1、2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二（下）3月联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知集合Ax|x2，Bx|x23x+20，则（）AABBABCBADABR3（5分）已知变量x和y满足关系y2.61.5x，变量y与z负相关，下列结论中正确的是（）Ax 与 y 正相关，x 与 z 负相关Bx 与 y 正相关，x 与 z 正相关Cx 与 y 负相关，x 与 z 负相关Dx 与 y 负相关，x 与 z 正相关4（5分）曲线yxlnx+1在点x1处的切线方程为
2、（）AyxByx1Cy2x+1Dy2x15（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A1B2C3D46（5分）已知x0，y0，且x+2y3，则的最小值为（）AB3CD7（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y22x交于A、B两点，|AB|4，C的实轴长为2，则C的离心率为（）ABCD8（5分）已知函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，且函数yf（x）的零点依次为2，3，则xf（x）0的解集为（）A（，2）（3，+）B（2，0）（ ，3）C（2， ）（3，+）D（0，）（3，+）9（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C
3、1C所成的角为30，则该长方体的外接球的表面积为（）A8B8C16D1610（5分）已知实数x，y满足y，则xy的取值范围为（）A1，1B1，C，1D，11（5分）已知P为抛物线y24x上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（2，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A1BC2D312（5分）若不等式a对任意的实数x1恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）命题“x0，+），lnx+x+10”的否定是 14（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，c5，B，ABC的面积为，则cos2A 15（5分）观察下列式子
4、：1+，1，1根据上述规律，第17个不等式可能为 16（5分）若函数f（x）x3x在（t，8t2）上有最大值，则实数的取值范围是 三、解答题（本题共6个题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知数列an是等差数列，其公差d0，a2，a3是方程x28x+150的两根（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn，求bn的前n项和Sn18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB2BC1（）求证：平面A1BC1平面AB1C1；（）设A1B与AB1交于点D，求四棱锥DACC1A1的体积19（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑
5、同桌，得到如下22列联表：男生女生合计挑同桌304070不挑同桌201030总计5050100（）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（）根据以上22列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：6P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中na+b+c+d）20（12分）已知函数f（x）|x+a|+|x2|（）当a3时，求不等式
6、f（x）3的解集；（）若f（x）|x4|在1，2上恒成立，求a的取值范围21（12分）已知点A（2，0），B（2，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为（）求点M的轨迹方程；（）设直线AM与y轴相交于点P，若点Q在y轴上，且以PQ为直径的圆过点F（，0），求证：AQBM22（12分）已知函数f（x），其中a0（）若a3，求函数f（x）的单调区间；（）求证：当x0时，f（x）2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二（下）3月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象
7、限C第三象限D第四象限【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行求解即可【解答】解：i，对应点的坐标为（，）位于第四象限，故选：D【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键比较基础2（5分）已知集合Ax|x2，Bx|x23x+20，则（）AABBABCBADABR【分析】先求出集合B，然后逐个分析答案即可【解答】解：Bx|x23x+20Bx|1x2，可得BA；ABx|1x2，B错误；ABx|x2，D错误故选：C【点评】本题考查了集合之间的关系，是基础题，解题时应注意审题3（5分）已知变量x和y满足关系y2.61.5x，变量y与z负相关，
8、下列结论中正确的是（）Ax 与 y 正相关，x 与 z 负相关Bx 与 y 正相关，x 与 z 正相关Cx 与 y 负相关，x 与 z 负相关Dx 与 y 负相关，x 与 z 正相关【分析】根据回归方程y2.61.5x知x、y负相关，再根据y与z负相关得出x与z正相关【解答】解：变量x和y满足关系y2.61.5x，变量y与z负相关，则变量x和y负相关，x与z正相关故选：D【点评】本题考查了线性相关关系的判断问题，是基础题4（5分）曲线yxlnx+1在点x1处的切线方程为（）AyxByx1Cy2x+1Dy2x1【分析】根据题意，求出函数的导数，求出切线的斜率k，结合切点的坐标，即可得答案【解答】
9、解：根据题意，曲线yxlnx+1，当x1时，y1ln1+11，即切点的坐标为（1，1）又由y（x）lnx+x（lnx）lnx+1，则有y|x11，即切线的斜率k1，故切线的方程为y1（x1），即yx；故选：A【点评】本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键掌握导数的几何意义，属于基础题5（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A1B2C3D4【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为，该几何体为下底面为直角梯形高为2的四棱锥如图所示：所以几何体的体积为：2故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转
10、换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型6（5分）已知x0，y0，且x+2y3，则的最小值为（）AB3CD【分析】推导出（）（x+2y）+2+当且仅当时，取等号，由此能求出的最小值【解答】解：x0，y0，且x+2y3，（）（x+2y）（）（x+2y）+2+当且仅当时，取等号，的最小值为故选：A【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（5分）双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y22x交于A、B两点，|AB|4，C的实轴长为2，则C的离心率为（）ABCD【分析】可设双曲线的方程为1（a
11、0，b0），由题意可得a1，再由双曲线和抛物线关于x轴对称，可得A（2，2），代入双曲线方程可得b，c，再由离心率公式计算可得所求值【解答】解：可设双曲线的方程为1（a0，b0），C的实轴长为2，即2a2，可得a1，由C与抛物线y22x交于A、B两点，|AB|4，结合对称性可得ABx轴，可设A（2，2），代入双曲线的方程可得1，解得b2，c2a2+b2，可得e故选：A【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要是对称性和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题8（5分）已知函数yf（x）的导函数yf（x）的图象如图所示，且函数yf（x）的零点依次为2，3，则xf（x）0的解集为（）A（，
12、2）（3，+）B（2，0）（ ，3）C（2， ）（3，+）D（0，）（3，+）【分析】根据题意，分析可得在（，2）上，f（x）0，则（2，）上，f（x）0，在（，3）上，f（x）0，在（3，+）上，f（x）0，又由xf（x）0或，分析可得答案【解答】解：根据题意，由函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，且函数yf（x）的零点依次为2，3；则在（，2）上，f（x）0，则（2，）上，f（x）0，在（，3）上，f（x）0，在（3，+）上，f（x）0，又由xf（x）0或，分析可得：2x0或x3，即不等式的解集为（2，0）（ ，3）；故选：B【点评】本题考查函数的图象分析，涉及不等式的解法，属于基础题
13、9（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的外接球的表面积为（）A8B8C16D16【分析】由AB平面BCC1B1，得BC1A是AC1与平面BB1C1C所成的角，从而BC1A30，进百AC12AB4，BC12，CC12，由此能求出该长方体的外接球的半径，从而能求出该长方体的外接球的表面积【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，AB平面BCC1B1，BC1A是AC1与平面BB1C1C所成的角，BC1A30，AC12AB4，BC12，CC12，该长方体的外接球的半径：R2，
14、该长方体的外接球的表面积为：S4R24416故选：C【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）已知实数x，y满足y，则xy的取值范围为（）A1，1B1，C，1D，【分析】利用直线和圆的位置关系，结合圆心到直线的距离，利用数形结合进行求解即可【解答】解：y的轨迹为半径为1的圆的上半圆部分，设xyt，则yxt平移直线yxt，由图象知当直线经过A（1，0）时，直线的截距最小，此时t最大，得t101，当直线和圆在第二象限相切时，直线的截距最大，此时t最小，（t0）圆心到直线xyt0的距离d1，得|t|，得t，即
15、t1，则x+y1，即x+y的取值范围是，1，故选：C【点评】本题主要考查直线和圆位置关系的应用，利用数形结合，以及点到直线的距离公式是解决本题的关键11（5分）已知P为抛物线y24x上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（2，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A1BC2D3【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD
16、|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为2（1）3故选：D【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题12（5分）若不等式a对任意的实数x1恒成立，则实数a的最小值为（）ABCD【分析】将恒成立问题转化为最值问题，构造新函数f（x），并求出函数f（x）的最大值即可【解答】解：令f（x），令f（x）0x2或4；令f（x）02x4；令f（x）0x2或x4；f（x）在x（1，+）上的最大值为f（4）；又a对任意的实数x1恒成立，即af（4）；故选：A【点评】本题考查了函数的恒成立问题，考查了转化思想的应用，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5
17、分，共20分）13（5分）命题“x0，+），lnx+x+10”的否定是x00，+），lnx0+x0+10【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x0，+），lnx+x+10”的否定是：x00，+），lnx0+x0+10故答案为：x00，+），lnx0+x0+10【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查14（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，c5，B，ABC的面积为，则cos2A【分析】根据三角形的面积公式求出a的值，得到ac，即三角形是等腰三角形，结合等腰三角形的性质求出A的值即可【
18、解答】解：在三角形中，ABC的面积为SacsinBa5sin即a，得a5，即ac，则三角形为等腰三角形，则A，则cos2Acos，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式求出a的值，判断三角形是等腰三角形是解决本题的关键15（5分）观察下列式子：1+，1，1根据上述规律，第17个不等式可能为【分析】根据规律可得不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，则可得答案【解答】解：根据规律可得不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，
19、2为公差的等差数列，故答案为：【点评】本题主要考查了等差数列求和公式和合情推理与演绎推理，属于基础题16（5分）若函数f（x）x3x在（t，8t2）上有最大值，则实数的取值范围是3，【分析】利用导函数判断单调性，在区间（t，8t2）上有最大值，而端点不能取，那么极大值就是最大值，结合最值求解x的值，根据区间（t，8t2）建立不等式关系求解；【解答】解：函数f（x）x3x，其图象过原点，定义域为R可得f（x）x21令f（x）0，可得x1当x（，1）和（1，+）时，f（x）0，f（x）在（，1）单调递增；当x（1，1）时，f（x）0，f（x）在（1，1）单调递减f（x）在x1，取得极大值为，令f（
20、x），即x3x，解得x1或x2，要使函数f（x）x3x在（t，8t2）上有最大值，可得：3t故答案为3，【点评】本题考查了导函数单调性的应用，最值与极值的关系属于中档题三、解答题（本题共6个题，共70分，写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知数列an是等差数列，其公差d0，a2，a3是方程x28x+150的两根（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn，求bn的前n项和Sn【分析】（）由题意可得a23，a35，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（）求得bn（），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（）数列an是等差数列，其公差d0，a2，
21、a3是方程x28x+150的两根，可得a23，a35，即有da3a22，a11，则an1+2（n1）2n1；（）bn（），可得前n项和Sn（1+）（1）【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于基础题18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB2BC1（）求证：平面A1BC1平面AB1C1；（）设A1B与AB1交于点D，求四棱锥DACC1A1的体积【分析】（1）推导出AB1A1B，B1C1A1B1，BB1B1C1，从而B1C1平面ABB1A1，进而B1C1A1B，A1B平面AB1C1，由此能证明平面A1BC1平面AB1C
22、1；（）先求出D到平面ACC1A1的距离d，由此能求出四棱锥DACC1A1的体积【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB2BC1AB1A1B，B1C1A1B1，BB1B1C1，A1BA1B1B1，B1C1平面ABB1A1，A1B平面ABB1A1，B1C1A1B，AB1B1C1B1，A1B平面AB1C1，A1B平面A1BC1，平面A1BC1平面AB1C1；（）解：A1B与AB1交于点D，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AA1AB2BC1D到平面ACC1A1的距离d，四棱锥DACC1A1的体积V【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考
23、查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下22列联表：男生女生合计挑同桌304070不挑同桌201030总计5050100（）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（）根据以上22列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表供参考：6P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246
24、.6357.87910.828（参考公式：，其中na+b+c+d）【分析】（）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有3人，不挑同桌有2人，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；（）根据22列联表计算观测值，对照临界值表得出结论【解答】解：（）根据分层抽样方法抽取容量为5的样本，挑同桌有3人，记为A、B、C，不挑同桌有2人，记为d、e；从这5人中随机选取3人，基本事件为ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde共10种；这3名学生中至少有2名要挑同桌的事件为概率为ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共7种；故所求的概率为P；（）根据以上2
25、2列联表，计算观测值K24.76193.841，对照临界值表知，有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关【点评】本题考查了分层抽样原理与列举法求基本事件的概率和22列联表计算观测值的问题，是综合题20（12分）已知函数f（x）|x+a|+|x2|（）当a3时，求不等式f（x）3的解集；（）若f（x）|x4|在1，2上恒成立，求a的取值范围【分析】（）由绝对值的意义，讨论当x3时，当x2时，当2x3时，去绝对值，解不等式，再求并集即可；（）由题意可得得|x+a|+|x2|x4|在1，2上恒成立，即|x+a|2，在1，2恒成立，由绝对值不等式的解集，结合参数分离和恒成立思想，可得
26、a的范围【解答】解：（）当a3时，f（x）|x3|+|x2|，当x3时，f（x）3即为x3+x23，解得3x4；当x2时，f（x）3即为3x+2x3，解得1x2；当2x3时，f（x）3即为3x+x23，解得2x3综上可得，f（x）3的解集为1，4；（）若f（x）|x4|在1，2上恒成立，可得|x+a|+|x2|x4|在1，2上恒成立，化为|x+|+2x4x，即|x+a|2，可得2x+a2，即2xa2x在1，2恒成立，可得3a0，则a的范围是3，0【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查绝对值的性质和恒成立问题的转化思想，考查分类讨论和化简运算能力，属于中档题21（12分）
27、已知点A（2，0），B（2，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为（）求点M的轨迹方程；（）设直线AM与y轴相交于点P，若点Q在y轴上，且以PQ为直径的圆过点F（，0），求证：AQBM【分析】（）设M（x，y），直接根据直线AM与BM的斜率之积为，建立x与y的关系，从而得到M的轨迹方程（）设AP的方程为yk（x+2）（k0），根据条件将直线BM和AQ的斜率用k表示，然后由kBMkAQ得到AQBM【解答】解：（）设M（x，y），则kAMkBM，（y0），M的轨迹方程为（y0）（）设AP的方程为yk（x+2）（k0），M（x0，y0），则P（0，2k），将yk（x+2）代入中，得（2k
28、2+1）x2+8k2x+8k240，A，M在椭圆中，由Q在y轴上，设Q（0，t），则以PQ为直径的圆的方程为，又以PQ为直径的圆过，kt1，kBMkAQ，AQBM【点评】本题考查了利用直接法求轨迹方程，利用斜率相等证明直线平行，直线和椭圆的关系，考查了转化思想，属中档题22（12分）已知函数f（x），其中a0（）若a3，求函数f（x）的单调区间；（）求证：当x0时，f（x）【分析】（I）a3时，f（x）可得f（x），即可得出单调性（II）f（x），x（0，+）令x22xa0，由a0，可得0由x22xa0，解得x110，x21+2，可得f（x），x（0，+）可得函数f（x）的单调性与极小值即最小
29、值，进而证明结论【解答】解：（I）a3时，f（x）f（x），令f（x）0，解得x3，或x1令f（x）0，解得1x3函数f（x）的单调递增区间为：（，1），（3，+）；递减区间为（1，3）（II）证明：f（x），x（0，+）令x22xa0，a0，4+4a0由x22xa0，解得x110，x21+2，f（x），x（0，+）可得：函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增xx2时，函数f（x）取得最小值，f（x2）令g（x），x2则g（x）0，可得函数g（x）在2，+）上单调递增g（x）g（2）当x0时，f（x）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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