1、2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（）Ay3xBy4xCx4yDx3y2（5分）下列命题中的假命题是（）A质数都是奇数B函数ysinx是周期函数C112能被7整除D奇函数的图象关于坐标原点对称3（5分）设m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，则m4（5分）椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A
2、BCD5（5分）椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则m的值为（）A1BC2D36（5分）若椭圆（ab0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A2BCD37（5分）已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y+1）22C（x1）2+（y1）22D（x+1）2+（y+1）228（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（）A（2，2）B（1，）C（1，2）D（1，2）9（5分）设a，bR，ab0，则直线axy+b0和曲线bx2+ay2ab的大致图形是（
3、）ABCD10（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2 cm3B cm3C3 cm3D3 cm311（5分）已知A（1，0），M是圆B：x22x+y270（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A1B1C1D112（5分）已知x，y满足，如果目标函数z的取值范围为0，2），则实数m的取值范围为（）A0，B（，C（，）D（，0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）“若X5，则X225”的逆否命题是 14（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点B（5，0）和C
4、（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则 15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是 16（5分）已知点A（0，1），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|1：3，则实数a的值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1PF2，求PF1F2的面积18（12分）某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶
5、离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过19（12分）已知点P（4，0），点Q在曲线C：y24x上（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值20（12分）如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF，折到DEF的位置，使（1）证明DO平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN平面DOC，并求的值21（12分）已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为（1）求双曲线C的标准方程
6、；（2）若直线yax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围22（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线ykx（k0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N（）求椭圆C的方程（）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程
7、是（）Ay3xBy4xCx4yDx3y【分析】由双曲线的标准方程，求出a，b即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线的标准方程是，可得a1，b3，由于渐近线方程为y3x，即为y3x故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题2（5分）下列命题中的假命题是（）A质数都是奇数B函数ysinx是周期函数C112能被7整除D奇函数的图象关于坐标原点对称【分析】反例判断A；正弦函数的周期性判断B，整除判断C，奇函数的性质判断D【解答】解：2是质数，也是偶数，所以A不正确；函数ysinx是周期函数，正确；112716，所以112能被7整除，正确；奇函数的图象关于坐
8、标原点对称，正确；故选：A【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及质数与偶数函数的周期性，整除以及奇函数的性质，是基础题3（5分）设m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，则m【分析】易知选项C是正确的，选项A，B，D中除了所给关系外都存在其它情况【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面则另一条也垂直该平面，故正确；D，存在m的情况，故错误故选：C【点评】此题考查了线线，线面，面面之间的位置关系，属容易题4（5分）椭圆以双曲线的焦点
9、为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）ABCD【分析】求出双曲线的焦点与顶点坐标，即可得到椭圆的焦点与顶点，然后求出椭圆的方程【解答】解：双曲线的焦点（5，0），（5，0）是椭圆的顶点，则所求椭圆方程中的长半轴a5双曲线的顶点为（4，0），（4，0）是椭圆的焦点，则椭圆的半焦距c4，则b3椭圆的标准方程为故选：A【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力5（5分）椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则m的值为（）A1BC2D3【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得【解答】解：椭圆1得c1，焦点坐标为（，0）（，
10、0），双曲线1的焦点必在x轴上，则半焦距c2解得实数m1故选：A【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键6（5分）若椭圆（ab0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A2BCD3【分析】利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：椭圆（ab0）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，e故选：C【点评】本题考查一的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，圆锥曲线的综合应用，是基础题7（5分）已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C
11、的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y+1）22C（x1）2+（y1）22D（x+1）2+（y+1）22【分析】圆心在直线x+y0上，排除C、D，再验证圆C与直线xy0及xy40都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在x+y0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（1，1）到两直线xy0的距离是；圆心（1，1）到直线xy40的距离是故A错误故选：B【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究8（5分）已知抛物线y24x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，
12、则P点坐标为（）A（2，2）B（1，）C（1，2）D（1，2）【分析】利用抛物线的定义，得|PA|+|PF|PA|+|PQ|因此问题转化为求|PA|+|PQ|取最小值时P点的坐标，再利用P、A、Q三点共线时距离最小，即可求出满足条件的P点坐标【解答】解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，设点P到准线l：x1的距离为PQ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小，|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离；此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P（ 1，2）故选：C
13、【点评】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的定义，考查距离最小问题，关键是利用抛物线的定义，将点P到焦点的距离转化为它到准线的距离，是中档题9（5分）设a，bR，ab0，则直线axy+b0和曲线bx2+ay2ab的大致图形是（）ABCD【分析】先把曲线方程整理成1的形式，直线方程整理成yax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象【解答】解：整理曲线的方程得1，整理直线方程得yax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a0，b0则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合B，D选项中，直线的斜率a0，截距b0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴
14、，故B正确，D错误C项中直线斜率a0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误故选：B【点评】本题主要考查了曲线与方程考查了学生分类讨论思想以及数形结合思想的应用10（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A2 cm3B cm3C3 cm3D3 cm3【分析】根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥PABCD，且侧面PCD底面ABCD，画出它的直观图，如图所示；则底面为直角梯形，面积为S梯形ABCD（1+2）23，四棱锥的高为h2，所以四棱锥的
15、体积为VS梯形ABCDh3（cm3）故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题11（5分）已知A（1，0），M是圆B：x22x+y270（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A1B1C1D1【分析】利用椭圆的定义判断点P的轨迹 是以A、F 为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程【解答】解：由题意得 圆心B（1，0），半径等于2，|PA|PB|，|PB|+|PM|PB|+|PA|BM|2|AB|，故点P的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，2a2，c1，b1，椭圆的方程为：1故选：A【点评】本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的
16、定义求轨迹是解题的难点12（5分）已知x，y满足，如果目标函数z的取值范围为0，2），则实数m的取值范围为（）A0，B（，C（，）D（，0【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解m的范围即可【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：目标函数z的取值范围为0，2），说明可行域内的点与（m，1）的连线的斜率的范围是0，2），直线2xy20的斜率为2；由图形可知（m，1）在直线BA上，且在A的左侧，m，故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）“若X5，则X225”的逆否命题是如果X
17、225，则X5【分析】直接写出结论即可【解答】解：“若X5，则X225”的逆否命题是：若X225，则X5故答案为：若X225，则X5【点评】本题考查原命题与逆否命题的转化，属于基础题14（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点B（5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则【分析】根据双曲线的几何性质，可得|CB|2c4，|AB|CA|2a6，代入，即可得到答案【解答】解：由题意B、C分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|2c10，顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|AC|2a6，故答案为：【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用定义法，考查计算能力，属于中档题15（
18、5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是30（或）【分析】连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，根据几何体的结构特征可得：BO平面A1B1CD，所以BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，因为是在正方体ABCDA1B1C1D1中，所以BO平面A1B1CD，所以BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为1，所以在A1BO中，A1B，OB，所以sinBA1O，所以直线A1B与平面A1B1CD 所成的角的大小等于
19、30故答案为：30（或）【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以及空间角的做法与解法，是中档题16（5分）已知点A（0，1），抛物线C：y2ax（a0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|1：3，则实数a的值为【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a【解答】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|MK|，因为|FM|：|MN|1：3，所以|KN|：|KM|2：1，又kFN，kFN2，所以2，解得
20、a故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1PF2，求PF1F2的面积【分析】（1）利用已知条件求出a，b，然后求解双曲线方程（2）利用双曲线的定义，结合三角形的面积，转化求解即可【解答】解：（1）由条件得c，2a6，a3，b1，双曲线方程为：（2）由双曲线定义知|PF1PF2|6且 PF12+PF22（）2，
21、联立解得PF1PF22，PF1F2的面积为：PF1PF21【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，是基础题18（12分）某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过【分析】（1）建立直角坐标系，设抛物线为yax2，把点（10，4）代入求出解析式，转化求解即可（2）根据当x时，求出y的值，即可判断这条船能否从桥下通过【解答】解：（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系设拱桥所在抛物线的方程为x22py，则点（10，4）在抛物
22、线上，所以有1022p（4），解得p，所以拱桥所在抛物线标准方程为：x225y（2）当x时，y，所以此时限高为4，所以，能通过【点评】此题主要考查了抛物线的应用，根据已知建立坐标系从而得出抛物线解析式是解决问题的关键，是中档题19（12分）已知点P（4，0），点Q在曲线C：y24x上（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值【分析】（1）利用抛物线方程，设出Q的坐标，通过|PQ|4，求解即可（2）求出|PQ|的表达式，利用二次函数的性质求解最小值即可【解答】解：（1）设由题意得，解得y4点Q的坐标为（4，4）（2）|PQ|，当y28时，|PQ|取到最小值因此
23、，|PQ|的最小值为【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的性质，考查计算能力，是中档题20（12分）如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AEAF2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将AEF，折到DEF的位置，使（1）证明DO平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN平面DOC，并求的值【分析】（1）先由勾股定理证DOOM，易得DOEF，得证；（2）作ENOC即可，求解不难【解答】解：（1）证明：在DOM中，易得DO，OM，DM，由DM2DO2+OM2，得DOOM，又AEAF2，ABAC3，EFBC，又M为BC中点，AMBC，DOEF
24、，EFOMO，DO平面EBCF；（2）连接OC，过E作ENOC交BC于N，则EN平面DOC，又OECN，四边形OENC为平行四边形，OENC，【点评】此题考查了线面垂直，线面平行等，难度不大21（12分）已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线yax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围【分析】（1）由题知，即ba所以可设双曲线方程为1，将点M（1，）代入即可求出a，b，j进而得到双曲线方程（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y，得（3a2）x22ax20，则x1+x2，x1x2由题可得，即可解得a的取值范围【解答
25、】解：（1）由题知，即ba所以可设双曲线方程为1，将点M（1，）代入，得1，解得a，因此，双曲线C的方程为3x2y21（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y，得（3a2）x22ax20，则x1+x2，x1x2，由题可得，解得a的取值范围是a【点评】本题考查直线与双曲线相交问题，属于中档题22（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线ykx（k0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N（）求椭圆C的方程（）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【分析
26、】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（2）设F（x0，y0），E（x0，y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（2，0）【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a28，b24椭圆C的方程为；（2）如图，设F（x0，y0），E（x0，y0），则，A（，0），AF所在直线方程，取x0，得，N（0，），AE所在直线方程为，取x0，得y，M（0，）则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r，圆的方程为，即取y0，得x2以MN为直径的圆经过定点（2，0）【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题
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