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    2020山东菏泽中考数学精准大二轮复习专题四:几何综合题

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    2020山东菏泽中考数学精准大二轮复习专题四:几何综合题

    1、专题四几何综合题类型一 几何动点问题 (2017菏泽)正方形ABCD的边长为6 cm,点E、M分别是线段BD、AD上的动点,连接AE并延长,交边BC于F,过M作MNAF,垂足为H,交边AB于点N.(1)如图1,若点M与点D重合,求证:AFMN;(2)如图2,若点M从点D出发,以1 cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以 cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为t s.BFy cm,求y关于t的函数表达式;当BN2AN时,连接FN,求FN的长【分析】(1)根据正方形的性质得到ADAB,BAD90,由垂直的定义得到AHM90,由余角的性质得到BAFAMH,根据全等三角形的性质即可

    2、得到结论;(2)根据勾股定理得到BD6,由题意得,DMt,BEt,求得AM6t,DE6t,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;根据已知条件得到AN2,BN4,根据相似三角形的性质得到BF,由求得BF,得方程,于是得到结论【自主解答】 1(2019吉林)如图,在矩形ABCD中,AD4 cm,AB3 cm,E为边BC上一点,BEAB,连接AE.动点P、Q从点A同时出发,点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动,点Q以2 cm/s的速度沿折线ADDC向终点C运动设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2)(1)AE cm,EAD ;(2)求

    3、y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)当PQ cm时,直接写出x的值2(2019北京)已知AOB30,H为射线OA上一定点,OH1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:OMPOPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M,总有ONQP,并证明3(2019长春)如图,在RtABC中,C90,AC20,BC15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长

    4、度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动当点P不与点A、C重合时,过点P作PNAB于点N,连接PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒(1)AB的长为 ;PN的长用含t的代数式表示为 ;(2)当PQMN为矩形时,求t的值;(3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式;(4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时,直接写出t的值4(2019青岛)已知:如图,在四边形ABCD中,ABCD,ACB90,AB10 cm,BC8 cm,OD垂直平分AC.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s;同

    5、时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1 cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动过点P作PEAB,交BC于点E,过点Q作QFAC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0t5),解答下列问题:(1)当t为何值时,点E在BAC的平分线上?(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OEOQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由类型二 图形的旋转问题 (2019菏

    6、泽)如图,ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BACDAE90.(1)如图1,连接BE,CD,BE的廷长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BPCD;(2)如图2,把ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC6,AD3,求PDE的面积【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到ADAE,ABAC,BACEAFEADEAF,求得BAEDAC,根据全等三角形的性质得到ABEACD,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到ABEACD,BECD,求得EPD90,得到DE3,AB6,求得BD633,CD3,根据相似三角形的性质得

    7、到PD,PB根据三角形的面积公式即可得到结论【自主解答】 1(2019潍坊)如图1,菱形ABCD的顶点A,D在直线l上,BAD60,以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转(030),得到菱形ABCD,BC交对角线AC于点M,CD交直线l于点N,连接MN.(1)当MNBD时,求的大小;(2)如图2,对角线BD交AC于点H,交直线l于点G,延长CB交AB于点E,连接EH.当HEB的周长为2时,求菱形ABCD的周长2(2019福建)在RtABC中,ABC90,ACB30,将ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到DEC,点A、B的对应点分别是D、E.(1)当点E恰好在AC上时,如图1,求ADE的大小;

    8、(2)若60时,点F是边AC中点,如图2,求证:四边形BEDF是平行四边形3(2019郓城县模拟)在ABC中,C90,ACBC,点D在射线BC上(不与点B、C重合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90得到DE,连接BE.(1)如图1,点D在BC边上依题意补全图1;作DFBC交AB于点F,若AC8,DF3,求BE的长;(2)如图2,点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB、BD、BE之间的数量关系(直接写出结论)4(2019东营)如图1,在RtABC中,B90,AB4,BC2,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为.(1)问题发现当0时, ;当1

    9、80时, (2)拓展探究试判断:当0360时,的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明(3)问题解决CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时,求线段BD的长类型三 图形的折叠 (2019滨州)如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FGCD交BE于点G,连接CG.(1)求证:四边形CEFG是菱形;(2)若AB6,AD10,求四边形CEFG的面积【分析】(1)根据题意和翻折的性质,可以得到BCEBFE,再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立;(2)根据题意和勾股定理,可以求得AF的长,进而求得EF和DF的值,从而可

    10、以得到四边形CEFG的面积【自主解答】1(2019临沂)如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点(与D、C不重合),连接AE,将ADE沿AE所在直线折叠得到AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GHAG,与AE的延长线交于点H,连接CH.显然AE是DAF的平分线,EA是DEF的平分线仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180的角的平分线),并说明理由2(2019原创)将如图1所示的长方形纸条ABCD进行折叠,折痕与AB交于M,与CD交于N,得到四边形BCNM(如图2),BM与CD相交于K.已知AD1,AB5.发现(1)若NMB70,求MKN的度数;(2)证明:KNM是等腰三角

    11、形;探究(1)当MNK的面积最小时,求此时MNK的面积,并直接写出此时NMB的度数;(2)当KN为何值时,MNK的面积最大3如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.(1)求证:APBBPH;(2)求证:APHCPH;(3)当AP1时,求PH的长类型四 图形的平移 (2017扬州)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由;(2)在ABC中,B90,AB24,cosBA

    12、C,求CB的长【分析】(1)根据平行四边形的判定定理(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)知四边形ACCA是平行四边形再根据对角线平分对角的平行四边形是菱形知四边形ACCA是菱形(2)通过解直角ABC得到AC,BC的长度,由(1)中菱形ACCA的性质推知ACAA,由平移的性质得四边形ABBA是平行四边形,则AABB,所以CBBBBC.【自主解答】 1如图1,BD是矩形ABCD的对角线,ABD30,AD1,将BCD沿射线BD方向平移到BCD的位置,使B为BD中点,连接AB,CD,AD,BC,如图2.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)求四边形ABCD的周长;(3)将四边形ABCD沿它的

    13、两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形周长2如图,在平面直角坐标系中,AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),点C为边AB的中点,正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE.(1)线段OC的长为 ;(2)求证:CBDCOE;(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1,其中点O,B,D,E的对应点分别为点O1,B1,D1,E1,连接CD1,CE1,设点E1的坐标为(a,0),其中a2,CD1E1的面积为S.当1a2时,请直接写出S与a之间的函数表达式;在平移过程中,当S时,请直

    14、接写出a的值参考答案类型一几何动点问题【例1】 (1)证明:四边形ABCD 是正方形,ADAB,BAD90,MNAF,AHM90,BAFMAHMAHAMH90,BAFAMH,在AMN与ABF中,AMNABF,AFMN;(2)解:ABAD6,BD6,由题意得,DMt,BEt,AM6t,DE6t,ADBC,ADEFBE,即,y;BN2AN,AN2,BN4,由(1)证得BAFAMN,ABFMAN90,ABFMAN,即,BF,由求得BF,t2,BF3,FN5 cm.跟踪训练1解:(1)AB3,BEAB3,AE3,BAEBEA45.BAD90,EAD45.故答案为:3,45.(2)当0x2时,如图,过点

    15、P作PFAD于点F,APx,DAE45,PFAD,PFxAF,ySPQAAQPFx2;当2x3时,如图,过点P作PFAD于点F,PFAFx,DF4x.QD2x4,yx2(2x4x)(4x)x28x8;当3x时,如图,点P与点E重合,CQ(34)2x72x,CE431,y(14)3(72x)1x4.(3)当0x2时,如图,QFAFx,PFAD,PQAP,PQ,x,x;当23(不合题意,舍去);当3x时,如图,PQ2CP2CQ2,1(72x)2,x(x舍去)综上所述:x或.2(1)解:如图1所示为所求(2)证明:设OPM,线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PN,MPN150,PMPN,OPNM

    16、PNOPM150.AOB30,OMP180AOBOPM18030150,OMPOPN.(3)解:OP2时,总有ONQP,证明如下:过点N作NCOB于点C,过点P作PDOA于点D,如图2,NCPPDMPDQ90.AOB30,OP2,PDOP1,OD.OH1,DHOHOD1.OMPOPN,180OMP180OPN,即PMDNPC.在PDM与NCP中,PDMNCP(AAS),PDNC,DMCP.设DMCPx,则OCOPPC2x,MHMDDHx1.点M关于点H的对称点为Q,HQMHx1,DQDHHQ1x12x,OCDQ.在OCN与QDP中,OCNQDP(SAS),ONQP.3解:(1)在RtABC中,

    17、C90,AC20,BC15,AB25.sinCAB,由题可知AP5t,PNAPsinCAB5t3t.故答案为:25;3t.(2)当PQMN为矩形时,NPQ90,PNAB,PQAB,.由题意可知APCQ5t,CP205t,解得t,即当PQMN为矩形时,t.(3)当PQMN与ABC重叠部分图形为四边形时,有两种情况:.如图1所示,PQMN在三角形内部时,延长QM交AB于点G,由(1)可知,cos Asin B,cos B,AP5t,BQ155t,QMPN3t.ANAPcos A4t,BGBQcos B93t,QGBQsin B124t,PQMN在三角形内部时,有0QMQG,0t.03t124t,N

    18、G254t(93t)16t,当0t时,PQMN与ABC重叠部分图形为PQMN,S与t之间的函数关系式为SPNNG3t(16t)3t248t.如图2所示,当0QGQM,PQMN与ABC重叠部分图形为梯形PQGN时,0124t3t,解得t3,PQMN与ABC重叠部分的图形的面积为SNG(PNQG)(16t)(3t124t)t214t96.综上所述:当0t时,S3t248t;当t3时,St214t96.(4)当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边的中点时,有两种情况:.如图3,PRBC,PR与AB交于点K,R为MN的中点,过点R作RHAB,PKNHKRB,NK.NRMR,HRPNQM,NHGH(

    19、16t),HRGM.GMQMQG3t(124t)7t12,HRGM(7t12)KH(7t12)(7t12)NKKHNH,t(7t12)(16t),解得t;.如图4,PRBC,PR与AB交于点K,R为MQ的中点,过点Q作QHPR,HPNAQRH,四边形PCQH为矩形,HQQRsinQRH.PC205t,205t,解得t.综上所述,当t或时,过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边的中点4解:(1)在RtABC中,ACB90,AB10 cm,BC8 cm,AC6(cm)OD垂直平分线段AC,OCOA3(cm),DOC90.CDAB,BACDCO.DOCACB,DOCBCA,CD5(cm),OD4(

    20、cm),PBt,PEAB,易知:PEt,BEt,当点E在BAC的平分线上时,EPAB,ECAC,PEEC,t8t,t4.当t为4秒时,点E在BAC的平分线上(2)如图,连接OE,PC.S四边形OPEGSOEGSOPESOEG(SOPCSPCESOEC)(4t)33(8t)(8t)t(8t)t2t6(0t5)(3)存在S(t)2(0t5),t时,四边形OPEG的面积最大,最大值为.(4)存在,如图,连接OQ.OEOQ,EOCQOC90.QOCQOG90,EOCQOG,tanEOCtanQOG,整理得:5t266t1600,解得t或10(舍弃)当t秒时,OEOQ.类型二图形的旋转问题【例2】 (1

    21、)证明:ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,BACDAE90.ADAE,ABAC,BACEAFEADEAF,即BAEDAC.在ABE与ADC中,ABEADC(SAS),ABEACD.ABEAFBABECFP90,CPF90,BPCD.(2)解:在ABE与ACD中,ABEACD(SAS),ABEACD,BECD.PDBADC,BPDCAB90,EPD90.BC6,AD3,DE3,AB6,BD633,CD3.BDPCDA,PD,PB,PE3,PDE的面积.跟踪训练1解:(1)四边形ABCD是菱形,ABBCCDAD.BADBCD60,ABD,BCD是等边三角形MNBD,CMNCBD60,CN

    22、MCDB60,CMN是等边三角形,CMCN,MBND.ABMADN120,ABAD,ABMADN(SAS),BAMDAN.CADBAD30,DAD15,15.(2)CBD60,EBG120.EAG60,EAGEBG180,四边形EAGB的四个顶点共圆,AEBAGD.EABGAD,ABAD,AEBAGD(AAS),EBGD,AEAG.AHAH,HAEHAG,AHEAHG(SAS),EHGH.EHB的周长为2,EHEBHBBHHGGDBD2,ABAB2,菱形ABCD的周长为8.2(1)解:ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,点E恰好在AC上,CACD,ECDBCA30,DECABC90,CADCDA

    23、(18030)75,ADE907515;(2)证明:点F是边AC中点,BFAC.ACB30,ABAC,BFAB,ABC绕点C顺时针旋转60得到DEC,BCEACD60,CBCE,DEAB,DEBF,ACD和BCE为等边三角形,BECB.点F为ACD的边AC的中点,DFAC,易证得CFDABC,DFBC,DFBE,而BFDE,四边形BEDF是平行四边形3解:(1)补全图形,如图1所示如图2,由题意可知ADDE,ADE90.DFBC,FDB90.ADFEDB.C90,ACBC,ABCDFB45.DBDF.ADFEDB.AFEB.在ABC和DFB中,AC8,DF3,AB8,BF3.AFABBF5.即

    24、BE5.(2)如图3,BDBEAB.4解:(1)当0时,RtABC中,B90,AC2.点D、E分别是边BC、AC的中点,AEAC,BDBC1,.如图1中,当180时,可得ABDE,.故答案为:,.(2)如图2,当0360时,的大小没有变化,ECDACB,ECADCB.又,ECADCB,.(3)如图3中,当点E在AB的延长线上时,在RtBCE中,CE,BC2,BE1,AEABBE5.,BD.如图4中,当点E在线段AB上时,易知BE1,AE413,BD,综上所述,满足条件的BD的长为或.类型三图形的折叠【例3】 (1)证明:由题意可得,BCEBFE,BECBEF,FECE,FGCE,FGECEB,

    25、FGEFEG,FGFE,FGEC,四边形CEFG是平行四边形,又CEFE,四边形CEFG是菱形(2)解:矩形ABCD中,AB6,AD10,BCBF,BAF90,ADBCBF10,AF8,DF2,设EFx,则CEx,DE6x,FDE90,22(6x)2x2,解得x,CE,四边形CEFG的面积是CEDF2.跟踪训练1解:如图,过点H作HNBM于N,则HNC90,四边形ABCD为正方形,ADABBC,DDABBDCBDCM90.将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE,ADEAFE,DAFEAFG90,ADAF,DAEFAE,AFAB.又AGAG,RtABGRtAFG(HL),BAGFAG,AGBAG

    26、F,AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线;由知,DAEFAE,BAGFAG,又BAD90,GAFEAF9045,即GAH45,GHAG,GHA90GAH45,AGH为等腰直角三角形,AGGH,AGBBAG90,AGBHGN90,BAGNGH,又BHNG90,AGGH,ABGGNH(AAS),BGNH,ABGN,BCGN,BCCGGNCG,BGCN,CNHN,HNC90,NCHNHC9045,DCHDCMNCH45,DCHNCH,CH是DCN的平分线AGBHGN90,AGFEGH90,由知,AGBAGF,HGNEGH,GH是EGM的平分线综上所述,AG是BAF的平分线,GA是BGF的平分线

    27、,CH是DCN的平分线,GH是EGM的平分线2解:发现(1)四边形ABCD是矩形,AMDN,KNMNMB70,由折叠性质可知,KMNBMN70,由三角形内角和可知,NKM180KNMKMN40.(2)DNAM,KNMNMB,四边形MNCB是由四边形MNCB折叠得到的,KMNBMN,KMNKNM,KMKN,KMN是等腰三角形探究图1(1)如解图1,过M作MGKN于点G,则MGAD1,SKMNKNMG,当KN最小时,KNM的面积最小,此时KNKM,KNKM1,则KNMKMN45,NMBKNM45,KNM的面积的最小值为.(2)分两种情况:()如解图2,将矩形纸片对折,使得点B与点D重合,此时点K与

    28、点D重合设MKMBx,则AM5x,由勾股定理得12(5x)2x2,解得x2.6.MDND2.6,SMNKSMND12.61.3.()如解图3,将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC,设MKAKCKy,则DK5y,由勾股定理易得MKNK2.6,则SMNK1.3,即MNK的面积最大值为1.3.,图3)3(1)证明:PEBE,EPBEBP.又EPHEBC90,EPHEPBEBCEBP,即BPHPBC.又四边形ABCD为正方形,ADBC,APBPBC.APBBPH.(2)证明:如图,过点B作BQPH,垂足为Q,由(1)知,APBBPH,在ABP与QBP中,ABPQBP(AAS),APQP,BAB

    29、Q.又ABBC,BCBQ.又CBQH90,BCH和BQH是直角三角形,在RtBCH与RtBQH中,RtBCHRtBQH(HL),CHQH,APHCPH.(3)解:由(2)知,APPQ1,PD3.设QHHCx,则DH4x.在RtPDH中,PD2DH2PH2,即32(4x)2(x1)2,解得x2.4,PH3.4.类型四图形的平移【例4】 (1)四边形ACCA是菱形理由如下:由平移的性质得到ACAC,且ACAC,则四边形ACCA是平行四边形,ACCAAC.又CD平分ACC,易证DC也平分AAC,四边形ACCA是菱形(2)在ABC中,B90,AB24,cosBAC,cosBAC,即,AC26,由勾股定

    30、理知BC10.又由(1)知,四边形ACCA是菱形,ACAA26.由平移的性质得到ABAB,ABAB,则四边形ABBA是平行四边形,AABB26,CBBBBC261016.跟踪训练1(1)证明:BD是矩形ABCD的对角线,ABD30,ADB60,由平移可得,BCBCAD,DBCDBCADB60,ADBC,四边形ABCD是平行四边形,RtABD中,B为BD中点,ABBDDB,又ADB60,ADB是等边三角形,ADAB,四边形ABCD是菱形(2)解:由平移可得,ABCD,ABDCDB30,ABCD,四边形ABCD是平行四边形,由(1)可得,ACBD,四边形ABCD是菱形,ABAD,四边形ABCD的周长为4.(3)矩形周长为6或23.2(1)解:(2)证明:AOB90,点C是AB的中点,OCBCAB,CBOCOB.四边形OBDE是正方形,BDOE,DBOEOB90,CBDCOE.在CBD和COE中, CBDCOE(SAS)(3)Sa1.a或.


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