2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（b卷）含详细解答

1、2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）复数 （1+i）2等于（）A2B2C2iD2i2（3分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A（p）qBpqC（p）（q）D（p）（q）3（3分）已知向量，满足|+|，则（）A+BC与同向D与同向4（3分）命题“任意四边形都有外接圆”的否定为（）A任意四边形都没有外接圆B任意四边形不都有外接圆C有的四边形没有外接圆D有的四边形有外接圆5（3分）“是“sinsin”成立的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C

2、充要条件D既非充分又非必要条件6（3分）命题“当ABAC时，ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A1B3C2D07（3分）双曲线x24y24的焦点坐标为（）A（，0）B（0，）C（0，）D（，0）8（3分）已知直线l的方向向量，平面的法向量，且l，则m（）A8B8C1D19（3分）设抛物线y24x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1+x26，那么|AB|（）A7B8C9D1010（3分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD11（3分）设

3、F1、F2是椭圆E：+1（ab0）的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD12（3分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）ABCD二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）有下列四个命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；若a2+b20，则a，b全为0；命题“若ABB，则AB”的逆否命题；其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）14（4分）椭圆1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与椭圆相交于点A、B则A F1B的周长是 15（4分）已知复数z1m+2i

4、，z234i，若为实数，则实数m 16（4分）在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则 （用，表示）三、解答题（共48分）17（8分）已知抛物线y212x，双曲线，它们有一个共同的焦点求：（1）m的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程18（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2，AD1，AS平面ABCD，ABAD，且ASAB求直线SC与底面ABCD所成角的余弦值19（9分）已知p：x2+mx+10有两个不等的实根，q：函数f（x）（m2m+1）x在（，+）上是增函数若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围20（11分） 如图，在长方体AB

5、CDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，AB1（1）证明AF平面A1ED；（2）求二面角A1EDF的正弦值21（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（理科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）复数 （1+i）2等于（）A2B2C2iD2i【分析】直接展开两数和的平方公式求解【解答】解：（1+i）21+2i

6、+i22i，故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（3分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A（p）qBpqC（p）（q）D（p）（q）【分析】先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而p为假命题，q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选：D【点评】本题考查复合命题的真值判断，属基本题3（3分）已知向量，满足|+|，则（）A+BC与同向D与同向【分析】利用向量的模的关系，直接判断结果即可【解答】解：向量，满足|+|

7、，所以C线段AB之间，所以与同向故选：D【点评】本题考查向量的模以及向量关系的充要条件，基本知识的考查4（3分）命题“任意四边形都有外接圆”的否定为（）A任意四边形都没有外接圆B任意四边形不都有外接圆C有的四边形没有外接圆D有的四边形有外接圆【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和否定词的变化，即可得到所求命题的否定【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“任意四边形都有外接圆”的否定为“有的四边形没有外接圆”故选：C【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和否定词的变化，属于基础题5（3分）“是“sinsin”成立的（）A充分非必要条件B必要非充

8、分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】当两个角相等时，可以得到两个角的正弦值相同，即sinsin，而当两个角的正弦值相等时，可以得到两个角是终边相同的角或终边关于纵轴对称的角，即后者不能推出前者【解答】解：当两个角相等时，可以得到两个角的正弦值相同，即sinsin，而当两个角的正弦值相等时，可以得到两个角是终边相同的角或终边关于纵轴对称的角，即后者不能推出前者，是sinsin的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是理解正弦值相同的两个角之间的关系，不要在这里出现错误，本题是一个基础题6（3分）命题“当ABAC时，ABC为等腰三角形”，则它的逆命题、否命题、逆

9、否命题中，真命题的个数是（）A1B3C2D0【分析】分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断它们的真假性即可【解答】解：原命题“当ABAC时，ABC为等腰三角形”，它是真命题；它的逆命题是：“若ABC为等腰三角形，则ABAC”，是假命题；其否命题是“若ABAC，则ABC不是等腰三角形”，也是假命题；其逆否命题是：“若ABC不是等腰三角形，则ABAC”，是真命题；综上，原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有1个故选：A【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题7（3分）双曲线x24y24的焦点坐标为（）A（，0）B（0，）C（0，）D（，0）

10、【分析】利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标【解答】解：双曲线x24y24，标准方程为：，可得a2，b1，c，所以双曲线的焦点坐标：（，0）故选：D【点评】本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8（3分）已知直线l的方向向量，平面的法向量，且l，则m（）A8B8C1D1【分析】l，可得0基础即可得出【解答】解：l，2+m+20m8故选：B【点评】本题考查了线面平行的性质、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9（3分）设抛物线y24x的焦点弦的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），若x1+x26，那么|AB

11、|（）A7B8C9D10【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的定义可得|AB|x1+x2+p得到答案【解答】解：抛物线y24xp2，根据抛物线的定义可得|AB|x1+x2+p6+28，故选：B【点评】本题主要考查抛物线的基本性质属基本知识的考查10（3分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则EB1F为直线AM与

12、CN所成角棱长为1，则B1EB1F，EF，cosEB1F，故选：D【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题11（3分）设F1、F2是椭圆E：+1（ab0）的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）ABCD【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|F2F1|，根据P为直线x上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|F2F1|P为直线x上一点故选：C【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题12（3分）如图，正方

13、体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（）ABCD【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离作EFBC1于F，进而可知EF平面ABC1D1，进而根据EFB1C求得EF【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离作EFBC1于F，易证EF平面ABC1D1，可求得EFB1C故选：B【点评】本题主要考查了点到面的距离计算解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）有

14、下列四个命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；若a2+b20，则a，b全为0；命题“若ABB，则AB”的逆否命题；其中是真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）【分析】写出的逆命题，判断真假；利用方程的解判断的正误；判断原命题的真假，即可判断逆命题的真假判断的正误；【解答】解：“全等三角形的面积相等”的逆命题：面积相等的三角形一定全等，显然不正确；因为a20，b20；若a2+b20，则a，b全为0；是真命题；命题“若ABB，则BA”，所以原命题是假命题，则它的逆否命题也是假命题；故答案为：【点评】本题考查命题的真假的判断，是基本知识的考查14（4分）椭圆1的左焦点为F1，过右焦点F2的直线与

15、椭圆相交于点A、B则A F1B的周长是8【分析】首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2BF1+BF22a4，最后将此式代入到三角形ABF1的周长表达式中，即可得到答案【解答】解：椭圆方程为：1，椭圆的长半轴a2，由椭圆的定义可得，AF1+AF22a4，且BF1+BF22a4，ABF1的周长为：AB+AF1+BF1（AF1+BF1）+（AF2+BF2）4a8，故答案为：8【点评】本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题15（4分）已知复数z1m+2i，z234i，若为实数，则实数m【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简

16、，再由虚部为0求得m值【解答】解：z1m+2i，z234i，又为实数，得m故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题16（4分）在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，则（用，表示）【分析】利用D为BC的中点，E为AD的中点，（+），（+），化简可得结果【解答】解：在四面体OABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，（+）+（+）+（+）+，故答案为：+【点评】本题考查向量中点公式的应用，以及两个向量的加减法的法则和几何意义三、解答题（共48分）17（8分）已知抛物线y212x，双曲线，它们有一个共同的焦点求：（1）m的值及双曲线的离心率；

17、（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程【分析】（1）求得抛物线的焦点（3，0），可得1+m9，解得m，进而得到双曲线的离心率e；（2）由准线方程公式求出抛物线的准线方程和渐近线方程的公式求得双曲线的渐近线方程【解答】解：（1）抛物线y212x的焦点为（3，0），双曲线（m0），可得1+m9，解得m8，双曲线的a1，c3，则e3；（2）抛物线y212x的准线方程为x3，双曲线x21的渐近线方程为【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（8分）如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2，AD1，AS平面ABCD，ABAD，且ASAB求直线SC与底面

18、ABCD所成角的余弦值【分析】连结AC，则SCA为所求线面角，在RtSAC中求出即可【解答】解：连结AC，AS平面ABCD，SCA为直线SC与平面ABCD所成的角ABBC2，ABBC，AC2，又ASAB2，SC2cosSCA直线SC与底面ABCD所成角的余弦值为【点评】本题考查了线面角的计算，属于中档题19（9分）已知p：x2+mx+10有两个不等的实根，q：函数f（x）（m2m+1）x在（，+）上是增函数若p或q为真，非p为真，求实数m的取值范围【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可【解答】解：x2+mx+10有两个不等的实根，判别式m240，得m2或

19、，m2，即p：m|m2或，m2，由函数f（x）（m2m+1）x在（，+）上是增函数，得m2m+11，即m2m0，得m1或m0，即q：m|m1或m0因为“p或q为真，非p为真”所以p假q真非p：m|2m2，q：m|m1或m0所以 m|2m0或1m2【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键20（11分） 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，AB1（1）证明AF平面A1ED；（2）求二面角A1EDF的正弦值【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出所用点的坐

20、标，得到，的坐标，由，0可得AFEA1，AFED再由线面垂直的判定可得AF平面A1ED；（2）求出平面EFD的法向量，由（1）可知，为平面A1ED的一个法向量，可得cos，进一步求得二面角A1EDF的正弦值为【解答】（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB1，则D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，0）（1，2，1），于是13+40，1+10因此，AFEA1，AFED又EA1EDE，AF平面A1ED；（2）解：设平面EFD的法向量（x，y，z），则，取z1可得（1，2，1），由（1）可知，为平面A1ED的一个法向量，于是cos，从而sin，二面角

21、A1EDF的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题21（12分）在平面xOy中，已知椭圆C：过点P（2，1），且离心率（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值【分析】（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可【解答】（12分）解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率可得：，解得a2，c，则b，椭圆方程为：（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m240，x1+x22m，4，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离S|AB|d2当且仅当m22，即时取到最大值最大值为：2【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力