所以球的半径R满足：，所以【变式2】如图,在长方体中,则四棱锥的体积为 cm3.【答案】6. 【解析】长方体底面是正方形,中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高). 四棱锥的体积为. 类型三：直线、平面的位置关系例4.如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1
13、=A1C1，AC1A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.（1）求证：C1M平面A1ABB1；（2）求证：A1BAM；（3）求证：平面AMC1平面NB1C；（1）【证明】方法一 由直棱柱性质可得AA1平面A1B1C1，又C1M平面A1B1C1，AA1MC1.又C1A1=C1B1，M为A1B1中点，C1MA1B1.又A1B1A1A=A1，C1M平面AA1B1B. 方法二 由直棱柱性质得：平面AA1B1B平面A1B1C1，交线为A1B1，又C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，C1MA1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M平面AA1B1B.（2）【证明】由（1）知C1M平面A1ABB1，C
14、1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.AC1A1B，MC1A1B，MC1AC1=C1，A1B平面AMC1，又AM平面AMC1，A1BAM.（3）【证明】方法一 由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，ANB1M.四边形AMB1N是平行四边形.AMB1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 AB.MB1 BN，四边形BB1MN是平行四边形.BB1 MN.又由BB1CC1，知MNCC1.四边形MNCC1是平行四边形.C1MCN.又C1MAM=M，CNNB1=N，平面AMC1平面NB1C.方法二 由（1）知C1M平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，C1MA
15、1B.又A1BAC1，而AC1C1M=C1，A1B平面AMC1.同理可证，A1B平面B1NC.平面AMC1平面B1NC. 【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式1】如图所示，平面，点C在以AB为直径的O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且（）求证：平面平面PAC；（）求证：平面PAC平面；【解析】（）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，来源:学科网 所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 ， 因为 平面，平面， 所以 平面PAC. 因为 平面，平面，所以 平面平面PAC. （）证明：因
16、为 点C在以AB为直径的O上，所以 ，即. 因为 平面，平面，所以 . 因为 平面，平面， 所以 平面.因为 平面， 所以 平面PAC平面. 【总结升华】（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明的最常用方法。例5如图所示，在五棱锥P-ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB，BC2AE4
17、，三角形PAB是等腰三角形(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥P-ACDE的体积 【解析】 (1)证明：因为ABC45，AB，BC4，所以在ABC中，由余弦定理得：AC2，解得所以AB2+AC28+816BC2，所以ABAC又PA平面ABCDE，所以PAAB又PAACA，所以AB平面PAC又ABCD，所以CD平面PAC又因为CDC平面PCD，所以平面PCD平面PAC (2)由(1)知平面PCD平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作AHPC于H，则AH平面PCD又ABCD，AB平面PCD，所以AB平面PCD，所以点A到平面PCD的距离等于点
18、B到平面PCD的距离过点B作BO平面PCD于点O，连接PO，则BPO为所求角，且AHBO，又容易求得AH2，所以sinBPO，即BPO30，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30 (3)由(1)知CD平面PAC，所以CDAC又ACED，所以四边形ACDE是直角梯形又容易求得DE，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P-AC-DE的体积为【总结升华】 本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积，考查了同学们的空间想象能力举一反三：【变式1】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB/DC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。（
19、1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积。【证明】（1）在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以，所以。又因为面面ABCD，面PAD面ABCD=AD，BD面ABCD所以BD面PAD。又BD面BDM，所以面MBD面PAD。（2）过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥P-ABCD的高。又PAD是边长为4的等边三角形，PO=。在底面四边形ABCD中，AB/DC，AB=2DC，四边形ABCD为梯形。在中，斜边AB上的高为，此即为梯形的高。S四边形ABCD=，例6如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PDDC
20、BC1，AB2，ABDC，BCD90(1)求证：PCBC；(2)求点A到平面PBC的距离 【解析】 (1)证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC 由BCD90，得CDBC，又PDDCD，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD 因为PC平面PCD， 所以PCBC(2)解法一：如图所示，分别取AB、PC的中点E、F，连接DE、DF，则易证DECB，所以DE平面PBC，所以点D、E到平面PBC的距离相等则点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离为2倍 由(1)知BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD因为PDDC，PFFC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF，
21、故点A到平面PBC的距离等于h 解法二：(体积法)连接AC设点A到平面PBC的距离为h 因为ABDC，B90，所以ABC90 从而由AB2，BC1，得ABC的面积 由PD平面ABCD及PD1，得三棱锥P-ABC的体积 因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC 又PDDC1，所以PC 由PCBC，BC1，得PBC的面积 由得，解得， 故点A到平面PBC的距离等于 【总结升华】 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力类型四：折叠问题例7 如下图(1)，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，F为AD中点，E在BC上，且
22、EFAB，已知ABADCE2，现沿EF把四边形CDFE折起如下图(2)，使平面CDFE平面ABEF(1)求证；AD平面BCE；(2)求证：AB平面BCE；(3)求三棱锥C-ADE的体积【解析】(1)证明：由题意知AFBE，DFCE， 平面ADF平面BCE又AD平面ADF， AD平面BCE(2)证明：在图1-8-14(1)中，EFAB，ABAD， EFAD又 平面CDFE平面ABEF，平面CDFE平面ABEFEF， CE平面ABEF CEAB又 ABBE， AB平面BCE(3)解： 平面CDFE平面ABEF，ABAF， AF平面CDFE， AF为三棱锥A-CDE的高，且AF1又 ABCE2， 举
23、一反三：【变式1】如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（）若为中点，求证：平面；（）求证：. 图1 图2 【解析】证明：（）取中点，连结 在中，分别为的中点， 所以，且 因为， 所以,且， 所以，且 所以四边形为平行四边形 所以 又因为平面，且平面， 所以平面 （） 取中点，连结.因为，所以，而，即是正三角形. 又因为, 所以. 所以在图2中有. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 类型五：探索性问题例8如下图，在四棱锥P-ABCD中，ABAD，CDAD，PA平面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点 (1)
24、求证：BM平面PAD； (2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由 【解析】(1)证明：取PD中点E，连接EM，AE EMCD，而ABCD， EMAB 四边形ABME是平行四边形 BMAE AE平面ADP，BM平面ADP， BM平面PAD(2)解： PA平面ABCD， PAAB又ABAD， AB平面PAD， ABPD PAAD，E是PD的中点， PDAE PD平面ABME 作MNBE，交AE于点N，则MN平面PBD易知BMEMEN而BMAE，EMCD1由，得， 即点N为AE的中点【总结升华】垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，一
25、般来说，要证线面垂直(平行)，需证线线垂直(平行)；要证线线垂直(平行)，需证线面垂直(平行)举一反三：【变式1】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是DAB60，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD(1)若G为AD边的中点，求证；BG平面PAD；(2)求证：ADPB； (3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论【思路点拨】(1)要证直线与平面垂直，已知PAD平面ABCD，只要证明BG与交线AD垂直即可；(3)是开放性问题，可以选取特殊点，比如取F为PC的中点来讨论【解析】 (1)证明：如下图(1) 在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点， BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， BG平面PAD(2)证明：如上图(2)，连接PG PAD为正三角形，G为AD的中点， PGAD由(1)知BGAD，PGBGG，PG平面PAD，BG平面PGB， AD平面PBG PB平面PGB， ADPB (3)解：当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD 证明如下：在PBC中，FEPB，又在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，FEDEE， 平面DEF平面PGB由(1)知，PG平面ABCD，而PG平面PGB， 平面PGB平面ABCD， 平面DEF平面ABCD
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