2018-2019学年山西省长治二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）含详细解答

1、2018-2019学年山西省长治二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设复数，则|z|（）ABCD2（5分）过两点的直线的倾斜角为（）ABCD3（5分）设aR，则“a1”是“直线l1：2ax+y30与直线l2：4x+2ya0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，2）C（，1），（2，+）D（2，+）5（5分）已知双曲线1的一个焦点在圆x2+y24x50

2、上，则双曲线的渐近线方程为（）AByxCD6（5分）如图所示，程序框图的输出值S（）A7B15C31D47（5分）为研究某一社区居民在20：0022：00时间段内的休闲方式与性别是否有关系，随机调查该社区80人，得到下面的列联表：男女总计看书501060看电视101020总计602080参考公式：附表：P（K2k） 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A有99.9%以上的把握认为“休闲方式与性别有关”B有99%以上的把握认为“休闲方式与性别无关”C在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“休闲方式与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%

3、的前提下，认为“休闲方式与性别无关”8（5分）过抛物线y24x的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则等于（）A5B4C3D29（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩看后丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A甲、乙可以知道对方的成绩B甲、乙可以知道自己的成绩C乙可以知道四人的成绩D甲可以知道四人的成绩10（5分）在极坐标系中，圆cos的垂直于极轴的两条切线方程为（）A和cos1B0（R）和cos1C和cos2D0（R）和co

4、s211（5分）若函数f（x）x3+x2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A5，0）B（5，0）C3，0）D（3，0）12（5分）设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）xDf（x）x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13（5分）曲线y5ex+3在点x0处的切线方程为 14（5分）在极坐标系中，直线l：，若以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则直线l的直角坐标方程为 15（5分）已知点M（1，0）是圆C：（x2）2+（

5、y1）25内一点，则过点M的圆的最短弦所在直线的方程是 16（5分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数（2m23m2）+（m22m）i（1）表示纯虚数； （2）表示的点位于第三象限18（12分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求证：BCA1D；（）求证：平面A1CD平面A1BC；（）若AB10，BC6，求三棱锥A1BCD的体积19（12分）如图是某企业2012年至2018年的污水

6、净化量（单位：吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20122018（1）建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量；（2）请用数据说明回归方程预报的效果参考数据：54（ti）（yi）21，（yi）2参考公式：线性回归方程t，反映回归效果的公式为：R2120（12分）在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程为（1）求曲线C1和C2的交点的极坐标；（2）过极点O作动直线与曲线C2交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|OQ|2，求点P的轨迹的直角坐标方程21（12分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；（2）设过点F且不与

7、坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围22（12分）设函数f（x）k（+lnx）（k为常数，e2.71828是自然对数的底数）（）当k0时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围2018-2019学年山西省长治二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设复数，则|z|（）ABCD【分析】直接利用复数的模的求法，求解即可【解答】解：复数，则|z|故选：C【

8、点评】本题考查复数的模的运算法则的应用，是基本知识的考查2（5分）过两点的直线的倾斜角为（）ABCD【分析】由两点坐标求直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解【解答】解：过两点的直线的斜率k，设过两点的直线的倾斜角为（0），则tan，故选：A【点评】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查直线斜率与倾斜角的关系，是基础题3（5分）设aR，则“a1”是“直线l1：2ax+y30与直线l2：4x+2ya0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】解出线线平行的a值，结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：直线l1：2ax+y30与直线l2：4x+2y

9、a0平行a1，“a1”是“直线l1：2ax+y30与直线l2：4x+2ya0平行”的充要条件故选：C【点评】本题考查了充分必要条件，考查线线平行的条件，是一道基础题4（5分）设f（x）x22x4lnx，则f（x）的递减区间为（）A（1，2）B（0，2）C（，1），（2，+）D（2，+）【分析】求函数的定义域，然后求函数导数，解导数不等式即可【解答】解：函数f（x）x22x4lnx的定义域为x|x0，则f（x）2x2，由题意，f（x）0，得x2x20，解得1x2，x0，不等式的解为0x2，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，比较基础5（5分）已知双曲

10、线1的一个焦点在圆x2+y24x50上，则双曲线的渐近线方程为（）AByxCD【分析】确定双曲线1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x50上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意，双曲线1的右焦点为（，0）在圆x2+y24x50上，（）24505m16双曲线方程为1双曲线的渐近线方程为故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）如图所示，程序框图的输出值S（）A7B15C31D4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的

11、运行，可得i0，S0满足条件S10，执行循环体，i1，S1满足条件S10，执行循环体，i2，S3满足条件S10，执行循环体，i3，S7满足条件S10，执行循环体，i4，S15此时，不满足条件S10，退出循环，输出S的值为15故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7（5分）为研究某一社区居民在20：0022：00时间段内的休闲方式与性别是否有关系，随机调查该社区80人，得到下面的列联表：男女总计看书501060看电视101020总计602080参考公式：附表：P（K2k） 0.0500.0100.001k3.8416.63510

12、.828参照附表，得到的正确结论是（）A有99.9%以上的把握认为“休闲方式与性别有关”B有99%以上的把握认为“休闲方式与性别无关”C在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“休闲方式与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“休闲方式与性别无关”【分析】计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【解答】解：由22列联表得：K26.635，有99%以上的把握认为“休闲方式与性别有关”，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“休闲方式与性别有关”，故选：C【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目8（5分）过抛物线y24x的焦点F且倾斜角

13、为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则等于（）A5B4C3D2【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|x1+x2+p，x1+x2，又，可得，3故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题9（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩看后丁对大家说：我还是不知道我

14、的成绩，根据以上信息，则（）A甲、乙可以知道对方的成绩B甲、乙可以知道自己的成绩C乙可以知道四人的成绩D甲可以知道四人的成绩【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丁知道乙、丙的成绩后仍无法得知自己的成绩，故乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；然后进行推理即可【解答】解：由丁不知道自己的成绩可知：乙和丙只能一个是优秀，一个是良好；当乙知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是乙不知道甲和丁的成绩；由于丁和甲也是一个优秀，一个良好，所以甲知道丁的成绩后，能够知道自己的成绩，但是甲不知道乙和丙的成绩综上所述，甲，乙可以知道自己的成绩故选：B【点评】本题主要考查合情推理的应用

15、，根据条件得到乙和丙只能一个是优秀，一个是良好是解题的关键；考查学生的推理能力10（5分）在极坐标系中，圆cos的垂直于极轴的两条切线方程为（）A和cos1B0（R）和cos1C和cos2D0（R）和cos2【分析】直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步求出切线的方程【解答】解：圆cos，转换为直角坐标方程为：x2+y2x，整理得：，则与圆垂直于极轴的两条切线方程为x0和x1，即：故选：A【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，圆的切线方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）若函数f（x）x3+x2在

16、区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A5，0）B（5，0）C3，0）D（3，0）【分析】由题意，求导f（x）x2+2xx（x+2）确定函数的单调性，从而作出函数的简图，由图象求实数a的取值范围【解答】解：由题意，f（x）x2+2xx（x+2），故f（x）在（，2），（0，+）上是增函数，在（2，0）上是减函数，作其图象如右图，令x3+x2得，x0或x3；则结合图象可知，；解得，a3，0）；故选：C【点评】本题考查了导数的综合应用及学生作图识图的能力，属于中档题12（5分）设函数f（x）在R上的导函数为f（x），且2f（x）+xf（x）x2，下面的不等式在R内恒成立的是（）A

17、f（x）0Bf（x）0Cf（x）xDf（x）x【分析】对于这类参数取值问题，针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法【解答】解：2f（x）+xf（x）x2，令x0，则f（x）0，故可排除B，D如果 f（x）x2+0.1，时 已知条件 2f（x）+xf（x）x2 成立，但f（x）x 未必成立，所以C也是错的，故选 A故选：A【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置）13（5分）曲线y5ex+3在点x0处的切线方程为y5x2【分析】求出函数的导数，利

18、用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）5ex，则f（0）5e05，即函数在点x0处的切线斜率k5，f（0）5e0+3352，即切点坐标（0，2），则对应的切线方程为y+25x，即y5x2，故答案为：y5x2【点评】本题主要考查函数的切线方程，利用导数的几何意义求出函数的导数是解决本题的关键比较基础14（5分）在极坐标系中，直线l：，若以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则直线l的直角坐标方程为【分析】直接利用转换关系求出结果【解答】解：直线l：，转换为直角坐标方程为：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生

19、的运算能力和转化能力，属于基础题型15（5分）已知点M（1，0）是圆C：（x2）2+（y1）25内一点，则过点M的圆的最短弦所在直线的方程是x+y1【分析】根据题意，设过点M的圆的最短弦所在直线为直线l，由圆的方程可得圆的圆心，分析可得当M为弦的中点，即MC与弦垂直时，过点M的圆的弦最短，求出MC的斜率，即可得直线l的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案【解答】解：根据题意，设过点M的圆的最短弦所在直线为直线l，圆C：（x2）2+（y1）25的圆心为（2，1），当M为弦的中点，即MC与弦垂直时，过点M的圆的弦最短，此时KMC1，此时直线l的斜率K1，则直线l的方程为y（x1），即x+y1；故答案

20、为：x+y1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析过点M的圆的最短弦成立的条件16（5分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（c，0），如图连接Q1F，QF，设QF与直线yx交于点M，由题意知M为线段QF的中点，F1QOM，又OMFQ，F1QQF，|F1Q|2|OM|，在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF

21、|，|QF1|2|OM|，由椭圆定义得|QF|+|QF1|+2a，得bc，ac，故e【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数（2m23m2）+（m22m）i（1）表示纯虚数； （2）表示的点位于第三象限【分析】（1）根据复数是纯虚数得到实部等于0，虚部不等于0，（2）点在第三象限，则实部小于0，虚部小于0，进行求解即可【解答】解：（1）若表示纯虚数，则得，得m（2）若表示的点位于第三象限则，得【点评】本题主要考查复数几何意义以及复数概念的应用，根据定义转化为相应的表达式关系是解决本

22、题的关键18（12分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求证：BCA1D；（）求证：平面A1CD平面A1BC；（）若AB10，BC6，求三棱锥A1BCD的体积【分析】（I）证明BCA1O推出BC平面A1CD通过直线与平面垂直的性质定理证明BCA1D（II）证明A1DA1B推出A1D平面A1BC然后证明平面A1BC平面A1CD（III）利用，求出底面面积与高，即可求出几何体的体积【解答】（共14分）（I）证明：因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O平面BCD又BC平面BCD，所以BCA1O又BCCO，COA1O

23、O，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，所以BC平面A1CD又A1D平面A1CD，所以BCA1D（5分）（II）证明：因为矩形ABCD，所以A1DA1B由（I）知BCA1D又BCA1BB，BC平面A1BC，A1B平面A1BC，所以A1D平面A1BC又A1D平面A1CD，所以平面A1BC平面A1CD（10分）（III）解：因为A1D平面A1BC，所以A1DA1C因为CD10，A1D6，所以A1C8所以（14分）【点评】本题考查直线与直线垂直的判定与性质，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理以及计算能力19（12分）如图是某企业2012年至2018年的污水净化量（单位

24、：吨）的折线图注：年份代码17分别对应年份20122018（1）建立y关于t的回归方程，预测2019年该企业的污水净化量；（2）请用数据说明回归方程预报的效果参考数据：54（ti）（yi）21，（yi）2参考公式：线性回归方程t，反映回归效果的公式为：R21【分析】（1）由题意可得：，结合参考数据代入参考公式求出b，a的值即可；（2）由反映回归效果的公式为：R21，算出R20.875，这说明回归方程预报的效果良好【解答】解：（1）由题意可得：，54，y关于t的线性回归方程为：t，将2019年对应的t8代入得：，预测2019年该企业的污水净化量约为57吨；（2）10.875，这说明回归方程预报的

25、效果良好【点评】本题主要考查了线性回归方程，是中档题20（12分）在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程为（1）求曲线C1和C2的交点的极坐标；（2）过极点O作动直线与曲线C2交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|OQ|2，求点P的轨迹的直角坐标方程【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【解答】（1）解：，转换为直角坐标方程为：x2+y22x0C2的极坐标方程为解得：（2）设，将带入，得为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和

26、系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型21（12分）已知椭圆+y21的左焦点为F，O为坐标原点（1）求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围【分析】（1）由a22，b21，可得c1，F（1，0），由于圆过点O、F，可得圆心M在直线x上，设M，则圆半径 r，由|OM|r，得，解得t即可得出（2）设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，由于直线AB过椭圆的左焦点F，可得方程有两个不等实根设A（x

27、1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系可得AB的垂直平分线NG的方程为，令y0，得xG+，即可得出【解答】解：（1）a22，b21，c1，F（1，0），圆过点O、F，圆心M在直线x上，设M，则圆半径 r，由|OM|r，得，解得t所求圆的方程为（2）设直线AB的方程为yk（x+1）（k0），代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k220，直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根记A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点N（x0，y0）x1+x2，AB的垂直平分线NG的方程为，y0k（x0+1）令y0，得xGx0+ky

28、0+，k0，xG0点G横坐标的取值范围为【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、线段的垂直平分线，考查了推理能力与计算能力，属于难题22（12分）设函数f（x）k（+lnx）（k为常数，e2.71828是自然对数的底数）（）当k0时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围【分析】（）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f（x）在（0，2）内有两个不同的零点【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）k

29、（）（x0），当k0时，kx0，exkx0，令f（x）0，则x2，当0x2时，f（x）0，f（x）单调递减；当x2时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+）（）由（）知，k0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k0时，设函数g（x）exkx，x（0，+）g（x）exkexelnk，当0k1时，当x（0，2）时，g（x）exk0，yg（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k1时，得x（0，lnk）时，g（x）0，函数yg（x）单调递减，x（lnk，+）时，g（x）0，函数yg（x）单调递增，函数yg（x）的最小值为g（lnk）k（1lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想是一道导数的综合应用题属于中档题