1、2019-2020学年山西省朔州市怀仁市重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设命题p：nN，n22n，则p为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n2（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A1B2C3D43（5分）下列说法正确的是（）A棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点4（
2、5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D55（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”B若a，bR，则“ab0”是“a0”的充分不必要条件C命题“x0R，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x+10”D若“p且q”为假，则p，q全是假命题6（5分）直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k17（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平
3、行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面8（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数zx2+y2的取值范围为（）A2，8B4，13C2，13D9（5分）已知点P是直线2xy+30上的一个动点，定点M（1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程（）A2x+y+10B2xy50C2xy10D2xy+5010（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD11（5分）在一直角坐标系中，已知A（1，6），B（3，8），现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A，B两
4、点间的距离为（）ABCD212（5分）若圆C：x2+y2+2x4y+30关于直线2ax+by+60对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D6二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知点A（1，1），B（1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是 14（5分）已知双曲线y21（a0）的一条渐近线为x+y0，则a 15（5分）如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为 16（5分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上
5、，则椭圆的离心率是 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，其余5道题每题12分）17（10分）在ABC中，已知A（5，2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标； （2）直线MN的方程18（12分）已知mR，命题p：对任意x0，1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：存在x1，1，使得max成立（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围19（12分）已知圆C：x2+y24x6y+120，点A（3，5）（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点是坐标原点，连
6、接OA，OC，求AOC的面积S20（12分）如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，且SE2EB（1）证明：DE平面SBC；（2）求二面角ADEC的大小21（12分）如图，椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|2+|2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e22（12分）已知抛物线C：ymx2（m0）焦点为F，直线2xy+20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛
7、物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值（3）是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由2019-2020学年山西省朔州市怀仁市重点中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设命题p：nN，n22n，则p为（）AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：nN，n22n，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，
8、比较基础2（5分）命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据四种命题的关系写出答案即可【解答】解：在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假命题“若a3，则a6”为真命题；逆命题是假命题，命题的逆否命题为真命题，故选：B【点评】此题考查了四种命题的关系，熟练掌握他们之间的关系是解本题的关键3（5分）下列说法正确的是（）A棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不
9、一定交于一点【分析】利用棱锥，棱柱，棱台的定义，判断选项的正误即可【解答】解：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，因为正六边形是六个正三角形组成，则此棱锥不可能是六棱锥，所以A不正确；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图：正方体的一个顶点处的四棱锥PABCD满足条件，所以B正确；有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，必须侧棱相交与一点，所以C不正确；棱台的各侧棱延长后不一定交于一点，不满足棱台的定义，所以不正确；故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的定义与性质的判断，是基本知识的考查4（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+
10、C2+2D5【分析】根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，ACAB，E为BC中点，EA2，EAEB1，OA1，：BC面AEO，AC，OE判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，ACAB，E为BC中点，EA2，ECEB1，OA1，可得AEBC，BCOA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC面AEO，AC，OESABC222，SOACSOAB1SBCO2故该三棱锥的表面积是2，故选：C【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质5（5分）下列说法正确的是（）A命题“若x21，则x1”的
11、否命题为“若x21，则x1”B若a，bR，则“ab0”是“a0”的充分不必要条件C命题“x0R，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x+10”D若“p且q”为假，则p，q全是假命题【分析】A否命题是即否定条件又否定结论；B根据充分条件和必要条件的概念判定即可；C存在命题的否定：把存在改为任意，再否定结论；D且命题的概念判断即可【解答】A命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”，故错误；B若a，bR，则“ab0”可推出a0且b0，但由a0推不出ab0，故是充分不必要条件，故正确；C命题“x0R，x02+x0+10”的否定是“xR，x2+x+10”，故错误；D若“p且q”为假，
12、则p，q不全是真命题，故错误故选：B【点评】考查了否命题的概念，存在命题的否定和且命题的概念属于基础题型，应熟练掌握6（5分）直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），其斜率取值范围是（）A1Bk1或kCk或k1Dk或k1【分析】直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果【解答】解：因为直线l过点A（1，2），在x轴上的截距取值范围是（3，3），所以直线端点的斜率分别为：1，如图：所以k或k1故选：D【点评】本题考查直线方程的应用，直线的斜率范围的求法，考查计算能力7（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平
13、行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选：D【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和
14、判定定理8（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数zx2+y2的取值范围为（）A2，8B4，13C2，13D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论【解答】解：作出不等式对应的平面区域，则zx2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，则当动点P位于A时，OA的距离最大，当直线x+y2与圆x2+y2z相切时，距离最小，即原点到直线x+y2的距离d，即z的最小值为zd22，由，解得，即A（3，2），此时zx2+y232+229+413，即z的最大值为13，即2z13，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的
15、数学思想是解决此类问题的基本方法9（5分）已知点P是直线2xy+30上的一个动点，定点M（1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程（）A2x+y+10B2xy50C2xy10D2xy+50【分析】确定Q，P坐标之间的关系，利用点P是直线2xy+30上的一个动点，可得Q点的轨迹方程【解答】解：设Q（x，y），P（a，b），则由中点坐标公式可得a2x，b4y，点P是直线2xy+30上的一个动点，2ab+30，2（2x）（4y）+30，即2xy+50故选：D【点评】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，比较基础10（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，A
16、BM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为（）AB2CD【分析】设M在双曲线1的左支上，由题意可得M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得ab，再由离心率公式即可得到所求值【解答】解：设M在双曲线1的左支上，且MAAB2a，MAB120，则M的坐标为（2a，a），代入双曲线方程可得，1，可得ab，ca，即有e故选：D【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键11（5分）在一直角坐标系中，已知A（1，6），B（3，8），现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）ABCD2【分析】平面直角坐标
17、系中已知A（1，6），B（3，8），现沿x轴将坐标平面折成60的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可【解答】解：平面直角坐标系中已知A（1，6），B（3，8），沿x轴将坐标平面折成60的二面角后，A在平面xOy上的射影是C，作BDx轴，交x轴于D点，+268，AB2故选：D【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用12（5分）若圆C：x2+y2+2x4y+30关于直线2ax+by+60对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A2B3C4D6【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求
18、出切线长的表达式，然后求出最小值【解答】解：圆C：x2+y2+2x4y+30化为（x+1）2+（y2）22，圆的圆心坐标为（1，2）半径为圆C：x2+y2+2x4y+30关于直线2ax+by+60对称，所以（1，2）在直线上，可得2a+2b+60，即ab+3点（a，b）与圆心的距离，所以点（a，b）向圆C所作切线长：4，当且仅当b1时弦长最小，为4故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知点A（1，1），B（1，1），则以线段AB为直径的圆的方程是x2+y22【分析】根据中点坐标公式算
19、出AB的中点为（0，0），由两点的距离公式算出|AB|2，从而得到所求圆的圆心为原点、半径r，可得圆的标准方程【解答】解：点A（1，1），B（1，1），线段AB的中点坐标为（0，0），且|AB|2因此，以线段AB为直径的圆，它的圆心为（0，0），半径r|AB|，圆的方程为x2+y22故答案为：x2+y22【点评】本题给出A、B两点的坐标，求以AB为直径的圆的方程着重考查了线段中点坐标公式、两点间的距离公式和圆的标准方程等知识，属于基础题14（5分）已知双曲线y21（a0）的一条渐近线为x+y0，则a【分析】运用双曲线的渐近线方程为y，结合条件可得，即可得到a的值【解答】解：双曲线y21的渐近线
20、方程为y，由题意可得，解得a故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题15（5分）如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为【分析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则可得直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，可得C1DAD，从而可得结论【解答】解：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，则C是圆柱下底面弧AB的中点，ADBC直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角
21、C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，C1D圆柱下底面C1DAD圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C1DAD直线AC1与AD所成角的正切值为异面直线AC1与BC所成角的正切值为故答案为：【点评】本题考查异面直线所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线所成角是关键16（5分）椭圆+1（ab0）的右焦点F（c，0）关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是【分析】利用直线斜率以及对称点的性质，求出Q到两焦点的距离，再利用椭圆的性质可求出b与c之间的关系，然后求解离心率即可【解答】解：根据椭圆定义运用数形结合思想求解，设椭圆的另一个焦点为F1（c，0），如图连接Q1F，QF，设QF与直线yx交
22、于点M，由题意知M为线段QF的中点，F1QOM，又OMFQ，F1QQF，|F1Q|2|OM|，在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|，由椭圆定义得|QF|+|QF1|+2a，得bc，ac，故e【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17题10分，其余5道题每题12分）17（10分）在ABC中，已知A（5，2），B（7，3），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标； （2）直线MN的方程【分析】（1）根
23、据中点坐标公式，即可求顶点C的坐标；（2）由点M、N的坐标，利用截距式方程解答【解答】解：（1）设C（x0，y0），则AC中点M，BC中点N（，）M在y轴上，0，x05N在x轴上，0，y03即C（5，3）（2）M（0，），N（1，0），直线MN的方程为+1，即5x2y50【点评】考查了待定系数法求直线方程，中点坐标公式的应用，考查学生的计算能力18（12分）已知mR，命题p：对任意x0，1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：存在x1，1，使得max成立（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围【分析】（1）对任意x0，1，不等式2x2m23m
24、 恒成立，可得2m23m，解得m范围（2）a1时，存在x1，1，使得max 成立可得m1由p且q为假，p或q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出【解答】解：（1）对任意x0，1，不等式2x2m23m 恒成立，2m23m，解得1m2（2）a1时，存在x1，1，使得max 成立m1p且q为假，p或q为真，p与q必然一真一假，或，解得1m2或m1m的取值范围是（，1）（1，2【点评】本题考查了不等式的性质与解法、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）已知圆C：x2+y24x6y+120，点A（3，5）（1）求过点A的圆的切线方程；（2）O点
25、是坐标原点，连接OA，OC，求AOC的面积S【分析】（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径，再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程（2）先求OA的长度，再求直线AO 的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC的面积【解答】解：（1）因为圆C：x2+y24x6y+120（x2）2+（y3）21所以圆心为（2，3），半径为1当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为kxy3k+50，所以1，所以k，所以切线方程为：3x4y+110；而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，当切线的斜率不存在时，另一条切线方程为：x
26、3（2）|AO|，经过A点的直线l的方程为：5x3y0，故d，故Sd|AO|【点评】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题20（12分）如图，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，且SE2EB（1）证明：DE平面SBC；（2）求二面角ADEC的大小【分析】（1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE平面SBC（）向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角，由此利用向量法能求出二面角ADEC的大小【解答】证明：（1）分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z建立空间直角坐标
27、系（如图），则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），（1，1，0），（0，0，2）SE2EB，又（1，1，0），又BCBSB，DE平面SBC（6分）解：（） 由（）知，DE平面SBC，EC平面SBC，DEEC，当SE2EB时，知E（），（），取DE中点F，则F（），（），故0，由此得FADE向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角又cos，二面角ADEC的大小为120（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21（12分）如图，椭圆1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆
28、于P，Q两点，且PQPF1（）若|PF1|2+|2，求椭圆的标准方程；（）若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e【分析】（）由椭圆的定义，2a|PF1|+|PF2|，求出a，再根据2c|F1F2|2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；（）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|PF1|4a2|PF1|，解得|PF1|2（2）a，从而|PF2|2a|PF1|2（1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率【解答】解：（）由椭圆的定义，2a|PF1|+|PF2|2+24，故a2，设椭圆的半焦距为c，由已知PF2PF1，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1，故所求椭圆的标准方程为（）连接F1Q，由椭圆的定义，|
29、PF1|+|PF2|2a，|QF1|+|QF2|2a，从而由|PF1|PQ|PF2|+|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|，又由PQPF1，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|4a2|PF1|，解得|PF1|2（2）a，从而|PF2|2a|PF1|2（1）a，由PF2PF1，知2c|F1F2|，因此e【点评】本题考查了椭圆的定义2a|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题22（12分）已知抛物线C：ymx2（m0）焦点为F，直线2xy+20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，（1）求抛物线C的焦点坐标；（2）若抛物
30、线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，求此时m的值（3）是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由【分析】（1）抛物线C：ymx2（m0），即x2y，可求出焦点坐标；（2）利用抛物线的定义把焦点F的距离为3转化为到准线的距离为3即可求m的值（3）ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形即是0，把直线方程和抛物线方程联立，可以得到A，B两点的坐标进而求得P以及Q的坐标，代入是0，即可求出m的值【解答】解：（1）抛物线C：ymx2（m0），即x2y，抛物线C的焦点为F（0，）；（2）抛物线C上有一点R（xR，2）到焦点F的距离为3，2+3，m（3）联立方程，消去y得mx22x20，设A（x1，mx12），B（x2，mx22），则，（*），P是线段AB的中点，P（，），即P（，yp），Q（，），得（x1，mx12），（x2，mx22），若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则是0，即（x1）（x2）+（mx12）（mx22）0，结合（*）化简得+40，即2m23m20，m2或m（舍去），存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形【点评】本题考查抛物线的应用以及直线与抛物线的综合问题解决本题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解
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