1、2017-2018学年陕西省渭南市富平县高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知数列，则2是这个数列的（）A第6项B第7项C第11项D第19项2（5分）设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c3（5分）已知（1，3，2），若，则的坐标可以是（）A（1，3，2）B（2，6，4）C（3，9，6）D（3，9，6）4（5分）原命题：“设a、b、cR，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A0个B1个C2个D4个5（
2、5分）命题“x（0，+），lnxx1”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0x01Cx0（0，+），lnx0x01Dx0（0，+），lnx0x016（5分）已知两定点F1（1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A1BCD7（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6（）A2B0C2D48（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa+b2BCDa2+b22ab9（5分）如图，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，点G是BE的中点，若x+y+z，则
3、x+y+z（）ABCD110（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB2，则ABC的外接圆的面积为（）A4B8C9D3611（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12（5分）已知双曲线C1：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的
4、点M（x0，y0）在双曲线C1的渐近线上，且MF1MF2，若以F2为焦点的抛物线C2：y22px（p0）经过点M，则双曲线C1的离心率为（）A2B2+C1+D2+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集为 14（5分）已知向量（+1，1，2），（+2，2，1），若（+）（），则实数的值为 15（5分）已知实数x，y满足，则x2x+y的最大值为 16（5分）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，B，C
5、所对的边分别为a，b，c，若A，B，C形成等差数列（1）求cosB的值；（2）若b，a2，求ABC的面积18（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4（）求an的通项公式；（）设cnan+bn，求数列cn的前n项和19（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F且倾斜角的直线与抛物线交于不同的两点A，B，求弦长|AB|20（12分）已知命题p：关于x的方程x2+2mx+2m+30无实根；命题q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆（）若命题q为真，求实数m的取值范围；（）若
6、命题“pq”为假，pq”为真，求实数m的取值范围21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值22（12分）已知抛物线C1：y22px（p0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y29上（）求抛物线C1的方程；（）已知椭圆C2：1（mn0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为直线l：ykx4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范
7、围2017-2018学年陕西省渭南市富平县高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知数列，则2是这个数列的（）A第6项B第7项C第11项D第19项【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即an2an123从而利用等差数列通项公式an22+（n1）33n120，得解，n7【解答】解：数列，各项的平方为：2，5，8，11，则an2an123，又a122，an22+（n1）33n1，令3n120，则n7故选：B【点评】本题通过观察并利用构造
8、法，构造了新数列an2为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握2（5分）设ab，cd，则下列不等式恒成立的是（）AacbdBacbdCDb+da+c【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决【解答】解：ab，cd设a1，b1，c2，d5选项A，1（2）1（5），不成立选项B，1（2）（1）（5），不成立取选项C，不成立故选：D【点评】本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题3（5分）已知（1，3，2），若，则的坐标可以是（）A（1，3，2）B（2，6，4）C（3，9，6）D（3，9，6）【分析】由（1，3，2）
9、，得，由此能求出的坐标【解答】解：（1，3，2），当2时，的坐标可以是（2，6，4）故选：B【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查向理平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）原命题：“设a、b、cR，若ab，则ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A0个B1个C2个D4个【分析】ab，关键是c是否为0，由等价命题同真同假，只要判断原命题和逆命题即可【解答】解：原命题：若c0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：ac2bc2知c20，由不等式的基本性质得ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，有2个真命题故选：C【点评】本题考
10、查不等式的基本性质和等价命题5（5分）命题“x（0，+），lnxx1”的否定是（）Ax0（0，+），lnx0x01Bx0（0，+），lnx0x01Cx0（0，+），lnx0x01Dx0（0，+），lnx0x01【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x（0，+），lnxx1”的否定是x0（0，+），lnx0x01；故选：A【点评】本题考查命题的否定，基本知识的考查6（5分）已知两定点F1（1，0）、F2（1，0）和一动点P，若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为（）A1BCD【分析】根据|F1F
11、2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，做出b的值，写出椭圆的方程【解答】解：F1（1，0）、F2（1，0），|F1F2|2，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，2|F1F2|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|4，点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，2a4，a2c1b23，椭圆的方程是故选：B【点评】本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程，关键是求a，b的值7（5分）已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a6（）
12、A2B0C2D4【分析】运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，再由等差数列的通项公式即可得到所求值【解答】解：a1，a3，a4成等比数列，可得a32a1a4，可得（a1+2d）2a1（a1+3d），由等差数列an的公差为d2，即有（a1+4）2a1（a1+6），解得a18，则a6a1+5d8+102故选：A【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题8（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa+b2BCDa2+b22ab【分析】根据不等关系与不等式以及基本不等式等相关知识对四个选项逐一判断得出正确
13、选项【解答】解：因为ab0，则或，则排除A与B；由于a2+b22ab恒成立，当且仅当ab时，取“”，故D错；由于ab0，则 ，即，所以选C故选：C【点评】本题考查不等式与不等关系，解题的关键是熟练掌握不等式成立判断的方法以及基本不等式适用的范围9（5分）如图，在四面体ABCD中，点E是CD的中点，点G是BE的中点，若x+y+z，则x+y+z（）ABCD1【分析】只需对左边向量做简单的转换就可解决【解答】解：（）+（）+x+y+z1故选：D【点评】此题考查了向量的转换，属容易题10（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB2，则ABC的外接圆的面积为（）A4
14、B8C9D36【分析】由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解【解答】解：bcosA+acosB2，由余弦定理可得：b+a2，整理解得：c2，又，可得：sinC，设三角形的外接圆的半径为R，则2R6，可得：R3，ABC的外接圆的面积SR29故选：C【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个设计几何体体积的问题意思是如果两个等高的几
15、何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由pq，反之不成立即可得出【解答】解：由pq，反之不成立p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了祖暅原理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（5分）已知双曲线C1：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，第一象限内的点M（x0，y0）在双曲线C1的渐近线上，且MF1MF2，若以F2为焦点的抛物线C2
16、：y22px（p0）经过点M，则双曲线C1的离心率为（）A2B2+C1+D2+【分析】求得双曲线的渐近线方程和焦点坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得M的坐标，再由抛物线的焦点和方程，可得a，b，c的方程，结合离心率公式，可得所求值【解答】解：双曲线的渐近线方程为yx，焦点为F1（c，0），F2（c，0），由题意可得y0x0，又MF1MF2，可得1，即为y02+x02c2，由a2+b2c2，联立可得x0a，y0b，由F为焦点的抛物线C2：y22px（p0）经过点M，可得b22pa，c，即有b24acc2a2，由e，可得e24e10，解得e2+，故选：D【点评】本题考查双曲线的离
17、心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点和方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）不等式0的解集为x|0x1【分析】问题转化为等价的不等式组，解出即可【解答】解：0，解得：0x1，故不等式的解集是x|0x1，故答案为：x|0x1【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题14（5分）已知向量（+1，1，2），（+2，2，1），若（+）（），则实数的值为【分析】利用向量坐标运算法则求出（2+3，3，3），（1，1，1），再由（+）（），能求出实数的值【解答】解：向量（+1，1，2），（+2，2，1），（2+3
18、，3，3），（1，1，1），（+）（），（）（）233+30，解得实数故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15（5分）已知实数x，y满足，则x2x+y的最大值为14【分析】画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：实数x，y满足表示的区域如图：解得A（2，10）z2x+y得到y2x+z，所以当直线经过图中A时，直线在y轴上的截距最大，所以最大值为22+1014；故答案为：14【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键16（5分）
19、一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长轴为：8，a2b2+c2，c2，椭圆的焦距为；故答案为：4【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C形成等差数列（1）求cosB的值；（2）若b，a2
20、，求ABC的面积【分析】（1）由题意利用等差数列的定义，三角形内角和公式求得B的值，可得cosB的值（2）由题意利用余弦定理求得c的值，可得ABC的面积为acsinB 的值【解答】解：（1）ABC中，三内角A，B，C形成等差数列，故有2BA+C，结合三角形内角和公式可得B，A+C，cosB（2）b，a2，BA，由余弦定理可得b2a2+c22accosB，即74+c24c，即 （c3）（c+1）0，c3ABC的面积为acsinB23【点评】本题主要考查等差数列的定义，三角形内角和公式、余弦定理的应用，属于基础题18（12分）已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b
21、4（）求an的通项公式；（）设cnan+bn，求数列cn的前n项和【分析】（）设等比数列bn的公比为q，则q3，求出bn，设等差数列an的公差为d利用已知条件求出d，然后求解an即可（）求出cnan+bn2n1+3n1利用拆项求和求解即可【解答】（本小题满分10分）解：（）设等比数列bn的公比为q，则q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1（nN*）（3分）设等差数列an的公差为d因为a1b11，a14b427，所以1+13d27，即d2所以an2n1（nN*）（6分）（）由（1）知，cnan+bn2n1+3n1从而数列cn的前n项和Sn1+3+（2n1）+1+3+3n1n2+（10分
22、）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力19（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F且倾斜角的直线与抛物线交于不同的两点A，B，求弦长|AB|【分析】（1）由题意可设抛物线的方程为y22px（p0），运用抛物线的定义，可得4+6，解得p4，进而得到抛物线的方程；（2）求得直线方程，联立抛物线的方程，消去未知数，运用韦达定理，和弦长公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且过一点P（4，m），可设抛物线的方程为y22px（p0），P（4，m）到焦
23、点的距离为6，即有P到准线的距离为6，即4+6，解得p4，即抛物线的标准方程为y28x；（2）由F（2，0），ktan1，直线方程为yx2，联立直线与抛物线方程得：可得x212x+40，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理知：x1+x212，由|AB|AF|+|BF|x1+x2+p，可得|AB|12+416【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题20（12分）已知命题p：关于x的方程x2+2mx+2m+30无实根；命题q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆（）若命题q为真，求实数m的取值范围；（）若命题“pq”为假，pq”
24、为真，求实数m的取值范围【分析】（）若命题p为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；（）根据复合命题的关系得到p，q为一个真命题，一个假命题，然后求解即可【解答】解：（）方程1表示焦点在y轴上的椭圆，即1m1，若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（1，1）；（）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若关于x的方程x2+2mx+2m+30无实根，则判别式4m24（2m+3）0，即m22m30，得1m3若p真q假，则，此时无解，柔p假q真，则，得1m3，综上，实数m的取值范围是1，3）【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用，
25、求出命题的等价条件是解决本题的关键21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【分析】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量（1，1，0），面EAC的法向量（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求（2，2，2），（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值
26、【解答】（）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD1，ACBC，AC2+BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（4分）（）如图，以C为原点，取AB中点F，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）设P（0，0，a）（a0），则E（，），（6分）（1，1，0），（0，0，a），（，），取（1，1，0），则0，为面PAC的法向量设（x，y，z）为面EAC的法向量，则0，即取xa，ya，z2，则（a，a，2），依题意，|cos，|，则a2（10分）于是（2，
27、2，2），（1，1，2）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin|cos，|，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题22（12分）已知抛物线C1：y22px（p0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y29上（）求抛物线C1的方程；（）已知椭圆C2：1（mn0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为直线l：ykx4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围【分析】（）设点G的坐标为（x0，y0），列出
28、关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程（）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可【解答】（本小题满分13分）解：（）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知（2分）解得：，所以抛物线C1的方程为：y28x（4分）（）由（）得抛物线C1的焦点F（2，0），椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合椭圆C2半焦距c2，m2n2c24，椭圆C2的离心率为，椭圆C2的方程为：（6分）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（4k2+3）x232kx+160由韦达定理得：，（8分）由0（32k）2416（4k2+3）0或（10分）原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，由、得实数k的范围是或（13分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力
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