1、2017-2018学年山西大学附中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1（5分）若直线x1的倾斜角为，则（）A等于0B等于C等于D不存在2（5分）函数yxlnx的导数为y（）AxB1+lnxC1+xlnxD13（5分）已知aR，那么“直线yax1与y4ax+2垂直”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）设m，n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：若，m，则m若m，n，则mn若m，mn，则n若n，n，则其中真命题的序号为（）ABCD5（5分
2、）若直线l：mx+ny4和圆O：x2+y24没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A0个B至多有一个C1个D2个6（5分）焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）ABCD7（5分）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）ABCD8（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆的周长为2，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2y1|（）ABCD9（5分）已知平面区域D（x，y）|，Z若命题“（x，y）D，Zm”为真命题，则实数m的最大
3、值为（）ABCD10（5分）一个几何的三视图如图所示，则表面积为（）A18+2B18+2或12+4C18+2或12+2D9+411（5分）如图所示正方体ABCDA1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30，则以下说法正确的是（）A点M的轨迹是圆的一部分B点M的轨迹是椭圆的一部分C点M的轨迹是双曲线的一部分D点M的轨迹是抛物线的一部分12（5分）如图，在三棱锥BACD中，ABCABDDBC，AB3，BCBD2，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）AB19CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“若x2x0，则
4、x2”的否命题是 14（5分）已知ABC在斜二测画法下的平面直观图ABC，ABC是边长为a的正三角形，那么在原ABC的面积为 15（5分）已知抛物线y24x的准线与双曲线交于AB两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为正三角形，则双曲线的离心率是 16（5分）已知直线l：（m+2）x+（m1）y+44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2+y2+2x4y+30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）命题p：方程mx2+（m2）y21表示双曲线；命题q：不等式（m1）x2+（m1）x+20的解集是Rpq为假，pq为真，求m的取值范围18（12
5、分）已知点P（2，2），圆C：x2+y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积19（12分）已知曲线C：f（x）x3x（1）试求曲线C在点（1，f（1）处的切线方程；（2）试求与直线y5x+3平行的曲线C的切线方程20（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，侧棱AA1平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AFAB（1）求证：EF平面BDC1；（2）求三棱锥DBEC1的体积21（12分）已知椭圆+1（ab0）的离心率为，且过点（）
6、（1）求椭圆的方程；（2）若过点C（1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在点M，使+是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围2017-2018学年山西大学附中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1（5分）若直线x1的倾斜角为，则（）A等于0B等于C等于D不存在【分析】由题意知：由直线方程求斜率，再求倾斜角
7、为【解答】解：由题意知直线的斜率不存在，故倾斜角，故选：C【点评】本题考查了直线方程、斜率和倾斜角之间的关系，属于基础题2（5分）函数yxlnx的导数为y（）AxB1+lnxC1+xlnxD1【分析】根据函数的导数公式进行求解即可【解答】解：函数的导数ylnx+x1+lnx，故选：B【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据导数的运算法则是解决本题的关键比较基础3（5分）已知aR，那么“直线yax1与y4ax+2垂直”是“a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由直线yax1与y4ax+2垂直，可得：a（4a）1，解得a即可判断出结论【解答】解：由
8、直线yax1与y4ax+2垂直，可得：a（4a）1，解得a“直线yax1与y4ax+2垂直”是“a”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）设m，n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：若，m，则m若m，n，则mn若m，mn，则n若n，n，则其中真命题的序号为（）ABCD【分析】根据线线平行、线面垂直和面面垂直的判定定理，对四个选项进行逐一判断即可得答案【解答】解：若，m，则m、的位置关系不确定，也可以推出m，故不正确；若m，n，则mn，也即垂直于同一平面的两条直线平行，故正确；若m，mn，
9、也可以推出n，故错误；若n，n，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故正确真命题的序号为故选：D【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查线面垂直和平行的关系，是基础题5（5分）若直线l：mx+ny4和圆O：x2+y24没有交点，则过点（m，n）的直线与椭圆的交点个数为（）A0个B至多有一个C1个D2个【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P（m，n）在椭圆内，进而可得结论【解答】解：由题意可得：2，即m2+n24，点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，椭圆的长半轴3，短半轴为2，圆m2+n24内切于椭圆，点P是椭圆内的点，过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2，
10、故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题6（5分）焦点为（0，6）且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）ABCD【分析】根据题意，由已知焦点坐标设要求双曲线的方程为1，分析可得a2+b236，由双曲线的方程可得其渐近线方程，进而可得，联立可得a2、b2的值，代入要求双曲线的方程，即可得答案【解答】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（0，6），可以设其方程为1，若其焦点为（0，6），即c6，则有a2+b236，双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线1的渐近线也为yx，则有，联立可得：a212，b224，则要求双曲线的方程为：1，故选：B【点评】本题考查双曲线的标准方程的
11、求法，注意用待定系数法分析之前，确定双曲线焦点的位置7（5分）如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所成角的余弦值【解答】解：以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，令AB1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），（0，1，1），（0，1，2），|cos，|异面直线BE与CD1所成角的余弦值为故选：C【点评
12、】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题8（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆的周长为2，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y2y1|（）ABCD【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为F1（3，0）、F2（3，0），ABF2的内切圆半径r1，ABF2的面积S（|AB|+|AF2|+|BF2|）r10，再由ABF2的面积S3|y2y1|，由此能求出|y1y2|的值【解答】解：椭圆，a225且b216，a5，b4，c
13、3，椭圆的焦点分别为F1（3，0）、F2（3，0），设ABF2的内切圆半径为r，ABF2的内切圆周长为2，r1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）4a20ABF2的面积S（|AB|+|AF2|+|BF2|）r20110，又ABF2的面积S|y1|F1F2|+|y2|F1F2|（|y1|+|y2|）|F1F2|3|y2y1|（A、B在x轴的两侧），3|y1y2|10，解得|y1y2|故选：B【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形内切圆的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题9（5
14、分）已知平面区域D（x，y）|，Z若命题“（x，y）D，Zm”为真命题，则实数m的最大值为（）ABCD【分析】由已知，即求Z的最小值，利用数形结合的思想求Z的最大值即可【解答】解：由题意命题“（x，y）D，Zm”为真命题即求Z的最小值，平面区域如图：Z表示区域内的点与定点（2，0）连接直线的斜率，所以与n邻居的直线斜率最小，由得到N（5，2），所以最小值为，所以实数m，所以M的最大值为；故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题以及全称命题求参数范围；关键是正确求出Z的最小值，利用了数形结合的思想10（5分）一个几何的三视图如图所示，则表面积为（）A18+2B18+2或12+4C18+2或12
15、+2D9+4【分析】由三视图还原原几何体，可知几何体为边长是2的正方体截去一个角或截去两个角，则表面积可求【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为边长是2的正方体截去一个角或截去两个角，则该几何体的表面积S；或S几何体的表面积为18+2或12+4故选：B【点评】本题考查由三视图求表面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11（5分）如图所示正方体ABCDA1B1C1D1，设M是底面正方形ABCD内的一个动点，且满足直线C1D与直线C1M所成的角等于30，则以下说法正确的是（）A点M的轨迹是圆的一部分B点M的轨迹是椭圆的一部分C点M的轨迹是双曲线的一部分D点M的轨迹是抛物线的一部
16、分【分析】由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，利用直线C1D与直线C1M所成的角等于30，可得cos30，化简即可得出结论【解答】解：由题意，设正方体的棱长为1，建立坐标系，M（x，y，0），（0x1，0y1），则（0，1，1），（x，y1，1），直线C1D与直线C1M所成的角等于30，cos30，化简可得，点M的轨迹是椭圆的一部分，故选：B【点评】本题考查棱柱的结构特征，求出轨迹方程是关键12（5分）如图，在三棱锥BACD中，ABCABDDBC，AB3，BCBD2，则三棱锥BACD的外接球的表面积为（）AB19CD【分析】取CD的中眯E，由题意解得CEDE1，EA，EA、EB、EC两两垂
17、直，建立空间直角坐标系，令三棱锥BACD的外接球的球心为O（x，y，z），由OA2OB2OC2OD2R2，求出x，y0，z，由此能求出三棱锥BACD的外接球的表面积【解答】解：在三棱锥BACD中，ABCABDDBC，AB3，BCBD2，取CD的中EE，由题意解得CEDE1，EA，EA、EB、EC两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0，），C（0，1，0），D（0，1，0），令三棱锥BACD的外接球的球心为O（x，y，z），由题意OA2OB2OC2OD2R2，x2+（y+1）2+z2x2+（y1）2+z2R2，解得x，y0，z，R2，三棱锥BACD的外接球的表面积为：S4
18、R2故选：A【点评】本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查三棱锥及外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“若x2x0，则x2”的否命题是若x2x0，则x2【分析】根据四种命题之间的关系即可求出【解答】解：若x2x0，则x2，故答案为：若x2x0，则x2【点评】本题考查了四种命题，属于基础题14（5分）已知ABC在斜二测画法下的平面直观图ABC，ABC是边长为a的正三角形，那么在原ABC的面积为a2【分析】根据斜二侧画法中原平面图形的面积与直观图面积的比为2：1，由此求出原图形面积【解答】
19、解：边长为a的正三ABC的面积为SABCaasin60a2，则在斜二侧画法中原图形ABC的面积为SABC2SABC2a2a2故答案为：a2【点评】本题考查了斜二侧画法中原平面图形的面积与直观图的面积应用问题，是基础题15（5分）已知抛物线y24x的准线与双曲线交于AB两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为正三角形，则双曲线的离心率是【分析】求得抛物线y24x的准线为x1，焦点F（1，0），把x1代入双曲求得y的值，再根据FAB为正三角形，可得tan30，解得a的值，可得 的值【解答】解：已知抛物线y24x的准线为x1，焦点F（1，0），把x1代入双曲线求得y，再根据FAB为正三角形，可得tan3
20、0，解得 a故 c2+4，故答案为 【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题16（5分）已知直线l：（m+2）x+（m1）y+44m0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2+y2+2x4y+30的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是2，10【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，设切点分别为A，B连接AC，BC，MC，分析可得四边形MACB为正方形且|MC|r2，进而分析可得圆心（1，2）到直线l的距离d2，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+2x4y+30即（x+1）2+（y2）22，其圆心为（1，2），半径r，如图，
21、设切点分别为A，B连接AC，BC，MC，由AMBMACMBC90，又由ACBCr，则四边形MACB为正方形且|MC|r2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（1，2）到直线l的距离d2，即m28m200，解可得：2m10，即m的取值范围为2，10；故答案为：2，10【点评】本题考查直线和圆的位置关系，关键是分析圆心到直线l的距离满足的条件，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）命题p：方程mx2+（m2）y21表示双曲线；命题q：不等式（m1）x2+（m1）x+20的解集是Rpq为假，pq为真，求m的取值范围【分析】求出两个命题是真命题时m的范围
22、，利用复合命题的真假，列出不等式组求解即可【解答】解：命题p为真 m（m2）0，0m2；命题q为真 m1或可得：1m9，1m9，p真q假，可得 0m1，p假q真，2m9；综上m范围为m|0m1或2m9【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力18（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|
23、OP|OM|得到ONPM求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案【解答】解：（1）由圆C：x2+y28y0，得x2+（y4）216，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）0整理得：（x1）2+（y3）22M的轨迹方程是（x1）2+（y3）22（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON3，直线l的斜率为
24、直线PM的方程为，即x+3y80则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题19（12分）已知曲线C：f（x）x3x（1）试求曲线C在点（1，f（1）处的切线方程；（2）试求与直线y5x+3平行的曲线C的切线方程【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程（2）利用切线的平行线，求出切点坐标，然后求解切线方程【解答】（10分）解：（1）f（x）x3x，f（1）0，求导数得f（x）3x21，切线的斜率为kf（1）2，所求切线方程为y2（x1），即2
25、xy20（2）设与直线y5x+3平行的切线的切点为（x0，y0），则切线的斜率为，解得，代入曲线方程f（x）x3x得切点为或，所求切线方程为或，即或【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCCAAA12，侧棱AA1平面ABC，且D，E分别是棱A1B1，A1A1的中点，点F在棱AB上，且AFAB（1）求证：EF平面BDC1；（2）求三棱锥DBEC1的体积【分析】（1）取AB的中点O，连接A1O，利用中位线定理得EFA1O，由四边形A1DBO为平行四边形得出OBD，故而EFBD，于是EF平面BDC1；（2）证明C1D平面AA1B1B
26、，于是【解答】解：（1）取AB的中点O，连接A1O，AFAB，F为AO的中点，又E为AA1的中点，EFA1O，A1D，BO，ABA1B1，A1D四边形A1DBO为平行四边形，A1OBD，EFBD，又EF平面BDC1，BD平面BDC1，EF平面BDC1（2）AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，A1C1B1C1A1B12，D为A1B1的中点，C1DA1B1，C1D，又AA1平面AA1B，A1B1平面AA1B，AA1A1B1A1，C1D平面AA1B1B，ABAA12，D，E分别为A1B1，AA1的中点，SBDE22【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积
27、计算，属于中档题21（12分）已知椭圆+1（ab0）的离心率为，且过点（）（1）求椭圆的方程；（2）若过点C（1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在点M，使+是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由离心率得到，再将点的坐标代入可求出a、b的值，即可得出椭圆的方程；（2）设点M（m，0），写出直线l的方程，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，然后利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，根据已知条件求出m的值，即可得出点M的坐标【解答】解：（1）椭圆离心率为，又椭圆过点
28、，代入椭圆方程，得，所a25，椭圆方程为，即x2+3y25（2）在x轴上存在点，使是与k无关的常数证明：假设在x轴上存在点M（m，0），是与k无关的常数，直线L过点C（1，0）且斜率为k，l方程为yk（x+1），由，得（3k2+1）x2+6k2x+3k250设A（x1，y1）、B（x2，y2），则，同理可得，由于是一个不关于k的常数，则，解得即在x轴上存在点，是与k无关的常数【点评】本题考查直线与椭圆的综合，考查韦达定理在椭圆综合问题的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题22（12分）已知函数，其中aR（）求f（x）的单调区间；（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，求a的取值范围【
29、分析】（）先求出函数的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（）通过讨论a的范围，得到f（x）在1，e的单调性，求出1，e的最小值即可求出a的范围【解答】解：（）当a0时，在x（0，+）上f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，在x（0，a）上f（x）0；在x（a，+）上f（x）0；所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增综上所述，当a0时，f（x）的单调递增区间为（0，+），当a0时，f（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+）（）若在1，e上存在x0，使得f（x0）0成立，则f（x）在1，e上的最小值小于0当a1，即a1时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递增，f（x）在1，e上的最小值为f（1），由f（1）1a0，可得a1，当ae，即ae时，由（1）可知f（x）在1，e上单调递减，f（x）在1，e上的最小值为f（e），由，可得当1ae，即ea1时，由（1）可知f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，f（x）在1，e上的最小值为f（a）（a+1）ln（a）a+1，因为0ln（a）1，所以（a+1）（a+1）ln（a）0，即（a+1）ln（a）a+12，即f（a）2，不满足题意，舍去综上所述，实数a的取值范围为【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题
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