1、专题五二次函数综合题类型一 与一次函数图象的交点问题 (2019三明质检)已知抛物线C：y1a(xh)22，直线l：y2kxkh2(k0)(1)求证：直线l恒过抛物线C的顶点；(2)若a0，h1，当txt3时，二次函数y1a(xh)22的最小值为2，求t的取值范围；(3)点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1k3时，若线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围【分析】(1)将抛物线顶点坐标代入直线l的解析式中即可求证；(2)由二次函数最小值为2可知，th1t3，解不等式即可得解；(3)使y1y2得点Q的横坐标为h，分类讨论a0和a0时，将直线l向
2、上平移b1个单位长度得直线l，若抛物线的顶点P在直线l上，且与直线l的另一个交点为Q，当点C在直线l上方的抛物线上时，求四边形OPCQ面积的最大值2(2019福建名校联考)如图1，将抛物线yax2(1a0时，hh1，ak.1k3，0a1.当a1，ak.1k3，3k1，1a0.综上所述，a的取值范围是0a1或1a0.跟踪训练1(1)证明：把yxb代入yx2bx得x2bxxb，整理得x2(b1)xb0.(b1)241(b)(b1)20，方程必有实数根，抛物线与直线l至少有一个公共点(2)解：由(1)得方程x2(b1)xb0，x，x1b，x21.当xb时，y0；当x1时，y1b.不妨设A(b，0)，
3、B(1，1b)线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点，11b2或21b1，解得3b2或0b2m1，即m1时，(2m1m)2m33，整理得4m23m40，此方程没有实数根；b当2m1m2m1，即1m1时，m33，解得m0；c当m1时，(2m1m)2m33，整理得4m213m40，解得m1(舍去)，m2.综上所述，m的值为0或.3解：(1)由题意得168(k1)0，解得k3.k为正整数，k1，2，3.(2)当k1时，方程为2x24x0有一个根为零；当k2时，方程为2x24x10，424218，方程解为，不是整数，不符合题意；当k3时，方程为2x24x20有两个相同的非零整数根1.综上所述，只有k3符合
4、题意将y2x24x2的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y2x24x6.(3)设二次函数y2x24x6的图象与x轴交于A，B两点，则A(3，0)，B(1，0)如图所示，当直线yxb经过A点时，可得b；当直线yxb经过B点时，可得b.由图象可知，符合题意的b(b3)的取值范围为b.类型二【例2】 (1)抛物线过点A(0，2)，c2.又点(，0)也在抛物线上，a()2b()20，即2ab20(a0)(2)当x1x20时，x1x20，由(x1x2)(y1y2)0，得y1y20，即当x0时，y随x的增大而增大同理，当x0时，y随x的增大而减小，抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，则b0.如图，O为
5、圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，ABC是等腰三角形又ABC有一个内角为60，故ABC为等边三角形设线段BC与y轴的交点为D，则BDCD，且OCD30.又OCOA2，CDOCcos 30，ODOCsin 301.不妨设点C在y轴的右侧，则点C的坐标为(，1)点C在抛物线上，且c2，b0，3a21，解得a1，所求抛物线的解析式为yx22.由知，点M的坐标为(x1，x122)，点N的坐标为(x2，x222)设直线OM的解析式为yk1x.O，M，N三点共线，x10，x20，且，即x1x2，化为x1x2，由x1x2得x1x22，即x2，点N的坐标为(，2)如图，设点N关于y轴的对称点为点N
6、，则点N的坐标为(，2)点P是点O关于点A的对称点，OP2OA4，即点P的坐标为(0，4)设直线PM的解析式为yk2x4.点M的坐标为(x1，x122)，x122k2x14，则k2，即直线PM的解析式为yx4.42，即点N在直线PM上，PA平分MPN.跟踪训练4解：(1)抛物线过点A(0，2)，c2.当x1x20时，x1x20，由(x1x2)(y1y2)0得y1y20，当x0时，y随x的增大而增大；同理可得当x0时，y随x的增大而减小抛物线的对称轴为y轴且开口向下，则b0.如图，O为圆心，OA为半径的圆与抛物线交于另两点B，C，ABC是等腰三角形又ABC有一个内角为60，故ABC为等边三角形，
7、OBOA2.设线段BC与y轴的交点为D，则BDCD，且OBD30，BDOBcos 30，ODOBsin 301.点B在点C的左侧，点B的坐标为(，1)点B在抛物线yax2bxc上，且c2，b0，3a21，解得a1，所求抛物线的解析式为yx22.(2)由(1)知，点M的坐标为(x1，x122)，点N的坐标为(x2，x222)MN与直线y2x平行，设直线MN的解析式为y2xm，则x1222x1m，即mx122x12，直线MN的解析式为y2xx122x12.将y2xx122x12代入yx22得x22xx122x1，化为(x)2(x1)2，解得xx1，或x2x1，x22x1，则y2(2x1)22x12
8、4x110.如图，过点M作MEBC，过点N作NFBC，垂足分别为E，F.点M，N位于直线BC的两侧，且y1y2，则y21y12，且x1x2，MEy1(1)x123，BEx1()x1，NF(1)y2x124x19，BFx2()3x1.在RtBEM中，tanMBEx1，在RtBFN中，tanNBFx1，tanMBEtanNBF，MBENBF，即BC平分MBN.y轴为BC的垂直平分线，可设MBC的外心为P(0，y0)，则PBPM，即PB2PM2.由勾股定理可得()2(y01)2x12(y0y1)2.x122y1，y022y04(2y1)(y0y1)2，即y01.由知，1y12，所以y00，即MBC的
9、外心的纵坐标的取值范围为y00.5解：(1)由题意得A(，0)，B(3，0)，C(0，3)设抛物线的解析式为ya(x3)(x)，把C(0，3)代入得a，抛物线的解析式为yx2x3.(2)在RtAOC中，tanOAC，OAC60.AD平分OAC，OAD30，ODOAtan 301，D(0，1)，直线AD的解析式为yx1.由题意得P(m，m2m3)，H(m，m1)，F(m，0)FHPH，1mm1(m2m3)，解得m或(舍去)，当FHHP时，m的值为.(3)如图，PF是抛物线的对称轴，F(，0)，H(，2)AHAE，EAO60，EOOA3，E(0，3)C(0，3)，HC2，AH2FH4，QHCH1.
10、在线段HA上取一点K，使得HK，此时K(，)HQ21，HKHA1，HQ2HKHA，QHKAHQ，KQAQ，AQQEKQEQ，当E，Q，K共线时，AQQE的值最小，最小值为.拓展类型一1解：(1)ymx22mxm1m(x1)21，抛物线的顶点坐标为(1，1)(2)由ymx22mxm1和ymxm1可得mx22mxm1mxm1，mx2mx0，mx(x1)0.m0，x10，x21，抛物线与直线有两个交点(3)由(2)可得抛物线与直线交于(1，1)和(0，m1)两点，点P的坐标为(t，mt22mtm1)，点Q的坐标为(t，mtm1)如图1，当1t0时，PQyQyPmt2mtm(t)2m.m0，当t时，P
11、Q有最大值，且最大值为m.0m3，0m，即PQ的最大值为.如图2，当0t1时，PQyPyQmt2mtm(t)2m.m0，当t1时，PQ有最大值，且最大值为2m.0m3，02m6，即PQ的最大值为6.综上所述，PQ的最大值为6.2解：(1)抛物线的顶点坐标为(2，0)，设抛物线的解析式为ya(x2)2.该抛物线经过点(4，1)，14a，解得a，抛物线的解析式为y(x2)2x2x1.(2)联立直线AB与抛物线解析式得解得点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4，1)如图，作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，此时PAPB取得最小值点B(4，1)，直线l解析式为y1，点B的坐标为(4，3
12、)设直线AB的解析式为ykxb(k0)，将A(1，)，B(4，3)分别代入ykxb得解得直线AB的解析式为yx.当y1时，有x1，解得x，点P的坐标为(，1)(3)点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，(mx0)2(ny0)2(n1)2，m22x0mx022y0ny022n1.M(m，n)为抛物线上一动点，nm2m1，m22x0mx022y0(m2m1)y022(m2m1)1，整理得(1y0)m2(22x02y0)mx02y022y030.m为任意值，解得定点F的坐标为(2，1)拓展类型二3解：(1)yx2x，当y0时，x2x0，解得x1，x21，A点的坐标为(1，0)将A(1，0)代
13、入yxb得01b，解得b，直线的解析式为yx.由解得B点的坐标为(5，3)(2)设P(x，x2x)，则C(x，x)，PCx2x(x)x24x5，SAPBPC|xAxB|(x24x5)(15)3x212x153(x2)227，当x2时，APB面积最大，最大值为27，此时点P的坐标为(2，)4解：(1)将A(4，0)，B(6，0)代入yax2bx3得解得该抛物线的函数解析式为yx2x3.(2)当点G与C重合时，点G的坐标为(0，3)将y3代入yx2x3得x2x33，解得x10，x22，点D的坐标为(2，3)，GD2，DE3，S矩形DEFGDGDE236.(3)设直线BC为ykxm(k0)将B(6，
14、0)，C(0，3)代入得解得直线BC的解析式为yx3.设点D的横坐标为n，由对称性得2n6，点D，N的坐标分别为D(n，n2n3)，N(n，n3)，DNn2n3(n3)(n3)2，当n3时，DN取得最大值为.DGx轴，DMNOBC.又MDNBOC90，DMNOBC，()2，当DN最大时，DMN的面积也最大SOBC369，SDMNSOBC()29(3)2，DMN面积的最大值为.拓展类型三5解：(1)抛物线过点B(6，0)，C(2，0)，设抛物线的解析式为ya(x6)(x2)将点A(0，6)代入得12a6，解得a，抛物线的解析式为y(x6)(x2)x22x6.(2)如图，过点P作PMOB于点M，交
15、AB于点N，过点A作AGPM于点G.设直线AB的解析式为ykxb.将点A(0，6)，B(6，0)分别代入得解得则直线AB的解析式为yx6.设P(t，t22t6)，其中0t6，则N(t，t6)，PNPMMNt22t6(t6)t22t6t6t23t，SPABSPANSPBNPN(AGBM)PNOB(t23t)6t29t(t3)2，当t3时，PAB面积有最大值，此时，点P的坐标为(3，)(3)如图，PHOB于点H，DHBAOB90，DHAO.OAOB6，BDHBAO45.PEx轴，PDx轴，DPE90.若PDE为等腰直角三角形，则PDPE.设点P坐标为(a，a22a6)，PDa22a6(a6)a23
16、a，PE2|2a|，a23a2|2a|，解得a4或a5，点P(4，6)或P(5，35)6解：(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，ya(x3)(x1)又抛物线经过点C(0，3)，3a(03)(01)，解得a1，抛物线的解析式为y(x3)(x1)，即yx22x3.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N，BAMABM90.在RtBCO中，BCOABM90，BAMBCO.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AOCO3，OB1.又BAMBCO，BOCAON90，AONCOB，ONOB1，N(0，1)设直线AM的函数解析式为ykxb.把A(3，0)
17、，N(0，1)代入得解得直线AM的函数解析式为yx1.同理可求直线BC的函数解析式为y3x3.解方程组得切点M的坐标为(，)(3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形设Q(t，0)，P(m，m22m3)分两种情况考虑：当四边形BCQP为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，解得m1.当m1时，m22m3822233，即P(1，3)；当m1时，m22m3822233，即P(1，3)当四边形BCPQ为平行四边形时，由B(1，0)，C(0，3)，根据平移规律得1t0m，003(m22m3)，解得m0或2.当m0时，P(0，3)(舍去)；
18、当m2时，P(2，3)综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为(1，3)或(1，3)或(2，3)拓展类型四7解：(1)抛物线yax2bx2(a0)过点A，B，解得抛物线的解析式为yx2x2.yx2x2(x)2，C(，)(2)如图，以AB为直径作M，则抛物线在圆内的部分，能使APB为钝角，易得M(，0)，M的半径为.设P是抛物线与y轴的交点，OP2，MP，P在M上，P的对称点为点(3，2)，当1m0或3m4时，APB为钝角(3)存在抛物线向左或向右平移，AB，PC是定值，A，B，P，C所构成的多边形的周长最短，只要ACBP最小第一种情况：抛物线向右平移，ACBPA
19、CBP.第二种情况：向左平移，如图，由(2)可知，P(3，2)又C(，)，C(t，)，P(3t，2)AB5，P(2t，2)，要使ACBP最短，只要ACAP最短即可点C关于x轴的对称点C坐标为(t，)，设直线PC的解析式为ykxb，解得直线PC的解析式为yxt.当P，A，C在同一条直线上时，周长最小，t0，t，故将抛物线向左平移个单位时，A，B，P，C所构成的多边形的周长最短8解：(1)已知抛物线yx2bxc经过点A(1，0)，B(0，2)，解得抛物线的解析式为yx23x2.(2)A(1，0)，B(0，2)，OA1，OB2，可得旋转后的点C的坐标为(3，1)当x3时，y323322，可知抛物线yx23x2过点(3，2)，将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，平移后的抛物线的解析式为yx23x1.(3)点N在抛物线yx23x1上，可设N点坐标为(x0，x023x01)，将yx23x1配方得y(x)2，对称轴为直线x.当0x0时，如图，SNBB12SNDD1，1x021(x0)，x01，此时x023x011，N点的坐标为(1，1)当x0时，如图，同理可得1x021(x0)，x03，此时x023x011，N点的坐标为(3，1)综上所述，N点的坐标为(1，1)或(3，1)
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