1、压轴大题抢分练(二)姓名：_班级：_限时：_分钟1如图，二次函数yax2bxc(c0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为(3，0)，顶点坐标为(1，4)，连接BC.(1)求二次函数的表达式和直线BC的表达式；(2)点M是线段BC上的一个动点(不与B，C重合)，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，交x轴于点P.如图1，求线段MN长度的最大值；如图2，连接AM，QN，QP.试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由2如图1，已知二次函数yax2xc(a0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于
2、点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.(1)请直接写出二次函数yax2xc的表达式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标 图1 图23如图，抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于点(1，0)，与BC交于点C，连接AC，BC，已知ACB90.(1)求点B的坐标及抛物线的表达式；(2)点P是线段BC上的动点(点P不与B，C重合)，连接并延长AP交抛物线于另一点Q，设点Q的
3、横坐标为x.记BCQ的面积为S，求S关于x的函数表达式，并求出当S4时x的值；记点P的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由4如图，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，B(4，0)(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B，M，C，求BMC面积的最大值；(3)在(2)中BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：(1
4、)由题意设ya(x1)24.将B(3，0)代入得0a(31)24，解得a1，二次函数表达式为y(x1)24，C点坐标为(0，3)，直线BC的表达式为yx3.(2)由题意设P(m，0)，则M(m，m3)，N(m，(m1)24)，MN(m1)24(m3)m23m(m)2.a10，当m时，MN取最大值.存在设点P的坐标为(n，0)，则PAn1，PBPM3n，PNn22n3.作QRPN，垂足为R.SPQNSAPM，(n1)(3n)(n22n3)QR，QR1.a点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n1，n24n)，R点的坐标为(n，n24n)，N点的坐标为(n，n22n3)，在RtQRN中，NQ21(
5、2n3)24(n)21，n时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为(，)b点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为(n1，n24)同理，NQ21(2n1)24(n)21，n时，NQ取最小值1.此时Q点的坐标为(，)综上可知，存在满足题意的点Q，其坐标为(，)或(，)2解：(1)yx2x4.提示：二次函数yax2xc的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，解得抛物线的表达式为yx2x4.(2)ABC是直角三角形理由如下：令y0，则x2x40，解得x18，x22，点B的坐标为(2，0)在RtABO中，AB2BO2AO2224220，在RtAOC中，AC2AO2CO2428
6、280.又BCOBOC2810，在ABC中，AB2AC22080102BC2，ABC是直角三角形(3)A(0，4)，C(8，0)，AC4.以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8，0)；以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(84，0)或(84，0)；作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(8，0)，(84，0)，(84，0)，(3，0)(4)设点N的坐标为(n，0)，则BNn2.如图，过点M作 MDx 轴于点D，MDOA，BMDBAO，
7、.MNAC，.OA4，BC10，BNn2，MD(n2)SAMNSABNSBMNBNOABNMD(n2)4(n2)2(n3)25，当n3时，SAMN最大，当AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)3解：(1)ACB90，OCAB，COA90，ACOCBO，AOCCOB，ACOCBO，OC2OAOB.当x0时，y2，即C(0，2)A(1，0)，C(0，2)，OB4，B(4，0)将A，B代入yax2bx2得解得抛物线的表达式为yx2x2.(2)如图，连接OQ.设点Q的坐标为(x，x2x2)，SSOCQSOBQSOBC2x4(x2x2)24x24x，令x24x4，解得x1x22，故x的值为2.存在如图，
8、过点Q作QHBC于H.ACPQHP90，APCQPH，APCQPH，.SBCQBCQHQH，QH，(x24x)(x2)2，当x2时，取得最大值，最大值为.4解：(1)将D(2，3)，B(4，0)的坐标代入抛物线表达式得解得则抛物线的表达式为yx2x2.(2)如图，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K.设直线BC的表达式为ykxb.将点B，C的坐标代入一次函数表达式ykxb得解得则直线BC的表达式为yx2.设点M的坐标为(x，x2x2)，则点K坐标为(x，x2)，SBMCMKOB2(x2x2x2)x24x.a10，SBMC有最大值，当x2时，SBMC最大值为4，点M的坐标为(2，3)(3)如图，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H.点M坐标为(2，3)，设点Q坐标为(2，m)，点A，C的坐标为(1，0)，(0，2)，tanOCA.QHy轴，QHNOCA，tanQHN，则sinQHN.设直线AC的表达式为ymxn.将点A，C的坐标代入ymxn得解得则直线AC的表达式为y2x2，则点H(2，6)在RtQNH中，QHm6，QNOQ，sinQHN，解得m4或1，即点Q的坐标为(2，4)或(2，1)
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