1、2019-2020学年山西省阳泉市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）命题p：xR，均有x20，则p为（）Ax0R，使得x20BxR，均有x20Cx0R，使得x020DxR，均有x202（3分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若|PF|5，则点P的横坐标是（）A4B1C4D4或43（3分）已知向量（0，3，3）和（1，1，0）分别是直线l和m的方向向量，则直线l与m所成的角为（）ABCD4（3分）“m0”是“方程表示双曲线”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条
2、件C充要条件D既不充分也不必要条件5（3分）如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则等于（）ABCD6（3分）与命题“若实数xy，则cosxcosy”等价的命题是（）A若实数xy，则cosxcosyB若cosxcosy，则实数xyC若cosxcosy，则实数xyD若实数xy，则cosxcosy7（3分）若直线l：xy10与椭圆C：交于A、B两点，则|AB|（）ABCD8（3分）若命题“x0，3，都有x22xm0“是假命题，则实数m的取值范围是（）A（，3B1，+）C1，3D3，+）9（3分）正确使用远光灯对于夜间行车很重要已知某家用汽车远光灯（如图）的纵断面是抛物线的一部分
3、，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20cm，灯深10cm，则光源到反光镜顶点的距离是（）A2.5 cmB3.5 cmC4.5cmD5.5cm （第9题图）10（3分）已知双曲线的渐近线与抛物线E：y22px（p0）的准线分别交于A、B两点，若抛物线的焦点为F，且FAFB，则双曲线C的离心率为（）ABC2D二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）已知直线l的一个方向向量为（4，2，2），平面的一个法向量为（1，1，t），若l，则实数t的值是 12（3分）已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F（0，1），离心率为，则该椭圆的方程是 13（3分）在“数学发
4、展史”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测：甲说：我的成绩比乙高；乙说：丙的成绩比我和甲的都高；丙说：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是 14（3分）已知空间四点A（2，1，1）、B（1，2，3）、C（0，2，1）、D（1，0，）在同一平面内，则实数 15（3分）已知焦点为F的抛物线C：y24x的准线是直线l，若点A（0，3），点P为抛物线C上一点，且PMl于M，则|PM|+|PA|的最小值为 16（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 17（3分）设F1、F2是双曲线C：的两个焦点，P为双曲线
5、C上一点，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为 18（3分）已知命题p：方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题q：已知椭圆E：，过点的直线与椭圆E相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为9x+y50则下列四个命题pq；pq；p（q）；（p）q中，是真命题的是 （只写出序号）三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）求与椭圆 有公共焦点，且离心率是的双曲线方程，并求其渐近线方程20（8分）设集合Sx|axa+1，Tx|（x+1）（x2）0，且命题p：xS，q：xT，若命题q是p的必要且不充分条件，求实数a的取值范围
6、21（10分）已知向量（2，4，2），（1，0，2），（x，2，1）（1）若，求|；（2）若，求（）（2+）的值22（10分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ADBC，侧棱SA平面ABCD，且SAABBC2AD2（1）求证：平面SBC平面SAB；（2）求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值23（10分）已知圆M：和点N（，0），Q为圆上的动点，线段NQ的垂直平分线交MQ于点P，记点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设过点A（0，2）的直线l与E相交于B、C两点，当OBC的面积最大时，求直线l的方程2019-2020学年山西省阳泉市高二（上）期末数学试
7、卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）命题p：xR，均有x20，则p为（）Ax0R，使得x20BxR，均有x20Cx0R，使得x020DxR，均有x20【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：xR，均有x20，则p为：x0R，使得x020故选：C【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题2（3分）已知抛物线C：x24y的焦点为F，点P是抛物线C上一点，若|PF|5，则点P的横坐标是（）A4B1C4D4或4【
8、分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|5，则P到准线的距离也为5，即y+15，将p的值代入，进而求出x【解答】解：抛物线x24y2py，p2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，|PF|y+15，y4，代入抛物线方程可得x4故选：D【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法抛物线上的点到焦点的距离叫焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解3（3分）已知向量（0，3，3）和（1，1，0）分别是直线l和m的方向向量，则直线l与m所成的角为（）ABCD【分析】求出cos，由此能求出直线l与m所成的角【解答】解
9、：向量（0，3，3）和（1，1，0）分别是直线l和m的方向向量，cos，直线l与m所成的角为故选：C【点评】本题考查两直线的夹角的求法，考查向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（3分）“m0”是“方程表示双曲线”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】方程表示双曲线m（m3）0，解出即可判断出结论【解答】解：方程表示双曲线m（m3）00m3“m0”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了双曲线的标准方程、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（3分）如图，在四面体OABC中，D是B
10、C的中点，G是AD的中点，则等于（）ABCD【分析】在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，可得（+），（）即可得出【解答】解：在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则（+），（）+故选：C【点评】本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（3分）与命题“若实数xy，则cosxcosy”等价的命题是（）A若实数xy，则cosxcosyB若cosxcosy，则实数xyC若cosxcosy，则实数xyD若实数xy，则cosxcosy【分析】根据原命题与逆否命题互为等价命题进行转化求解即可【解答】解：与命题等价的命题是命题的逆
11、否命题，即若cosxcosy，则实数xy，故选：B【点评】本题主要考查四种命题的关系，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键，比较基础7（3分）若直线l：xy10与椭圆C：交于A、B两点，则|AB|（）ABCD【分析】本题先联立直线l与椭圆C方程，消去y，整理可得一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2，x1x2然后根据弦长公式|AB|即可计算出结果【解答】解：由题意，联立，消去y，整理得3x22x10则x1+x2，x1x2|AB|故选：D【点评】本题主要考查直线与椭圆综合的问题，考查了方程思想的应用，韦达定理，弦长公式的应用本题属中档题8（3分）若命题“x0，3，都有x22xm0“是假命题，则实
12、数m的取值范围是（）A（，3B1，+）C1，3D3，+）【分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果【解答】解：命题“x0，3，都有x22xm0“是假命题，则命题“x0，3，都有x22xm0“是真命题，故mx22x（x1）21由于x0，3，所以m1，3故选：C【点评】本题考查的知识要点：命题的否定的应用，一元二次方程的根的存在性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9（3分）正确使用远光灯对于夜间行车很重要已知某家用汽车远光灯（如图）的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是20cm，灯深10cm，则光源到反光镜顶点的距离是（）A2.5
13、 cmB3.5 cmC4.5cmD5.5cm （第9题图）【分析】根据条件设出对应抛物线的标准方程，根据条件知抛物线过点（10，10），求出p的值即可【解答】解：设对应抛物线的标准方程为y22px，由题意知抛物线过点（10，10），得1002p10，得p5，则2.5，即焦点坐标为（2.5，0），则光源到反光镜顶点的距离是2.5，故选：A【点评】本题主要考查抛物线性质的应用，根据条件求出对应抛物线方程是解决本题的关键，难度中等10（3分）已知双曲线的渐近线与抛物线E：y22px（p0）的准线分别交于A、B两点，若抛物线的焦点为F，且FAFB，则双曲线C的离心率为（）ABC2D【分析】求得抛物线的
14、焦点和准线方程，求得双曲线的渐近线方程，以及A，B的坐标，运用向量的坐标表示，以及双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：解：抛物线y22px（p0）的焦点F（ ，0），准线方程为x，双曲线的近线方程为yx，由题意可得A（，），B（，），FAFB，可得0，可得（p，）（p，）0，即为p20，可得b2a，ca，则e故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点和准线方程，以及向量的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11（3分）已知直线l的一个方向向量为（4，2，2），平面的一个法向量为
15、（1，1，t），若l，则实数t的值是1【分析】由l，可得0【解答】解：l，则4+22t0，解得t1故答案为：1【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（3分）已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F（0，1），离心率为，则该椭圆的方程是+1【分析】本题根据一个焦点的坐标可知椭圆E的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程设为+1（ab0）然后根据c1，e，可计算出a2，b2的值，即可得到该椭圆的方程【解答】解：根据题意椭圆E的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程设为+1（ab0），c1，e，a2，a24，b2a2c2413该椭圆的方程为
16、+1故答案为：+1【点评】本题主要考查椭圆的基础知识，根据定义求出椭圆的标准方程本题属基础题13（3分）在“数学发展史”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测：甲说：我的成绩比乙高；乙说：丙的成绩比我和甲的都高；丙说：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中预测正确的是甲【分析】假设甲预测正确，则乙的预测和丙的预测都错误，此时甲、乙、丙三人成绩由高到低为甲乙丙；假设乙预测正确，则丙的预测也正确；假设丙预测正确，若甲的预测错误，则乙的预测正确由此能求出结果【解答】解：假设甲预测正确，则乙的预测和丙的预测都错误，此时甲、乙、丙三人对成绩由高到低为甲乙丙，满足题意
17、；假设乙预测正确，则丙的预测也正确，不满足题意；假设丙预测正确，若甲的预测错误，则乙的预测正确，不满足题意综上，三人中预测正确的是甲故答案为：甲【点评】本题考查谁预测正确的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（3分）已知空间四点A（2，1，1）、B（1，2，3）、C（0，2，1）、D（1，0，）在同一平面内，则实数【分析】由空间四点A（2，1，1）、B（1，2，3）、C（0，2，1）、D（1，0，）在同一平面内，得到，由此能求出实数的值【解答】解：空间四点A（2，1，1）、B（1，2，3）、C（0，2，1）、D（1，0，）在同一平面内，即（1，1，1）m（1，3，
18、2）+n（2，3，0）（m2n，3m+3n，2m），解得m，n，实数故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（3分）已知焦点为F的抛物线C：y24x的准线是直线l，若点A（0，3），点P为抛物线C上一点，且PMl于M，则|PM|+|PA|的最小值为【分析】利用抛物线的定义，转化求解|PM|+|PA|的最小值即可【解答】解：焦点为F的抛物线C：y24x的准线是直线l，若点A（0，3），F（1，0）点P为抛物线C上一点，且PMl于M，可得PMPF，|PM|+|PA|的最小值为|PF|故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本
19、知识的考查，基础题16（3分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1D1和平面ACD1所成角的正弦值【解答】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），（1，0，0），（1，1，0），（1，0，1），设平面ACD1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设A1D1和平面ACD1所成角为，则sin
20、A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为故答案为：【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17（3分）设F1、F2是双曲线C：的两个焦点，P为双曲线C上一点，若PF1F2是直角三角形，则PF1F2的面积为4或【分析】由已知条件，判断直角三角形的顶点，结合双曲线的简单性质转化求解三角形的面积即可【解答】解：F1，F2是双曲线C：的两个焦点，P是双曲线C上一点，如果PF1F290，PF1F2的面积为：如果F1PF290，可得PF1F2的面积为9，解得|PF1|PF2|8，PF1F2的面积：4故答案为：4或【点评】本题考查双曲线
21、的简单性质的应用，是中档题，解题时要值域直角三角形的直角顶点的位置18（3分）已知命题p：方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题q：已知椭圆E：，过点的直线与椭圆E相交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为9x+y50则下列四个命题pq；pq；p（q）；（p）q中，是真命题的是（只写出序号）【分析】由题意可判断p为假命题，结合点差法克判断q为真命题，然后结合复合命题的真假关系即可判断【解答】解：原方程可转化为或x1；则方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线，p为真命题；设A（x1，y1 ），B（x2，y2），由点差法可知，两式相减可得，9（x1x2）（x1+x2）+（y1y
22、2） （y1+y2）0，因为x1+x21，y1+y21，所以斜率k9，故直线方程为y9（x）即9x+y50，即q为真命题；根据复合命题的真假关系可得pq为真命题，pq为真命题，p（q）为假命题，（p）q为真命题，故答案为：【点评】本题主要考查了圆锥曲线的定义及性质尤其是点差法的应用，还考查了复合命题的真假关系的应用三、解答题（本大题共5个小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（8分）求与椭圆 有公共焦点，且离心率是的双曲线方程，并求其渐近线方程【分析】先求出双曲线的几何量，可得双曲线的标准方程，即可求其渐近线方程【解答】解：椭圆 中c5，双曲线与椭圆 有公共焦点，且离心率
23、是c5，a4，b225169双曲线方程为：其渐近线方程为：【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题20（8分）设集合Sx|axa+1，Tx|（x+1）（x2）0，且命题p：xS，q：xT，若命题q是p的必要且不充分条件，求实数a的取值范围【分析】T（1，2），可得q：x（，12，+）根据命题p：xS，q：xT，若命题q是p的必要且不充分条件，即可得出【解答】解：Tx|（x+1）（x2）0（1，2），q：x（，12，+）命题p：xS，q：xT，若命题q是p的必要且不充分条件，a+11，或a2解得：a2，或a2实数a的取值范围是a2，或a2【点评】本题考查了简易逻辑的
24、判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题21（10分）已知向量（2，4，2），（1，0，2），（x，2，1）（1）若，求|；（2）若，求（）（2+）的值【分析】（1）由，可得存在实数k使得k，可得：，解得x；（2），可得x+020，解得x可得，（）（2+）【解答】解：（1），存在实数k使得k，可得：，解得x1|；（2），x+020，解得x2（2，2，1）（）（2+）（4，2，1）（4，2，3）16+4315【点评】本题考查了空间向量坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题22（10分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABAD，A
25、DBC，侧棱SA平面ABCD，且SAABBC2AD2（1）求证：平面SBC平面SAB；（2）求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立如图空间直角坐标系，求出平面SDC的一个法向量，平面SAB的法向量为，利用法向量的夹角公式求出即可【解答】解：（1）证明：侧棱SA平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCSA，由ADBC，ADAB，所以BCAB，ABSAA，故BC平面ABS，由BC平面SBC，故平面SBC平面SAB；（2）如图，以A为原点，BA为x轴，AD为y轴，AS为z轴，则A（0，0，0），S（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2
26、，0），D（0，1，0），设平面SDC的一个法向量为，则，x1，y2，z1，故平面SAB的法向量为，由cos，所以CD与平面SAB所成二面角的余弦值【点评】考查面面垂直的判定，向量法求二面角的余弦值，中档题23（10分）已知圆M：和点N（，0），Q为圆上的动点，线段NQ的垂直平分线交MQ于点P，记点P的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设过点A（0，2）的直线l与E相交于B、C两点，当OBC的面积最大时，求直线l的方程【分析】（1）椭圆与可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，从而求出曲线E的方程；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykx+2，与椭圆方程联立，利用
27、求根公式求出|BC|，再利用点到直线距离公式求出d，表达出三角形OBC的面积，再结合基本不等式即可求出结果【解答】解：由题意可得：|PM|+|PN|PM|+|PQ|MQ|4|MN|2，由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且2a4，c，b2a2c21，曲线E的方程为：；（2）由题意可知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：ykx+2，联立方程，消去y得：（1+4k2）x2+16kx+120，设点B（x1，y1），C（x2，y2），（16k）24（1+4k2）1264k2180，又原点到直线l的距离d，SOBC，设t，当且仅当即t2时，面积最大，最大值为1，满足0，直线l的方程为：yx+2【点评】本题主要考查了定义法求动点轨迹方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题
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