1、2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（1，+），”的否定是（）Ax0（1，+），Bx0（1，+），Cx（1，+），Dx（1，+），2（5分）已知直线l过点（2，1），且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A2x+y+30B2x+y30Cx2y40Dx2y+603（5分）函数f（x）+1在区间0，3的最小值是（）A0B2CD14（5分）刘徽注九章商功曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三王莽铜斛于今尺为深九寸五
2、分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）A60B63C84D1265（5分）抛物线C：y22px的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A（4，0）B（4，0）C（0，4）D（0，4）6（5分）若函数f（x）2x33mx2+6x存在极值点，则m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（，22，+）C（2，2）D2，27（5分）设aR，则“a1”是“直线ax
3、+y+a+10与直线x+ay+a0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8（5分）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A若，则B若，m，则mC若ma，n，则mnD若，m，n，则mn9（5分）若圆1关于直线l：xy+m0对称，l1：xy+40，则l与l1间的距离是（）A1B2CD310（5分）九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑PABC中，PA平面ABC，PA4，ABBC2，鳌臑PABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A16B20C
4、24D6411（5分）设函数f（x）是奇函数yf（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（0，1）（1，+）C（，1）（1，0）D（1，0）（1，+）12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过左焦点F1引渐近线的垂线，垂足为P，PF1F2的面积是2，则双曲线C的方程为（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知f（x）xsinx+2，则yf（x）在点处的切线方程为_ 14（5分）以（1，2）为圆心，且与圆C：（x3）2+（y+1）29外切的圆的标准方
5、程是 15（5分）倾斜角是45，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2+y22y30于A，B两点，则直线l的一般式方程 ，|AB| 16（5分）给出下列命题：（1）若函数在（1，+）上是减函数，则m1；（2）直线yk（x2）与线段AB相交，其中A（1，1），B（4，2），则k的取值范围是1，1；（3）点P（1，0）关于直线2xy+10的对称点为P0，则P0的坐标为；（4）直线yx1与抛物线y24x交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线x1相切其中正确的命题有 （把所有正确的命题的序号都填上）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）命题p：直线l：3x4y
6、m0与圆C：（x1）2+y21相交，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围18（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F到准线的距离为2，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点（1）求抛物线C的方程；（2）求OAB面积19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且BAPCDP90（1）证明：平面PDC平面PAD；（2）若PAPDAB2，APD60，求四棱锥PABCD的体积20（12分）已知直线l：axy3a+10恒过定点P，过点P引圆C：（x1）2+y24的两条切线，设切点分别为A，B
7、（1）求直线AB的一般式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程21（12分）已知椭圆C：的短半轴长为1，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程22（12分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有零点，求a的取值范围2019-2020学年山西省高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）命题“x0（1，+），”的否定是（）Ax0（1，+），Bx0（1，+），Cx（1，+），Dx（1
8、，+），【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“x0（1，+），”的否定是：x（1，+），故选：C【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2（5分）已知直线l过点（2，1），且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A2x+y+30B2x+y30Cx2y40Dx2y+60【分析】根据已知条件先求出直线的斜率，然后根据直线方程的斜截式即可求解【解答】解：由题意直线过（2，1），（0，3），故直线的斜率k2，故直线的方程为y2x+3即2x+y30故选：B【点评】本题主要考查了直线方程的求解，属于基础试题
9、3（5分）函数f（x）+1在区间0，3的最小值是（）A0B2CD1【分析】先对函数求导，然后结合到可判断函数的单调性，进而可求函数的最小值【解答】解：f（x）x22xx（x2），当2x3时，f（x）0，函数单调递增，当0x2时，f（x）0，函数单调递减，故当x2时函数取得最小值，故选：C【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的最值，属于基础试题4（5分）刘徽注九章商功曰：“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫以微术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状
10、各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）A60B63C84D126【分析】根据三视图知该几何体是四棱台，结合图中数据求出四棱台的体积即可【解答】解：根据三视图知该几何体是四棱台，如图所示，则该四棱台的体积是：V四棱台h（S+S+）4（32+62+）84故选：C【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积问题，是基础题5（5分）抛物线C：y22px的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A（4，0）B（4，0）C（0，4）D（0，4）【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的左焦点坐标，可得p
11、，进而得到所求抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线C：y22px的准线x经过双曲线的左焦点（4，0），可得4，即p8，可得抛物线的焦点坐标为（4，0），故选：A【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（5分）若函数f（x）2x33mx2+6x存在极值点，则m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（，22，+）C（2，2）D2，2【分析】求出函数的导数，利用函数在R上有极值点转化为导函数有根，再转化为两个函数图象有交点，解出即可【解答】解：函数f（x）2x33mx2+6x，f（x）6x26mx+6；f（x）2x33mx2+6x存在极值点f（x）6x26mx+
12、60有两个不同解，m240，解得m2或m2故选：A【点评】本题考查函数的求导，以及极值与导函数的关系，综合考查了函数的应用，是一道基础题7（5分）设aR，则“a1”是“直线ax+y+a+10与直线x+ay+a0平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先利用两直线平行求出a的值，再结合充分必要条件的定义，从而求出答案【解答】解：直线ax+y+a+10与直线x+ay+a0平行，直线斜率都存在且相等，解得：a1，“a1”是“a1“的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线位置关系，是一道基础题8（5分）设m，n是两条不同的直线，
13、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A若，则B若，m，则mC若ma，n，则mnD若，m，n，则mn【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案【解答】解：由，得或与相交，故A错误；由，m，得m或m或m与相交，故B错误；由m，n，得mn或m与n异面，故C错误；由，m，n，利用平面与平面平行的性质可得mn，故D正确故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，是中档题9（5分）若圆1关于直线l：xy+m0对称，l1：xy+40，则l与l1间的距离是（）A1B2CD3【分析】由圆的方
14、程求得圆心坐标，代入直线l求得m值，则直线l的方程可求，再由两平行线间的距离公式求l与l1间的距离【解答】解：圆1的圆心坐标为（，0），圆1关于直线l：xy+m0对称，圆心（，0）在直线l：xy+m0上，则m直线l：xy+0，又l1：xy+40，由两平行线间的距离公式可得l与l1间的距离是d故选：D【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两平行线间的距离公式，是中档题10（5分）九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑在鳌臑PABC中，PA平面ABC，PA4，ABBC2，鳌臑PABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是
15、（）A16B20C24D64【分析】根据题意，把鳌臑PABC补成一个长方体，则长方体的外接球即是鳌臑PABC的外接球，从而求出鳌臑PABC的外接球半径为R，再利用球的体积公式即可求出结果【解答】解：把鳌臑PABC补成一个长方体，如图所示：则长方体的外接球即是鳌臑PABC的外接球，又PA4，ABBC2，长方体的外接球半径R，鳌臑PABC的外接球半径为R，则该球的表面积是4R224，故选：C【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，是基础题11（5分）设函数f（x）是奇函数yf（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，
16、1）B（0，1）（1，+）C（，1）（1，0）D（1，0）（1，+）【分析】由已知当x0时总有xf（x）+f（x）0成立，可判断函数g（x）为增函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，分类讨论即可求出【解答】解：设g（x）xf（x），则g（x）的导数为：g（x）f（x）+xf（x）当x0时，xf（x）+f（x）0，即当x0时，g（x）恒大于0，当x0时，函数g（x）为增函数，f（x）为奇函数函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）1f（1）0，f（x）0，当x0
17、时，g（x）0，当x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0g（1），当x0时，g（x）0g（1），x1或1x0故使得f（x）0成立的x的取值范围是（1，0）（1，+），故选：D【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过左焦点F1引渐近线的垂线，垂足为P，PF1F2的面积是2，则双曲线C的方程为（）ABCD【分析】设出渐近线方程，结合直线垂直关系求出垂线方程，以及交点纵坐标，结合三角形的面积公式和离心率关系进行求解即可【解答】解：设渐近线方程为yx，则过F1引渐近线的垂线斜率为，对应
18、方程为y（x+c），由，消去x得y，即P点的纵坐标为y，则，PF1F2的面积S2cab2，e，则1+5，则4，得b2a，代入ab2得2a22，得a21，b24，则双曲线方程为x21，故选：B【点评】本题主要考查双曲线方程的求解，结合条件求出垂线方程以及结合三角形的面积公式离心率公式建立方程是解决本题的关键难度不大二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知f（x）xsinx+2，则yf（x）在点处的切线方程为_xy+20【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x处的导数，再求出f（），利用直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）xsinx+2，得f（x）sinx+xsin
19、x，又f（），yf（x）在点处的切线方程为y1（x），即xy+20故答案为：xy+20【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题14（5分）以（1，2）为圆心，且与圆C：（x3）2+（y+1）29外切的圆的标准方程是（x+1）2+（y2）24【分析】设以（1，2）为圆心的圆的方程为（x+1）2+（y2）2r2，（r0），求得已知圆的圆心和半径，由相外切的条件：圆心的距离为半径之和，解方程可得所求【解答】解：设以（1，2）为圆心的圆的方程为（x+1）2+（y2）2r2，（r0），由圆C：（x3）2+（y+1）29的圆心C（3，1），半径为3，且两圆外切可得53+r，解得r2，
20、则所求圆的标准方程为（x+1）2+（y2）24，故答案为：（x+1）2+（y2）24【点评】本题考查圆的方程的求法，考查两圆相外切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题15（5分）倾斜角是45，且过点（1，4）的直线l交圆C：x2+y22y30于A，B两点，则直线l的一般式方程xy+30，|AB|【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线方程的点斜式写出直线方程，进一步化为一般方程化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求弦长【解答】解：直线l的斜率ktan451，又直线l过点（1，4），直线l的方程为y41（x1），化为一般方
21、程，即xy+30化圆C：x2+y22y30为x2+（y1）24，则圆心坐标为C（0，1），半径为2圆心C（0，1）到直线xy+30的距离d|AB|故答案为：xy+30；【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题16（5分）给出下列命题：（1）若函数在（1，+）上是减函数，则m1；（2）直线yk（x2）与线段AB相交，其中A（1，1），B（4，2），则k的取值范围是1，1；（3）点P（1，0）关于直线2xy+10的对称点为P0，则P0的坐标为；（4）直线yx1与抛物线y24x交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线x1相切其中正确的命题有（
22、3）（4）（把所有正确的命题的序号都填上）【分析】利用函数单调性与导函数符号间的关系求解m的范围判断（1）；画出图形，数形结合判断（2）；直接求出点关于直线的对称点判断（3）；由抛物线的性质判断（4）【解答】解：对于（1），函数在（1，+）上是减函数，f（x）x+0在（1，+）上恒成立，即mx2在（1，+）上恒成立，当x（1，+）时，x21，则m1，故（1）错误；对于（2），直线yk（x2）过定点P（2，0），A（1，1），B（4，2），如图，kPA1，kPB1，若直线yk（x2）与线段AB相交，则k的取值范围是（，11，+），故（2）错误；对于（3），设P0（x0，y0），由，解得，则P0的
23、坐标为，故（3）正确；对于（4），抛物线y24x的焦点坐标为F（1，0），直线yx1过抛物线的焦点，而直线x1是抛物线的准线，由以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切可知（4）正确其中正确的命题有（3）（4）故答案为：（3）（4）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）命题p：直线l：3x4ym0与圆C：（x1）2+y21相交，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围【分析】（1）根据直线与圆相交的性质即可求出
24、p为真时的m的范围，（2）结合椭圆的性质可求q为真时m的范围，由pq为真可知p真q假，即可求解【解答】解：（1）因为直线l：3x4ym0与圆C：（x1）2+y20相交，所以，解得2m8，即m的取值范围为（2，8）（2）椭圆焦点在x轴上，所以，2m5，pq为真，p真q假2m2或5m8所以m的取值范围为（2，25，8）【点评】本真以命题的真假关系为载体，主要考查了直线与圆相交的性质及椭圆性质的简单应用，属于中档试题18（12分）已知抛物线C：y22px（p0）的焦点F到准线的距离为2，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点（1）求抛物线C的方程；（2）求OAB面积【分析】（1）由抛物线方程
25、写出焦点坐标及准线方程，求出焦点F到准线的距离，由题意求出p的值，即求出抛物线的方程；（2）由（1）及椭圆写出直线l的方程与抛物线联立求出两根之和，进而由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出弦长AB的值，再求O到直线l的距离，代入面积公式求出面积【解答】解：（1）由题意可知抛物线的焦点F（，0），准线方程为：x，又焦点F到准线的距离为2，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x（2）由（1）得焦点F（1，0），所以由题意得直线l的方程为yx1，设直线k与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与抛物线的方程整理得：x26x+10x1+x26|AB|x1+x2+28点O到直线
26、l的距离，所以【点评】考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，且BAPCDP90（1）证明：平面PDC平面PAD；（2）若PAPDAB2，APD60，求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）推导出ABCD，ABAP，CDDP，CDAP，从而CD平面PAD由此能证明平面PDC平面PAD（2）取AD的中点O，连接PO，推导出POAD，CDPO，CDAD，从而四边形ABCD为正方形PO平面ABCD，由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD又BAPCDP90，即ABAP，
27、CDDP，CDAP，DP平面PAD，AP平面PAD，从而CD平面PAD又CD平面PCD，平面PDC平面PAD（2）解：如图，取AD的中点O，连接PO，PAPD2，APD60，POAD，又CD平面PAD，PO平面PAD，AD平面PAD，CDPO，CDAD，四边形ABCD为正方形又POAD，PO平面ABCD，四棱锥PABCD的体积：【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知直线l：axy3a+10恒过定点P，过点P引圆C：（x1）2+y24的两条切线，设切点分别为A，B（1）求直线AB的一般
28、式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程【分析】（1）先把直线l的方程化为点斜式，即可求解P，根据直线与圆相切的性质可求切线方程，（2）由题意可知四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，根据两点间距离公式可求半径，由中点坐标公式可求圆心，即可求解【解答】解：（1）直线l：y1a（x3）直线l恒过定点P（3，1）由题意可知直线x3是其中一条切线，且切点为A（3，0）由圆的性质可知ABPC，kAB2，所以直线AB的方程为y2（x3），即2x+y60（2）由题意知PAAC，PBBC，所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆，PC的中点坐标为，所以四边形PACB的外接圆为（x2）2+（y
29、）2【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用及圆的方程的确定，解题的关键是灵活利用基本知识21（12分）已知椭圆C：的短半轴长为1，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程【分析】（1）由椭圆的性质，可知求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线的斜率k，求得直线方程【解答】解：（1）由题意得b1又因为，a2b2+c2，所以，所以椭圆C的方程为当（2）当直线l与x轴垂直时，直线l：x1，得，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk（x
30、1），A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l的方程代入，得（2k2+1）x24k2x+2k220，则，所以故直线l的方程为或【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题22（12分）已知函数（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有零点，求a的取值范围【分析】（1）先求解函数的定义域，再对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解，（2）结合导数判断函数的单调性，然后结合零点判定定理可求【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0+）当a1时，所以，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）（2）f（x）的定义域为（0，+），（i）若a0时，f（1）0，f（x）在有零点（ii）若a0时，则当x（0，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增，取，所以f（x）在（x0，1）有零点（iii）若a0时，当时，f（x）0当时，f（x）0，故f（x）在上单调递增，在上单调递减此时取，则，只需满足即可，令，即g（x）在（0，+）单调递增，且g（1）0所以要保证g（x）0，只需满足x1故只需满足，即1a0综上所述a的取值范围是1，+）【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，还考查了函数的零点判定定理的应用，属于中档试题
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