1、2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，Bx|2x1，则AB（）A1，0，1B1，0C0，1D1，12（5分）命题“存在xR，x2+x+10的否定是（）A不存在xR，x2+x+10B存在xR，x2+x+20C对任意的xR，x2+x+10D对任意的xR，x2+x+103（5分）小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（）ABCD4（5分）平面向量与的夹角为60，且（3，0），|1，则|+2|（
2、）ABC19D25（5分）已知3ae，blog35log32，则a、b、c的大小关系为（）AacbBbcaCcabDcba6（5分）函数f（x）x3+lgx零点所在区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）7（5分）甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）AB2C8D8（5分）函数f（x）（1）sinx的图象的大致形状是（）ABCD9（5分）设椭圆的上焦点与抛物线y4x2的焦点相同，离心率为，则此椭圆
3、方程为（）ABCD10（5分）2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A是互斥事件，不是对立事件B是对立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是对立事件D既不是互斥事件也不是对立事件11（5分）圆柱的侧面展开图是一个面积为162的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（）ABCD12（5分）已知锐角ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c1，三角形ABC的面积SABC1，则a2+b2
4、的取值范围为（）A）B（9，+）C，9D，9）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）不等式2的解集为 14（5分）已知数列an中，a11，an+1an+n+1，则数列an的通项公式是 15（5分）已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为 16（5分）已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0x1x2x33时，f（x1）f（x2）f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和对称中心坐标；（）讨论f（x）在区间上的单调性18（12分）
5、已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn2+，求数列bn的前n项和Sn19（12分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图（）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过900M的概率；（）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使
6、用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，ED平面ABCD，ABCD，ABAD，ABADCD1（1）求证：BC平面BDE；（2）当几何体ABCE的体积等于时，求四棱锥EABCD的侧面积21（12分）已知A（2，0），B（1，0），Q（6，0），若动点P（x，y）满足|PA|2|PB|，设线段PQ的中点为M（1）求点M的轨迹方程；（2
7、）设直线ykx1与点M的轨迹交于不同的两点C（x1，y1），D（x2，y2），且满足，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）e|xa|，h（x）ebx（1）若a2，b1，判断g（x）f（x）+h（x）在（，1）上的单调性，并用定义证明；（2）已知b0，ln2），存在x00，1，对任意x0，1，都有|f（x）h（x0）|1成立，求a的取值范围2019-2020学年陕西省汉中市高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A1，0，1，Bx|2x1，则AB（）A1，0，
8、1B1，0C0，1D1，1【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可【解答】解：A1，0，1，Bx|x0，AB1，0故选：B【点评】考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算2（5分）命题“存在xR，x2+x+10的否定是（）A不存在xR，x2+x+10B存在xR，x2+x+20C对任意的xR，x2+x+10D对任意的xR，x2+x+10【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在xR，x2+x+10的否定是：对任意的xR，x2+x+10故选：D【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识
9、的考查3（5分）小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（）ABCD【分析】他需要将表的时针逆时针旋转周角的，即可转过的角的弧度数【解答】解：他需要将表的时针逆时针旋转，则转过的角的弧度数是，故选：B【点评】本题考查了正角与负角的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）平面向量与的夹角为60，且（3，0），|1，则|+2|（）ABC19D2【分析】根据平面向量的数量积计算向量的模长即可【解答】解：平面向量与的夹角为60，（3，0），|1，|3，+4+49+431cos60+4119，|+2|故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积与模
10、长公式的计算问题，是基础题5（5分）已知3ae，blog35log32，则a、b、c的大小关系为（）AacbBbcaCcabDcba【分析】可以得出，并容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：，cab故选：C【点评】考查指数式与对数式的互化，对数的运算性质，以及对数函数的单调性6（5分）函数f（x）x3+lgx零点所在区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点【解答】解：函数f（x）x3+lgx在定义域内是连续函数；f（2）23+lg20，f（3）33+lg3lg30
11、；f（2）f（3）0，根据零点存在性定理，f（x）的零点在区间（2，3）上，故选：C【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题7（5分）甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）AB2C8D【分析】根据甲的中位数求得x1，根据乙的平均数求得y4；根据x，G，y成等比数列，求得G24，进而求得a+b，然后根据不等式求得最小值【解答】因为甲的中位数为81，故
12、x1；因为乙的平均数是86，可求得y4；因为x，G，y成等比数列，所以G2xy4，因为a，G，b成等差数列，则2Ga+b，且a、b为正实数，所以a+b4故选：D【点评】本题考查茎叶图，结合基本不等式，难度中等，属中挡题8（5分）函数f（x）（1）sinx的图象的大致形状是（）ABCD【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值，判断即可【解答】解：f（x）的函数的定义域为R，f（x）（1）sin（x）（1）sinx（21）sinx（1）sinxf（x），f（x）为偶函数，f（x）关于y轴对称，当x0时，f（0）0，当x1时，f（1）（1）sin10，故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是
13、掌握函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于中档题9（5分）设椭圆的上焦点与抛物线y4x2的焦点相同，离心率为，则此椭圆方程为（）ABCD【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在y轴，结合离心率，然后对选项进行验证即可得到答案【解答】解：抛物线y4x2的焦点为（0，），椭圆焦点在y轴上，的焦点坐标（0，1）排除A；的焦点坐标（0，2）排除B，由e排除C，故选：D【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质圆锥曲线是高考的必考内容，其基本性质一定要熟练掌握10（5分）2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有
14、12种选课模式某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B（）A是互斥事件，不是对立事件B是对立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是对立事件D既不是互斥事件也不是对立事件【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【解答】解：2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确故选：A【
15、点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）圆柱的侧面展开图是一个面积为162的正方形，该圆柱内有一个体积为V的球，则V的最大值为（）ABCD【分析】直接利用圆柱的侧面积公式和球的体积公式的应用求出结果【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个面积为162的正方形，所以该圆柱的底面半径为2r4解得r2，圆柱的高为4，该圆柱内有一个体积为V的球，当球的最大圆的与圆柱的侧面相切时，该球的体积最大值V故选：A【点评】本题考查的知识要点：圆柱的侧面积和球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12（5分）已知锐角
16、ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c1，三角形ABC的面积SABC1，则a2+b2的取值范围为（）A）B（9，+）C，9D，9）【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C作CDAB于D，D在边AB上，如图：根据面积算出CD2，再根据勾股定理，二次函数知识可求得【解答】解：因为三角形为锐角三角形，所以过C作CDAB于D，D在边AB上，如图：因为：SABCABCD1，所以CD2，在三角形ADC中，AD，在三角形BDC中，BD，AD+BDAB1，+1，a2+b2a24+b24+8（）2+（）2+8（）2+（1）2+82（）22+9（0，1）a2+b2，9）故选：D【点评】本题考查了二次函数
17、的性质及图象，属中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）不等式2的解集为（1，0）【分析】由2可得，结合分式不等式的求法即可求解【解答】解：由2可得，整理可得，解可得，x|1x0故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题14（5分）已知数列an中，a11，an+1an+n+1，则数列an的通项公式是【分析】直接利用数列的递推关系式的应用，进一步利用叠加法的应用求出数列的通项公式【解答】解：数列an中，a11，an+1an+n+1，所以an+1ann+1，当n2时，anan1n，进一步整理得，an1an2n1，a2a12，所以ana12+
18、3+n，则：an1+2+3+n（首项符合通项）故故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15（5分）已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为【分析】根据平均数的定义求出m的值，再计算这组数的方差【解答】解：数据1，2，m，6，7的平均数为4，则（1+2+m+6+7）4，解得m4，所以这组数的方差为s2（14）2+（24）2+（44）2+（64）2+（74）2故答案为：【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题16（5分）已知函数，若存在实数x1，x2，x
19、3，当0x1x2x33时，f（x1）f（x2）f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是，）【分析】分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，通过画出函数图象，得到x1+x22，得x2（）+1，则所求式子即关于x3的函数求值域问题，根据复合函数求值域的方法求出值域即可【解答】 解：分别画出y|x1|与y（）x1的图象，如图所示所以x1+x22，1x1x21（），得x2（）+1，得则（x1+x2）x2f（x3）2（）+1）（），令t（），x3（2，3，得t，），又y2（t+1）t2t2+2t，则y的取值范围为，）故答案为：，）【点评】本题考查了分段函数的问题，关键是构造函数，
20、利用函数的单调性求出函数的值域，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和对称中心坐标；（）讨论f（x）在区间上的单调性【分析】（）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式直接求得周期，由求得x值，可得对称中心坐标；（）直接利用复合函数的单调性求f（x）在区间上的单调区间【解答】解：（）T，由，得x，kZf（x）的对称中心为（，1），kZ；（）由，kZ解得，kZ由，kZ解得，kZ取k0，可得f（x）在区间上的增区间为0，减区间为（，【点评】本题考查yAsin（x+）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题
21、18（12分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn2+，求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）首先利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用（1）的通项公式的应用，进一步利用分组法和裂项相消法求出数列的和【解答】解：（1）已知an是公差d不为零的等差数列，a11，且a1，a2，a5成等比数列所以，整理得，解得d2故ana1+2（n1）2n1（2）由于an2n1，所以bn2+，所以，【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思
22、维能力，属于基础题型19（12分）某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图（）从该企业的100位员工中随机抽取1人，求手机月平均使用流量不超过900M的概率；（）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，
23、将会被清零该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？【分析】由题意直方图中小矩形面积之和是1，求出a再近似看成独立重复求得概率【解答】解：（1）由题意知（0.0002+0.0008+a+0.0025+0.0035+0.0008）1001a0.0022所以100位员工每人手机月平均使用流量不超过900M的概率为1（0.0002+0.0008）1000.9，（2）若该企业选择A套餐，则100位员工每人所需费用可能为20元，30元，40元，每月使用流量的平均费用为20（0.08+0.22）+30（0.25+0
24、.35）+40（0.08+0.02）28，若该企业选择B套餐，则100位员工每人所需费用可能为30元，40元，每月使用流量的平均费用为30（0.08+0.22+0.25+0.35）+400.0230.2，所以该企业选择A套餐更经济【点评】本题考查直方图和概率属于中档题20（12分）如图，在四棱锥EABCD中，ED平面ABCD，ABCD，ABAD，ABADCD1（1）求证：BC平面BDE；（2）当几何体ABCE的体积等于时，求四棱锥EABCD的侧面积【分析】（1）取CD的中点F，连接BF，证明BCBD，再由ED平面ABCD得出BCDC，由此证明BC平面BDE；（2）由三棱锥EABC的面积求出DE
25、的值，利用勾股定理判断ABAE，再求四棱锥EABCD的侧面积【解答】解：（1）证明：取CD的中点F，连接BF，则直角梯形ABCD中，BFCD，BFCFDF，CBD90，即BCBD，又ED平面ABCD，BC平面ABCD，BCDE，又BDDED，BC平面BDE；（2）ED平面ABCD，DEAB，又ABAD，AB平面ADE，ABAE，V三棱锥ABCEV三棱锥EABCDEABADDE，解得DE2，又ADCD1，DEAD，EA，又AB1，BE；又BC平面BDE，BCBE，CBE是直角三角形；四棱锥EABCD的侧面积为S侧DEAD+AEAB+DECD+BCBE【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用
26、问题，也考查了锥体的体积与表面积的计算问题，是中档题21（12分）已知A（2，0），B（1，0），Q（6，0），若动点P（x，y）满足|PA|2|PB|，设线段PQ的中点为M（1）求点M的轨迹方程；（2）设直线ykx1与点M的轨迹交于不同的两点C（x1，y1），D（x2，y2），且满足，求直线l的方程【分析】（1）通过动点P（x，y），且|PA|2|PB|，列出方程求出（x2）2+y2，设M（x，y），由中点坐标公式转化求解即可（2）联立消去y得（x4）2+（kx1）21，利用韦达定理以及弦长公式通过，求出k，即可求解直线方程【解答】解：（1）因为A（2，0），B（1，0），P（x，y），且|
27、PA|2|PB|所以，化简得x2+y24x0，即（x2）2+y24设M（x，y），由中点坐标公式得，即将代入得：（2x8）2+（2y）24所以点M的轨迹方程为（x4）2+y21（5分）（2）由消去y得（x4）2+（kx1）21，整理得（1+k2）x22（4+k）x+160，所以，由已知得，所以即4（4+k）264（1+k2）1，即60k232k+10所以所以直线l的方程为或即x2y10或x30y300（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（x）e|xa|，h（x）ebx（1）若a2，b1，判断g（x）f（x）+h（x
28、）在（，1）上的单调性，并用定义证明；（2）已知b0，ln2），存在x00，1，对任意x0，1，都有|f（x）h（x0）|1成立，求a的取值范围【分析】（1）把a2，b1，代入函数g（x）的解析式，去绝对值符号，用定义法证明函数的单调性，（2）先把绝对值符号去掉，得到（f（x）1）maxh（x0）（f（x）+1）min，进而求出参数a的取值范围【解答】解：（1）a2，b1，g（x）f（x）+h（x）e|x2|+ex，且x1，g（x）e2x+ex，yg（x）在（，1）上为减函数，证明：任取x1，x2（，1），且x1x2，g（x1）g（x2），x1x21，g（x1）g（x2）0，即g（x1）g（x
29、2），yg（x） 在（，1）上为减函数（2）|f（x）h（x0）|1，f（x）1h（x0）f（x）+1对任意x0，1，存在x00，1，使得f（x）1h（x0）f（x）+1成立，即存在x00，1，使得（f（x）1）maxh（x0）（f（x）+1）min，当0bln2，h（x）为增函数或常函数，1h（x0）eb2，此时（f（x）+1）mine0+12， 则有h（x0）（f（x）+1）min恒成立当a时，f（x）maxf（1）e1aeb+1e1aa1ln（eb+1）1ln（eb+1），当a时，eb+1ea，aln（eb+1）ln（eb+1）ln2ln，1ln（eb+1），综上所述，a（1ln（eb+1），ln（eb+1）【点评】本题考查函数的单调性，以及不等式恒成立问题，是难题
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