1、2019-2020学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1（4分）9的平方根是（）A3B3C3D2（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A2、3、4B3、4、5C6、8、10D5、12、133（4分）点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（1，3）D（3，1）4（4分）已知直线y2x经过点（1，a），则a的值为（）Aa2Ba1Ca2Da15（4分）下列计算中正确的是（）A3B+C3D226（4分）如图，DEBC，BE平分ABC，若170，则CBE的度数为（）A20B35C55D707（4
2、分）下列命题是假命题的是（）A角平分线上的点到角两边的距离相等B直角三角形的两个锐角互余C同旁内角互补D一个角等于60的等腰三角形是等边三角形8（4分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（）A9.7m，9.8mB9.7m，9.7mC9.8m，9.9mD9.8m，9.8m9（4分）若方程组的解中x+y2019，则k等于（）A2018B2019C2020D202110（4分）如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）ABCD11（4分
3、）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A0.7米B1.5米C2.2米D2.4米12（4分）如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA5，DB4，DC3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60得到线段AD，下列结论：点D与点D的距离为5；ADC150；ACD可以由ABD绕点A逆时针旋转60得到；点D到CD的距离为3；S四边形ADCD6+，其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13（4分）某会场座
4、位号将“7排4号”记作（7，4），那么“3排5号”记作 14（4分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加若干次测试成绩中随机抽取8次，计算得两人的平均成绩都是85分，方差分别是S甲235.5，S乙241，从操作技能稳定的角度考虑，选派 参加比赛15（4分）如图，已知函数yax+b和ykx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是 16（4分）如图，正四棱柱的底面边长为8cm，侧棱长为12cm，一只蚂蚁欲从点A出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，那么它所爬行的最短路径是 cm17（4分）如图，ABC中，C90，CACB，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，DEB
5、的周长为 18（4分）如图，ABy轴，垂足为B，BAO30，将ABO绕点A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将AB1O1绕点B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线yx上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O2020的纵坐标为 三、解答题（本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）计算：（1）+（2）26+20（6分）解方程组：21（6分）如图，已知D为BC的中点，DEAB，DFAC，点E、F为垂足，且BECF求证：ABC是等腰三角形22（8分）列方程组解应用题某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”
6、活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子已知该学校从批发市场花2400元购买了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫2545白色文化衫2035（1）学校购进黑、白文化衫各几件？（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润23（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）（1）在平面直角坐标系中画出ABC，则ABC的面积是 ；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；（3）已知P为x轴上一点，若ABP的面积为4，求点P的坐标2
7、4（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示（1）求小张骑自行车的速度；（2）求小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；（3）求小张与小李相遇时x的值25（10分）期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图（1）这次一共调查的学生人数是 人；（2）所调查学生读书本数的众数是 本，中位数是 本（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这
8、学期读书总数是多少本？26（12分）小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究（一）猜测探究在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出NAB与MAC的数量关系是 ，NB与MC的数量关系是 ；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C190，C130，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将
9、A1P绕点A1按顺时针方向旅转60，得到线段A1Q，连接B1Q求线段B1Q长度的最小值27（12分）【模型建立】（1）如图1，等腰RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y2x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，4），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y2x+1上的动点且在第四象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求
10、出点D的坐标，若不能，请说明理由2019-2020学年山东省济南市市中区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1（4分）9的平方根是（）A3B3C3D【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：3，据此解答即可【解答】解：9的平方根是：3故选：B【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根2（4分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A2、3、4B3、4、5C6、8、10D5、12、13【分析】根据勾股定理的逆定
11、理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形如果没有这种关系，这个就不是直角三角形【解答】解：A、22+3242，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、32+4252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、52+122132，符合勾股定理的逆定理，故错误故选：A【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断3（4分）点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是（）A（3，1）B（3，1）C（1，3）D（3，
12、1）【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标改变符号，进而得出答案【解答】解：点P（3，1）关于x轴对称的点的坐标是：（3，1）故选：D【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键4（4分）已知直线y2x经过点（1，a），则a的值为（）Aa2Ba1Ca2Da1【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征，将点（1，a）代入直线方程，然后解关于a的方程即可【解答】解：直线y2x经过点（1，a），a212，故选：A【点评】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征：经过函数的某点一定在函数的图象上，并且一定满足该函数的解析式方程5（4分）下列计算中正确的是（
13、）A3B+C3D22【分析】利用二次根式的除法法则对A进行判断；利用二次根式的加减法对B、D进行判断；利用二次根式的性质对C进行判断【解答】解：A、原式3，所以A选项正确；B、与不能合并，所以B选项错误；C、原式|3|3，所以C选项错误；D、原式，所以D选项错误故选：A【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍6（4分）如图，DEBC，BE平分ABC，若170，则CBE的度数为（）A20B35C55D70【分析】根据平行线的性质可得1ABC70，
14、再根据角平分线的定义可得答案【解答】解：DEBC，1ABC70，BE平分ABC，CBEABC35，故选：B【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等7（4分）下列命题是假命题的是（）A角平分线上的点到角两边的距离相等B直角三角形的两个锐角互余C同旁内角互补D一个角等于60的等腰三角形是等边三角形【分析】根据角平分线的性质定理、等边三角形的性质定理、直角三角形的性质定理判断即可【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，不符合题意；B、直角三角形的两个锐角互余，正确故不符合题意；C、两直线平行，同旁内角互补，错误，故符合题意；D、一个角等
15、于60的等腰三角形是等边三角形，正确，故不符合题意；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理8（4分）在学校的体育训练中，小杰投实心球的7次成绩就如统计图所示，则这7次成绩的中位数和众数分别是（）A9.7m，9.8mB9.7m，9.7mC9.8m，9.9mD9.8m，9.8m【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可【解答】解：把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7m，因此中位数是9.7m，9.7m出现了2次，最多，所以众数为9.7m，故选：B【点
16、评】考查中位数、众数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数9（4分）若方程组的解中x+y2019，则k等于（）A2018B2019C2020D2021【分析】将方程组的两个方程相加，可得x+yk1，再根据x+y2019，即可得到k12019，进而求出k的值【解答】解：，+得，5x+5y5k5，即：x+yk1，x+y2019，k12019k2020，故选：C【点评】本题考查二元一次方程组的解法，整体代入是求值的常用方法10（4分）如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内
17、的长度y之间的关系用图象描述大致是（）ABCD【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选A故选：A【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系11（4分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米如果
18、保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（）A0.7米B1.5米C2.2米D2.4米【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论【解答】解：在RtACB中，ACB90，BC0.7米，AC2.4米，AB20.72+2.426.25在RtABD中，ADB90，AD2米，BD2+AD2AB2，BD2+226.25，BD22.25，BD0，BD1.5米，CDBC+BD0.7+1.52.2米故选：C【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型
19、，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用12（4分）如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA5，DB4，DC3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60得到线段AD，下列结论：点D与点D的距离为5；ADC150；ACD可以由ABD绕点A逆时针旋转60得到；点D到CD的距离为3；S四边形ADCD6+，其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个【分析】连结DD，根据旋转的性质得ADAD，DAD60，可判断ADD为等边三角形，则DD5，可对进行判断；由ABC为等边三角形得到ABAC，BAC60，则把ABD逆时针旋转60后，AB与AC重合，AD与AD重合，于是可对进行判断；再根据勾股定理的逆定理得到D
20、DC为直角三角形，则可对进行判断；由于S四边形ADCDSADD+SDDC，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对进行判断【解答】解：连结DD，如图，线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60得到线段AD，ADAD，DAD60，ADD为等边三角形，DD5，所以正确；ABC为等边三角形，ABAC，BAC60，把ABD逆时针旋转60后，AB与AC重合，AD与AD重合，ACD可以由ABD绕点A逆时针旋转60得到，所以正确；DCDB4，DC3，在DDC中，32+4252，DC2+DC2DD2，DDC为直角三角形，DCD90，ADD为等边三角形，ADD60，ADC150，所以错误；DCD90，
21、DCCD，点D到CD的距离为3，所以正确；SADD+SDDC52+346+，所以错误故选：B【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13（4分）某会场座位号将“7排4号”记作（7，4），那么“3排5号”记作（3，5）【分析】由于将“7排4号”记作（7，4），根据这个规定即可确定3排5表示的点坐标【解答】解：“7排4号”记作（7，4），3排5号记作（3，5）故答案为：（3，5）【点评】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，
22、解题的关键是理解题目的规定，知道坐标与位置的对应关系14（4分）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加若干次测试成绩中随机抽取8次，计算得两人的平均成绩都是85分，方差分别是S甲235.5，S乙241，从操作技能稳定的角度考虑，选派甲参加比赛【分析】根据方差的意义即可得到结论【解答】解：S甲235.5，S乙241，乙的方差为大于甲的方差，选甲参加合适故答案为：甲【点评】本题考查了方差，牢记方差的意义解决本题的关键15（4分）如图，已知函数yax+b和ykx的图象交于点P，则二元一次方程组的解是【分析】一次函数图象的交点就是两函数组成的方程组的解【解答】解：函数yax+
23、b和ykx的图象交于点P（4，2），二元一次方程组的解是，故答案为：【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系16（4分）如图，正四棱柱的底面边长为8cm，侧棱长为12cm，一只蚂蚁欲从点A出发，沿棱柱表面到点B处吃食物，那么它所爬行的最短路径是20cm【分析】把长方体展开为平面图形，分两种情形求出AB的长即可判断【解答】解：把长方体展开为平面图形，分两种情形：如图1中，AB4，如图2中，AB20，204，爬行的最短路径是20cm故答案为20【点评】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型17（4分）
24、如图，ABC中，C90，CACB，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，DEB的周长为6【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，CADEAD，则DEDC，在BED中，BEABAE，DEDC，DEB的周长为：BE+DE+DBBE+CD+DBBE+CB【解答】解：ABC中，C90，CACB，AB6根据勾股定理得2CB2AB2，CB3，AD平分CABCADEADDEABDEA90CCADEAD（AAS）ACAE3，DECDEBABAE63故DEB的周长为：BE+DE+DBBE+CD+DBBE+CB63+36【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求
25、法，范围较广18（4分）如图，ABy轴，垂足为B，BAO30，将ABO绕点A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线yx上，再将AB1O1绕点B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线yx上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O2020的纵坐标为1515+505【分析】根据题意可知O2、O4、O6、O8落在直线yx上，因此O2020也落在直线yx上，只要求出OO2020的长度，即可求出O2020纵坐标，而OO2020OO2，而OO2可以根据直角三角形求出【解答】解：在RtAOB中，OB1，BAO30，AB，OA2，由旋转得：OBO1B1O2B21，
26、OAO1AO2A12，ABA1B1A2B2，OO21+2+3+，OO2020OO21010（3+），O2020纵坐标为OO20201010（3+）1515+505，故答案为：1515+505【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，掌握含有30度角直角三角形的边角关系式解决问题的关键三、解答题（本大题共9个小题，共78分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）计算：（1）+（2）26+【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可【解答】解：（1）原式+43+47；（2）原式46+42【点评】
27、本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍20（6分）解方程组：【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：，+得：7x14，解得：x2，把x2代入得：y1，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元方法与加减消元法21（6分）如图，已知D为BC的中点，DEAB，DFAC，点E、F为垂足，且BECF求证：ABC是等腰三角形【分析】根据D为BC的中点，DEAB，DFAC，点E、F为垂足，且BECF，可以
28、得到RtBED和RtCFD全等的条件，从而可以证明RtBED和RtCFD全等，即可得到B和C的关系，从而可以证明结论成立【解答】证明：D为BC的中点，BDCD，DEAB，DFAC，BEDCFD90，在RtBED和RtCFD中，RtBEDRtCFD（HL），BC，ABAC，ABC是等腰三角形【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的判定和数形结合的思想解答22（8分）列方程组解应用题某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子已知该学校从批发市场花2400元购买
29、了黑、白两种颜色的文化衫100件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫2545白色文化衫2035（1）学校购进黑、白文化衫各几件？（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润【分析】（1）设学校购进黑色文化衫x件，白色文化衫y件，根据购进黑、白两种颜色的文化衫100件共需2400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润每件的利润数量，即可求出结论【解答】解：（1）设学校购进黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意，得：，解得：答：学校购进黑色文化衫80件，白色文化衫20件（2）（4525）80+（3520）201
30、900（元）答：该校这次义卖活动所获利润为1900元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键23（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）（1）在平面直角坐标系中画出ABC，则ABC的面积是4；（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为（4，3）；（3）已知P为x轴上一点，若ABP的面积为4，求点P的坐标【分析】（1）直接利用ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案【解答】解：（1）如图所示：ABC的面积是：34
31、1224234；故答案为：4；（2）点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为：（4，3）；故答案为：（4，3）；（3）P为x轴上一点，ABP的面积为4，BP8，点P的横坐标为：2+810或286，故P点坐标为：（10，0）或（6，0）【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键24（8分）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速骑行，小李骑摩托车比小张晚出发一段时间，以800米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小张出发后的时间x（分）之间的函数图象如图所示（1）求小张骑自行车的速度；（2）求小张停留后再
32、出发时y与x之间的函数表达式；（3）求小张与小李相遇时x的值【分析】（1）由图象看出小张的路程和时间，根据速度公式可得结论；（2）首先求出点B的坐标，利用待定系数法可得函数解析式；（3）求小李的函数表达式，列方程组可得小张与小李相遇时x的值【解答】解：（1）由题意得：（米/分），答：小张骑自行车的速度是300米/分；（2）由小张的速度可知：B（10，0），设直线AB的解析式为：ykx+b，把A（6，1200）和B（10，0）代入得：，解得：，小张停留后再出发时y与x之间的函数表达式；y300x+3000；（3）小李骑摩托车所用的时间：3，C（6，0），D（9，2400），同理得：CD的解析式为
33、：y800x4800，则800x4800300x+3000，答：小张与小李相遇时x的值是分【点评】本题主要考查一次函数的应用，考查学生观察图象的能力，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式25（10分）期末，学校为了调查这学期学生课外阅读情况，随机抽样调查了一部分学生阅读课外书的本数，并将收集到的数据整理成如图的统计图（1）这次一共调查的学生人数是20人；（2）所调查学生读书本数的众数是4本，中位数是4本（3）若该校有800名学生，请你估计该校学生这学期读书总数是多少本？【分析】（1）将条形图中的数据相加即可；（2）根据众数和中位数的概念解答即可；（3）先求出平均数，再解答即可【解答】解：（1）1
34、+1+3+4+6+2+2+120，故答案为：20；（2）众数是4中位数是4，；故答案为：4；4；（3）每个人读书本数的平均数是：（1+21+33+46+54+62+72+8）4.5总数是：8004.53600答：估计该校学生这学期读书总数约3600本【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件26（12分）小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究（一）猜测探究在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB（1）如图1，若M是线段BC上的
35、任意一点，请直接写出NAB与MAC的数量关系是NABMAC，NB与MC的数量关系是NBMC；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在A1B1C1中，A1B18，A1B1C190，C130，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60，得到线段A1Q，连接B1Q求线段B1Q长度的最小值【分析】（1）由旋转知，AMAN，BACNAM，进而得出MACNAB，判断出CAMBAN，即可得出结论；（2）由旋转知，AMAN，BACNAM，进而得出MA
36、CNAB，判断出CAMBAN，即可得出结论；（3）取A1C1的中点O，则C1OA1OA1C1，再判断出A1B1A1C1，进而得出C1OA1OA1B14，再判断出B1A1C1QA1P，进而判断出PA1OQA1B1，得出OPB1Q，再判断出OPB1C1时，OP最小，即可得出结论【解答】解：（1）由旋转知，AMAN，BACNAM，BACBAMNAMBAM，即：MACNABABAC，CAMBAN（SAS），MCNB，故答案为NABMAC，MCNB；（2）（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，AMAN，BACNAM，BACBAMNAMBAM，即：MACNAB，ABAC，CAMBAN（SAS），MCNB；
37、（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1OA1OA1C1，在RtA1B1C1中，C130，A1B1A1C1，B1A1C190C160，C1OA1OA1B18，由旋转知，A1PA1Q，QA1P60，B1A1C1QA1P，PA1C1B1A1Q，PA1OQA1B1（SAS），OPB1Q，要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，而点O是定点，则OPB1C1时，OP最小，在RtOPC1中，C130，OC18，OPOC14，即：线段B1Q长度的最小值为4【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，构造出PA1OQA1B1是解本题的关键27（
38、12分）【模型建立】（1）如图1，等腰RtABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过点A作ADED于点D，过点B作BEED于点E，求证：BECCDA；【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y2x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，4），过点B作BAx轴于点A、BCy轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y2x+1上的动点且在第四象限内试探究CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由【分析】（1）由垂直的定义得ADCCEB90，平角的定义和同
39、角的余角的相等求出DACECB，角角边证明CDABEC；（2）证明ABOBCD，求出点C的坐标为（3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k5，b10，待定系数法求出直线l2的函数表达式为y5x10；（3）构建MCPHPD，由其性质，点D在直线y2x+1求出m或n0或，将m的值代入点D坐标得（，）或（4，7）或（，）【解答】解：（1）如图1所示：ADED，BEED，ADCCEB90，又ACD+ACB+BEC180，ACB90，ACD+BEC90，又ACD+DAC90，DACECB，在CDA和BEC中，CDABEC（AAS）；（2）过点B作BCAB交AC于点C，CDy轴交y轴于点D，如图2所
40、示：CDy轴，x轴y轴，CDBBOA90，又BCAB，ABC90，又ABO+ABC+CBD180，ABO+CBD90，又BAO+ABO90，BAOCBD，又BAC45，ACB45，ABCB，在ABO和BCD中，ABOBCD（AAS），AOBD，BOCD，又直线l1：y2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A、B两点的坐标分别为（，0），（0，3），AO，BO3，BD，CD3，点C的坐标为（3，），设l2的函数表达式为ykx+b（k0），点A、C两点在直线l2上，依题意得：，解得：，直线l2的函数表达式为y3x；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，若点P为直角时，如图3甲所示：设点P的坐标
41、为（3，m），则PB的长为4+m，CPD90，CPPD，CPM+CDP+PDH180，CPM+PDH90，又CPM+DPM90，PCMPDH，在MCP和HPD中，MCPHPD（AAS），CMPH，PMPD，点D的坐标为（7+m，3+m），又点D在直线y2x+1上，2（7+m）+13+m，解得：m，即点D的坐标为（，）；若点C为直角时，如图3乙所示：设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CACD，同理可证明PCMCDH（AAS），PMCH，MCHD，点D的坐标为（4+n，7），又点D在直线y2x+1上，2（4+n）+17，解得：n0，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，7）；若点D为直角时，如图3丙所示：设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，CDPD，同理可证明CDMPDQ（AAS），MDPQ，MCDQ，点D的坐标为（，
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