2018-2019学年山西大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）含详细解答

1、2018-2019学年山西大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（3分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD2（3分）已知正ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的ABC的直观图ABC的面积为（）ABCD3（3分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A若m，m，则B若m，则mC若m，m，则D若m，则m4（3分）方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线（）A恒过定点（2，3）B恒过定点（2，3）C恒过点（2，3）和（2，3）D都是平行直线5（3分）在

2、空间直角坐标系中，已知点P1（0，3），P2（0，1，1），点P在x轴上，若|PP1|2|PP2|，则点P的坐标为（）A（1，0，0）或（1，0，0）B（，0，0）或（，0，0）C（2，0，0）或（2，0，0）D（，0，0）或（，0，0）6（3分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）Acm3Bcm3Ccm3Dcm37（3分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）ABCD8（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与

3、AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）ABCD9（3分）过正方形ABCD的顶点A，作PA平面ABCD，若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是（）A30B45C60D9010（3分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E分别是BC，AB的中点，ABAC，且ACAD设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角PBCA为，则（）ABCD11（3分）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A存在某一位置，使得CD平面A

4、BFEB存在某一位置，使得DE平面ABFEC在翻折的过程中，BF平面ADE恒成立D在翻折的过程中，BF平面CDEF恒成立12（3分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，AP3，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A45B57C63D84二填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.）13（4分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的体积是 14（4分）已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 15（4分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D

5、1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则截面的面积是 16（4分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，下列结论：（1）棱AB与PD所在的直线垂直；（2）平面PBC与平面PCD垂直；（3）PCD的面积大于PAB的面积；（4）直线AE与BF是异面直线以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）三.解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程18（12分）如图，三棱锥PABC中，PC，A

6、C，BC两两垂直，BCPC1，AC2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点（1）证明：平面GEF平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值19（12分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60，侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，CD2，M为PB的中点（1）求证：PA平面CDM；（2）求二面角 DMCB的余弦值20（14分）如图，由直三棱柱ABCA1B1C1和四棱锥DBB1C1C构成的几何体中，BAC90，AB1，BCBB12，C1DCD，平面CC1D平面ACC1A1（）求证：ACDC1；（）若M为DC1中点，求证：AM平面DBB1；（）在线段BC上

7、（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由2018-2019学年山西大学附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1（3分）直线xy10的倾斜角大小（）ABCD【分析】利用斜率与倾斜角的关系即可得出【解答】解：设直线xy10的倾斜角为，0，），则tan，故选：B【点评】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（3分）已知正ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的ABC的直观图ABC的面积为（）ABCD

8、【分析】由已知中正ABC的边长为2，可得正ABC的面积，进而根据ABC的直观图ABC的面积SS，可得答案【解答】解：正ABC的边长为2，故正ABC的面积S设ABC的直观图ABC的面积为S则SS故选：D【点评】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S与原图面积S之间的关系SS，是解答的关键3（3分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A若m，m，则B若m，则mC若m，m，则D若m，则m【分析】在A中，与相交或平行；在B中，m或m；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知

9、：在A中，若m，m，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，则m或m，故B错误；在C中，若m，m，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若m，则m与相交、平行或m，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用4（3分）方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线（）A恒过定点（2，3）B恒过定点（2，3）C恒过点（2，3）和（2，3）D都是平行直线【分析】可将（a1）xy+2a+10（aR）转化为（x+2）axy+10，令a的系数为0，xy+10即可【解答】解：（a1）xy+2a+10（aR），（x+2）

10、axy+10，解得：x2，y3即方程（a1）xy+2a+10（aR）所表示的直线恒过定点（2，3）故选：A【点评】本题考查恒过定点的直线，方法较灵活，可转化为关于a的函数，令a的系数为0，xy+10即可，也可以令x、y取两组值，解得交点坐标即为所求，属于中档题5（3分）在空间直角坐标系中，已知点P1（0，3），P2（0，1，1），点P在x轴上，若|PP1|2|PP2|，则点P的坐标为（）A（1，0，0）或（1，0，0）B（，0，0）或（，0，0）C（2，0，0）或（2，0，0）D（，0，0）或（，0，0）【分析】设P（a，0，0），利用两点间a1或a1，由此能求出点P的坐标【解答】解：点P1（

11、0，3），P2（0，1，1），点P在x轴上，|PP1|2|PP2|，设P（a，0，0），则2，解得a1或a1点P的坐标为（1，0，0）或（1，0，0）故选：A【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（3分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【分析】由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2棱锥的体积V222（cm）故选：

12、C【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量7（3分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（）ABCD【分析】以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM与CN所成角的余弦值【解答】解：如图，以A为原点，在平面ABC处以过点A垂直于AC的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（0，0，0），M（，1），C（0，2，0），N（，2），（），设

13、直线AM与CN所成角的大小为，则cos|cos，|故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用8（3分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，B1到平面A1FCE的距离为（）ABCD【分析】点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离，设B1到平面A1FC的距离d，由三棱锥B1A1FC的体积可得，由此能求出B1到平面A1FCE的距离【解答】解：点B1到平面A1FCE的距离即点B1到平面A1FC的距离，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E、F分别为C1D1与AB的中点，设B1到

14、平面A1FC的距离d，由三棱锥B1A1FC的体积可得，即，解得dB1到平面A1FCE的距离为故选：B【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题9（3分）过正方形ABCD的顶点A，作PA平面ABCD，若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是（）A30B45C60D90【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小【解答】解：以A为原点，AB为x

15、轴，AD为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设PABA1，则C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），（1，1，1），（0，1，1），设平面PCD的法向量（x，y，z），则，取y1，得（0，1，1），平面ABP的法向量（0，1，0），设平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为，则cos，45，平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小为45故选：B【点评】本题考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题10（3分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC9

16、0，D，E分别是BC，AB的中点，ABAC，且ACAD设PC与DE所成角为，PD与平面ABC所成角为，二面角PBCA为，则（）ABCD【分析】PC与DE所成的角为，这是异面直线所成的角，需把这两条直线平移到一起去；PD与平面ABC所成的角为，这是直线与平面所成的角，需找到平面的垂线，如：PA平面ABC；二面角PBCA的平面角为，关键是找到此二面角的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线定理【解答】解：如图所示：D、E分别是BC、AB的中点，DEACPC与DE所成的角为，即PCAPA平面ABC，PD与平面ABC所成的角为，即PDA过点A作AQBC，垂足为Q，连接PQ，PA平面ABC，根据三垂线定

17、理可得：二面角PBCA的平面角为，即PQA，则ACADAQ在RtPAC，RtPAD，RtPAQ中：tanPCAtanPDAtanPQA，即tantantan又，（0，），故选：A【点评】本题考查空间中的线面关系，异面直线所成角、直线与平面所成的角、二面角、解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11（3分）如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中（平面ABFE和平面CDEF不重合）下面说法正确的是（）A存在某一位置，使得CD平面ABF

18、EB存在某一位置，使得DE平面ABFEC在翻折的过程中，BF平面ADE恒成立D在翻折的过程中，BF平面CDEF恒成立【分析】在A中，CD与EF相交，从而CD与平面ABFE相交；在B中，DE与EF不垂直，从而不存在某一位置，使得DE平面ABFE；在C中，DECF，从而在翻折的过程中，BF平面ADE恒成立；在D中，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不一定成立【解答】解：在A中，四边形DEFC是梯形，DECF，CD与EF相交，CD与平面ABFE相交，故A错误；在B中，四边形DEFC是梯形，DECD，DE与EF不垂直，不存在某一位置，使得DE平面ABFE，故B错误；在C中，四边形DEF

19、C是梯形，DECF，CF平面ADE，DE平面ADE，在翻折的过程中，BF平面ADE恒成立，故C正确；在D中，四边形ABFE是梯形，ABBF，BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF平面CDEF不一定成立，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12（3分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，AP3，Q是边BC上的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A45B57C63D84【分析】根据题意画出图形，结合图形找出ABC的外接圆圆心与三棱锥PABC外

20、接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积【解答】解：三棱锥PABC中，PA平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为，如图所示；则sin，且sin的最大值是，（PQ）min2，AQ的最小值是，即A到BC的距离为，AQBC，AB2，在RtABQ中可得，即可得BC6；取ABC的外接圆圆心为O，作OOPA，2r，解得r2；OA2，取H为PA的中点，OHOA2，PH，由勾股定理得OPR，三棱锥PABC的外接球的表面积是S4R2457故选：B【点评】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题二填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分.）13（4分）已知圆锥的底面半径为1，

21、母线长为2，则它的体积是【分析】根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积【解答】解：底面半径为r1，母线长为l2，所以圆锥的高为；所以圆锥的体积为Vr2h故答案为：【点评】本题考查了圆锥的体积计算问题，是基础题目14（4分）已知直线l经过点P（1，0）且与以A（2，1），B（3，2）为端点的线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是0，45135，180）【分析】利用斜率计算公式、三角函数的单调性即可得出【解答】解：kPA1，kPB1直线PA，PB的倾斜角分别为45，135直线l与连接A（2，1），B（3，2）的线段有公共点，直线l的斜率k满足1k1直线l的倾斜角的取值范围是0，

22、45135，180）故答案为：0，45135，180）【点评】本题考查了斜率计算公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则截面的面积是2【分析】取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1由已知得四边形A1MCN是平行四边形，连结MN，作A1HMN于H，由题意能求出截面的面积【解答】解：取AB、C1D1的中点M、N，连结A1M、MC、CN、NA1由于A1NPC1MC且A1NPC1MC，四边形A1MCN是平行四边形又A1NPC1，A1MB

23、P，A1NA1MA1，PC1BPP，平面A1MCN平面PBC1因此，过A1点作与截面PBC1平行的截面是平行四边形又连结MN，作A1HMN于H，由于A1MA1N，MN2，则AH，故22故答案为：【点评】本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16（4分）已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，下列结论：（1）棱AB与PD所在的直线垂直；（2）平面PBC与平面PCD垂直；（3）PCD的面积大于PAB的面积；（4）直线AE与BF是异面直线以上结论正确的是（1），（3）（写出所有正确结论的编号）【分析】对于（1）

24、可根据线面垂直的性质可推出，对于（2）根据二面角的大小可判定，对于（3）根据射影面积公式可判定，对于（4）可根据两平行线确定一平面进行判定【解答】解：对于（1）棱AB面PAD，PD面PAD，棱AB棱AB与PD所在的直线垂直，故正确；对于（2）平面PBC与平面PCD所成角为钝角，故不正确；对于（3）SPABSPCDcosx，PCD的面积大于PAB的面积，故正确对于（4）EFCDAB直线AE与BF不是异面直线，故不正确故答案为（1）（3）【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及异面直线的判定和平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题三.解答题（本大题共4小

25、题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）直线l过点（1，2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程【分析】设直线l的横截距为a，则纵截距为（6a），写出直线l的截距式方程，把（1，2）代入即可求出a的值，把a的值代入直线l的方程中，经过检验得到满足题意的直线l的方程【解答】解：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6a，直线l的方程为，点（1，2）在直线l上，解得：a12，a23，当a2时，直线的方程为2x+y40，直线经过第一、二、四象限；当a3时，直线的方程为x+y30，直线经过第一、二、四象限综上所述，所求直线方程为2x+y4

26、0或x+y30【点评】此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程，是一道基础题学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意18（12分）如图，三棱锥PABC中，PC，AC，BC两两垂直，BCPC1，AC2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点（1）证明：平面GEF平面PCB；（2）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值【分析】（1）根据中位线定理可得EF平面PBC，GF平面PBC，故而平面GEF平面PCB；（2）建立坐标系，求出与平面PAB的法向量，计算与法向量的夹角即可得出结论【解答】（1）证明：E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，EFBC，又BC平面PBC，EF平面PBC，EF平面P

27、BC，同理可得：GF平面PBC，又EF平面GEF，GF平面GEF，GFEFF，平面GEF平面PBC（2）以C为坐标原点，以CA，CB，CP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则P（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），F（1，0，0），（2，0，1），（2，1，0），（1，0，1），设平面PAB的法向量（x，y，z），1，2，2），则，令x1可得（1，2，2）cos，设PF与面PAB所成角为，则sin|cos，|PF与面PAB所成角的正弦值为【点评】本题考查了面面平行的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题19（12分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60

28、，侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，CD2，M为PB的中点（1）求证：PA平面CDM；（2）求二面角 DMCB的余弦值【分析】（1）取DC的中点O，连接PO，OA，推导出PO底面ABCD，OADC（2分）以O原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能证明PA平面DMC（2）求出平面B MC的法向量和平面CDM的一个法向量，利用同量法能求出二面角DMCB的余弦值【解答】证明：（1）取DC的中点O，连接PO，OA，侧面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD（1分）PO底面ABCD，底面ABCD为菱形且ADC60，DC2，DO1，则O

29、ADC（2分）以O原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A（，0，0），P（0，0，），B（，2，0），C（0，1，0），D（0，1，0），M（，1，），（4分）（，2，），（，0，），（0，2，0），+02+（）0，0+02+（）00，PADM，PADC，DMDCD，PA平面DMC（7分）解：（2）（），（，1，0），设平面B MC的法向量为（x，y，z），由，得x+z0，由0，得x+y0取x1，则y，z1，一个法向量（1，1） （9分）由（1）知，平面CDM的一个法向量可取（，0，）所以cos，（11分）观察可知二面角 DMCB为钝角

30、，所以所求二面角的余弦值是（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题20（14分）如图，由直三棱柱ABCA1B1C1和四棱锥DBB1C1C构成的几何体中，BAC90，AB1，BCBB12，C1DCD，平面CC1D平面ACC1A1（）求证：ACDC1；（）若M为DC1中点，求证：AM平面DBB1；（）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面DBB1所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由【分析】（）证

31、明ACCC1，得到AC平面CC1D，即可证明ACDC1（）易得BAC90，建立空间直角坐标系Axyz，依据已知条件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM平面DBB1（）利用向量求解【解答】解：（）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，故ACCC1，由平面CC1D平面ACC1A1，且平面CC1D平面ACC1A1CC1，所以AC平面CC1D，又C1D平面CC1D，所以ACDC1（）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1AB，AA1AC，又BAC90，所以，如图建立空间直角坐标系Axyz，依据已知条件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），所以，设平面DBB1的法向量为，由即令y1，则，x0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM平面DBB1（）解：由（）可知平面BB1D的法向量为设，0，1，则，若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中档题