1、2019-2020学年山东省济南市高新区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（4分）下列坐标点在第四象限内的是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）2（4分）某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的众数是（）最高气温（）1819202122天数12232A20B20.5C21D223（4分）满足2x1的数在数轴上表示为（）ABCD4（4分）已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（）AyxByxCy3xDyx/35（4分）如图，AEBD，ABC为等边
2、三角形，若CBD15，则EAC的度数是（）A60B45C55D756（4分）如图，ABC中，C90，BAC的角平分线交BC于点D，DEAB于点E若CD2，AB7，则ABD的面积为（）A3.5B7C14D287（4分）如图，直线ykx+b（b0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b0的解集是（）Ax2Bx2Cx2Dx28（4分）如图，在ABC中，C90，A15，DBC60，BC1，则AD的长为（）A1.5B2C3D49（4分）正比例函数ykx（k0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数yx+k的图象大致是（）ABCD10（4分）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点
3、B处，BAD比BAE大48设BAE和BAD的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（）ABCD11（4分）如图，在平面直角坐标系中有一个33的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为（1，1），左上角格点B的坐标为（4，4），若分布在过定点（1，0）的直线yk（x+1）两侧的格点数相同，则k的取值可以是（）ABC2D12（4分）如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A1B3C3D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13（4分）不等式的解集为 14
4、（4分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2 S乙2（填“”“”或“”）15（4分）如图，ABC中，AC6cm，AB8cm，BC10cm，DE是边AB的垂直平分线，则ADC的周长为 cm16（4分）如图，点P、M、N分别在等边ABC的各边上，且MPAB于点P，MNBC于点M，PNAC于点N，若AB12cm，求CM的长为 17（4分）已知x，y满足方程的值为 18（4分）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B恰好落在x轴上，则点P的坐标为
5、 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19（6分）解方程组：20（6分）解不等式组：，并求出它的最小整数解21（6分）如图所示，BC，ABCD，证明：CEBF22（8分）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？23（8分）如图所示，在ABC中，BE平分ABC，DEBC（1）试猜想BDE的形
6、状，并说明理由；（2）若A35，C70，求BDE的度数24（10分）我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（）本次抽取到的学生人数为 ，图2中m的值为 ；（）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？25（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为yx，直线l2的解析式为y1/2x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C点P是y轴上一点（1）写出下列各点的坐标：点A 、点B 、
7、点C ；（2）若SCOPSCOA，请求出点P的坐标；（3）当PA+PC最短时，求出直线PC的解析式26（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 （2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC60，点D是角平分线上一点，BD
8、CD4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长27（12分）建立模型：如图1，等腰RtABC中，ABC90，CBBA，直线ED经过点B，过A作ADED于D，过C作CEED于E则易证ADBBEC这个模型我们称之为“一线三垂直”它可以把倾斜的线段AB和直角ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），ABC是等腰直角三角形若ABC90，且点C在第一象限，求点C的坐标；若AB为直角边，求点C的坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M
9、、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PNn，已知点G在第一象限，且是直线y2x一6上的一点，若MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标2019-2020学年山东省济南市高新区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（4分）下列坐标点在第四象限内的是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案【解答】解：由第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得在第四象限内的是（1，2），故选：D【
10、点评】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题关键2（4分）某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的众数是（）最高气温（）1819202122天数12232A20B20.5C21D22【分析】根据众数的概念求解可得【解答】解：在这10个数据中，出现次数最多的是21，所以该地区这10天最高气温的众数是21，故选：C【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据3（4分）满足2x1的数在数轴上表示为（）ABCD【分析】2x1表示不等式x2与不等式x1的公共部分实心圆点包括该点，空心圆圈
11、不包括该点，大于向右小于向左两个不等式的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：由于x2，所以表示2的点应该是空心点，折线的方向应该是向右由于x1，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左所以数轴表示的解集为：故选：B【点评】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示4（4分）已知正比例函数的图
12、象如图所示，则这个函数的关系式为（）AyxByxCy3xDyx/3【分析】首先根据图象是经过原点的直线可得此函数是正比例函数，故设解析式为ykx（k0），把图象所经过的点（3，3）代入设出的函数解析式，计算出k的值，进而得到函数解析式【解答】解：设函数解析式为ykx（k0），图象经过（3，3），3k3，解得k1，这个函数的关系式为yx，故选：B【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式5（4分）如图，AEBD，ABC为等边三角形，若CBD15，则EAC的度数是（）A60B45C55D75【分析】如图，延长AC交BD于H求出CHB即可解决问题【解答】解
13、：如图，延长AC交BD于HABC是等边三角形，ACB60，ACBCBD+CHB，CBD15，CHB45，AEBD，EACCHB45，故选：B【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（4分）如图，ABC中，C90，BAC的角平分线交BC于点D，DEAB于点E若CD2，AB7，则ABD的面积为（）A3.5B7C14D28【分析】根据角平分线的性质得出DECD2，根据三角形的面积公式求出即可【解答】解：ABC中，C90，BAC的角平分线交BC于点D，DEAB于点E，CD2，DECD2，AB7，ABD的面积是：7，故选：B【点评】本题考查了
14、角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出DECD是解此题的关键7（4分）如图，直线ykx+b（b0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b0的解集是（）Ax2Bx2Cx2Dx2【分析】观察函数图象得到即可【解答】解：由图象可得：当x2时，kx+b0，所以关于x的不等式kx+b0的解集是x2，故选：D【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数yax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线ykx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合8（4分）如图，在ABC中，C90，A15，DBC60
15、，BC1，则AD的长为（）A1.5B2C3D4【分析】根据直角三角形两锐角互余求出BDC30，然后根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出ABC，然后求出ABD15，从而得到ABDA，根据等角对等边可得ADBD，从而得解【解答】解：DBC60，C90，BDC906030，BD2BC212，C90，A15，ABC901575，ABDABCDBC756015，ABDA，ADBD2故选：B【点评】本题考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键9（4分）正比例函数ykx（k0）的函数值y随着x增大而减小，则一
16、次函数yx+k的图象大致是（）ABCD【分析】根据自正比例函数的性质得到k0，然后根据一次函数的性质得到一次函数yx+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交【解答】解：正比例函数ykx（k0）的函数值y随x的增大而减小，k0，一次函数yx+k的一次项系数大于0，常数项小于0，一次函数yx+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交故选：A【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数ykx+b（k、b为常数，k0）是一条直线，当k0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）10（4分）如图，将正方形ABC
17、D的一角折叠，折痕为AE，点B恰好落在点B处，BAD比BAE大48设BAE和BAD的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（）ABCD【分析】设BAE和BAD的度数分别为x，y，根据将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，BAD比BAE大48可列出方程组【解答】解：设BAE和BAD的度数分别为x和y，根据题意可得：故选：D【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，以及翻折变换的问题，关键知道正方形的四个角都是直角11（4分）如图，在平面直角坐标系中有一个33的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）A的坐标为（1，1），左上角格点B的坐标为（4，4），若分布在过定点（1，0）的直线
18、yk（x+1）两侧的格点数相同，则k的取值可以是（）ABC2D【分析】由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线CD和直线CE之间运动，从而确定E（3，3），D（3，4）进而求解【解答】解：直线yk（x+1）过定点（1，0），分布在直线yk（x+1）两侧的格点数相同，由正方形的对称性可知，直线yk（x+1）两侧的格点数相同，在直线CD和直线CE之间，两侧格点相同，（如图）E（3，3），D（3，4），2k，则k2故选：B【点评】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性解题的关键是找到关键点E（3，3），D（3，4），这是解决本题的关键12（4分）如图
19、，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A1B3C3D【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长【解答】解：如图所示：过点C作CEAB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，ABC是等边三角形，CE过点O，E为AB中点，则此时EOAB，故OC的最小值为：OCCEEOBCsin60AB3故选：B【点评】本题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短是解题关键二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）13（4分
20、）不等式的解集为x3【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：系数化为1可得【解答】解：两边都乘以3，得：x3，故答案为：x3【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变14（4分）为了考察甲、乙两块地小麦的长势，分别从中随机抽出10株苗，测得苗高如图所示，若S甲2和S乙2分别表示甲、乙两块地苗高数据的方差，则S甲2S乙2（填“”“”或“”）【分析】根据统计图中的数据的离散程度，发现甲的离散程度显然要小于乙，因此S甲2S乙2【解答】解：从整体上看，甲的10株麦苗比较集中，整齐，而乙的则显得分散，乙的离
21、散程度较大，因此乙的方差也大，故答案为：【点评】考查方差的意义，方差是用来反映一组数据的离散程度的统计量，方差越小，越整齐越稳定，离散程度小，反之就越大，通过观察直接得出结果，无需计算，也是数学中估算的应用15（4分）如图，ABC中，AC6cm，AB8cm，BC10cm，DE是边AB的垂直平分线，则ADC的周长为16cm【分析】由线段的垂直平分线的性质知BDAD，结合三角形的周长可得答案【解答】解：DE是边AB的垂直平分线，BC10cm，AC6cm，ADBD，ADC的周长AD+DC+ACBD+DC+ACBC+AC16cm；故答案为：16【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线
22、上的点到线段两个端点的距离相等做题中，对线段进行等量代换是正确解答本题的关键16（4分）如图，点P、M、N分别在等边ABC的各边上，且MPAB于点P，MNBC于点M，PNAC于点N，若AB12cm，求CM的长为4cm【分析】根据等边三角形的性质得出ABC，进而得出MPBNMCPNA90，再根据平角的意义即可得出NPMPMNMNP，即可证得PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PABMCN，PBMCAN，从而求得BM+PBAB12cm，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半得出2PBBM，即可求得PB的长，进而得出MC的长【解答】解：ABC是正三角形，ABC，MPAB，MNBC，P
23、NAC，MPBNMCPNA90，PMBMNCAPN，NPMPMNMNP，PMN是等边三角形，PNPMMN，PBMMCNNAP（AAS），PABMCN，PBMCAN，BM+PBAB12cm，ABC是正三角形，ABC60，2PBBM，2PB+PB12cm，PB4cm，MC4cm故答案为：4cm【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出NPMPMNMNP是本题的关键17（4分）已知x，y满足方程的值为【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可【解答】解：54，可得7x9，解得x，把x代入，解得y，原方程组的解是故答案为：【点评】此题主要考查了解二元一次方程组
24、的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用18（4分）如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B恰好落在x轴上，则点P的坐标为（）【分析】先用待定系数法求出直线AB的解析式，由对称的性质得出APAB，求出直线AP的解析式，然后求出直线AP与x轴的交点即可【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：ykx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k，b2，直线AB的解析式为：yx+2；点B与B关于直线AP对称，设B坐标为（a，0）线段BB的中点坐标为（，2）线段BB的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）A点为线段BB的中
25、点，即A、B、B三点共线APAB，设直线AP的解析式为：yx+c，把点A（0，2）代入得：c2，直线AP的解析式为：yx+2，当y0时，x+20，解得：x，点P的坐标为：（）；故答案为：（）方法二：解：如图，连接AB、ABA（0，2），B（3，4）AB点B与B关于直线AP对称ABAB，在RtAOB中，BO3B点坐标为（3，0）设直线BB方程为ykx+b将B（3，4），B（3，0）代入得：，解得k，b2直线BB的解析式为：yx+2，直线AP的解析式为：yx+2，当yAP0时，x+20，解得：x，点P的坐标为：（）；故答案为：（）【点评】本题是一次函数综合题目，考查了用待定系数法确定一次函数的解析
26、式、轴对称的性质、垂线的关系等知识；本题有一定难度，综合性强，由直线AB的解析式进一步求出直线AP的解析式是解决问题的关键三、解答题：（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19（6分）解方程组：【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可【解答】解：+2，可得5x5，解得x1，把x1代入，解得y1，原方程组的解是【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用20（6分）解不等式组：，并求出它的最小整数解【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可【解答】解：解不等式得：x1，解不等
27、式得：x4，不等式组的解集是1x4，最小整数解是1【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，主要考查学生能否根据不等式的解集找出不等式组的解集21（6分）如图所示，BC，ABCD，证明：CEBF【分析】由ABCD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出AECC，结合BC可得出AECB，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CEBF【解答】证明：ABCD，AECCBC，AECB，CEBF【点评】本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键22（8分）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40kg，了解到这些蔬菜的种植成本
28、共42元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是1元/kg，售价为1.5元/kg；茄子的种植成本是1.2元/kg，售价是2元/kg（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？【分析】（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克，根据采摘的两种蔬菜共40千克且这些蔬菜的种植成本共42元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润每千克的利润采摘数量，即可求出结论【解答】解：（1）设采摘黄瓜x千克，采摘茄子y千克，依题意，得：，解得：答：采摘黄瓜30千克，采摘茄子10千克（2）（1.51）30+（21.2）1023（元）答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚
29、23元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键23（8分）如图所示，在ABC中，BE平分ABC，DEBC（1）试猜想BDE的形状，并说明理由；（2）若A35，C70，求BDE的度数【分析】（1）根据BE平分ABC，DEBC，可知ABEDEB，所以BDDE，从而可知BDE是等腰三角形（2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案【解答】解：（1）BE平分ABC，ABECBE，DEBC，DEBCBE，ABEDEB，BDDE，BDE是等腰三角形（2）A35，C70，ABC180357075，DEBC，BDE+ABC180，BDE105【点评】本题
30、考查三角形，解题的关键是熟练运用平行线的性质以及三角形的内角和定理，本题属于基础题型24（10分）我校九年级有800名学生，在体育中考前进行一次排球模拟测试，从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（）本次抽取到的学生人数为50，图2中m的值为28；（）求出本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（）根据样本数据，估计我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人？【分析】（）根据得8分的学生人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后根据扇形统计图中的数据可以求得m的值；（）根据统计图中的数据可以求得本次调查获取的样本数据的平均数、众
31、数和中位数；（）根据统计图中的数据可以计算出我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有多少人【解答】解：（）本次抽取到的学生人数为：48%50，m%18%10%22%32%28%，故答案为：50，28；（）本次调查获取的样本数据的平均数是：10.66（分），众数是12分，中位数是11分；（）80032%256（人），答：我校九年级模拟模拟体测中得12分的学生约有256人【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答25（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为yx，直线l2的解析式为y1/2x+3，与x
32、轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C点P是y轴上一点（1）写出下列各点的坐标：点A（6，0）、点B（0，3）、点C（2，2）；（2）若SCOPSCOA，请求出点P的坐标；（3）当PA+PC最短时，求出直线PC的解析式【分析】（1）根据直线是点的坐标特征，求得点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式yx，yx+3求得得点C（2，2）；（2）设点P（0，m），根据题意得到关于m的方程，解方程求得m的值，即可求得P的坐标；（3）根据两点之间线段最短，先求得A关于y轴的对称点A（6，0），连接AC与y轴的交点，就是P点，此时PA+PCAC，PA+PC最短，然后利用待定系数法即可
33、求得直线PC的解析式【解答】解：（1）直线l2的解析式为yx+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），解得：，故点C（2，2），故答案为（6，0），（0，3），（2，2）；（2）设点P（0，m），SCOPSCOA，则|m|2，解得：m6或6，故点P（0，6）或（0，6）；（3）如图，A（6，0），A关于y轴的对称点A（6，0），当PA+PC最短时，P、A、C在一条直线上，此时PA+PBAC，设直线PC的解析式为ykx+b，把A（6，0），C（2，2）代入得，解得，直线PC的解析式为yx+【点评】本题考查了两条直线的交点，待定系数法求一次函数的解析式，一
34、次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及轴对称最短路线问题，求得交点坐标是解题的关键26（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DEAC；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1S2（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC60，点D是角平分线上一点，BD
35、CD4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长【分析】（1）根据旋转的性质可得ACCD，然后求出ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得ACD60，然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得ACAD，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出ACAB，然后求出ACBD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BCCE，ACCD，再求出ACNDCM，然后利用“角角边”证明ACN和DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得
36、ANDM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BEDF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2BD，求出F1DF260，从而得到DF1F2是等边三角形，然后求出DF1DF2，再求出CDF1CDF2，利用“边角边”证明CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰BDE中求出BE的长，即可得解【解答】解：（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，ACCD，BAC90B903060，ACD是等边三角形，ACD60，又CDEBAC60，ACDCDE，
37、DEAC；B30，C90，CDACAB，BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1S2；故答案为：DEAC；S1S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD，ACN+BCN90，DCM+BCN1809090，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），ANDM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1S2；（3）如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BEDF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1SBDE；过点D
38、作DF2BD，ABC60，F1DBE，F2F1DABC60，BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90，F1DF2ABC60，DF1F2是等边三角形，DF1DF2，BDCD，ABC60，点D是角平分线上一点，DBCDCB6030，CDF1180BCD18030150，CDF236015060150，CDF1CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点，ABC60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBCBDEABD6030，又BD4，BE4cos302，BF1，BF2BF1+F1F2+，故BF的长为或【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，
39、等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F有两个27（12分）建立模型：如图1，等腰RtABC中，ABC90，CBBA，直线ED经过点B，过A作ADED于D，过C作CEED于E则易证ADBBEC这个模型我们称之为“一线三垂直”它可以把倾斜的线段AB和直角ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用模型应用：（1）如图2，点A（0，4），点B（3，0），ABC是等腰直角三角形若ABC90，且点C在第一象限，求点C的坐标；若AB为直角边，求点C的
40、坐标；（2）如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P是线段NF上动点，设PNn，已知点G在第一象限，且是直线y2x一6上的一点，若MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标【分析】（1）过点C作CDx轴于点D，则AOBBDC，DCOB3，BDOA4，故点C（7，3）；若AB为直角边，则除了的情况以外，另外一个点C（C）与中的C关于点B对称，即可求解；（2）分三种情况考虑：如图2所示，当MDP90时，MDPD，设D点坐标为（x，2x6），利用三角形全等得到x+6（2x6）8，得x4，易得D点坐标；如图3所示，当MPD90时，MPPD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当MDP90时，MDPD时，同理求出D的坐标【解答】解：（1）过点C作CDx轴于点D，则AOBBDC，DCOB3，BDOA4，故点C（7，3）；若AB为直角边，则除了的情况以外，另外一个点C（C）与中的C关于点B对称，故点C（1，3）；故点C的坐标为：（7，3）或（1，3）；（2）如图2，当MDP90时，MDPD，过点P作PEOM于E，过点D作DHPE于H，点E与点M重合，DFAB4设D点坐标为（x，2x6
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