1、专题一规律探索题类型一 数式规律探索(2019唐山路北区二模)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1，3，6，10，由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用(n1)表示请根据以上材料，证明以下结论：(1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；(2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数(注：若自然数a等于自然数b2，则称自然数a为完全平方数，如1，4，9等是完全平方数)【分析】(1)根据题设中的规律，用k表示出任意一个三角形数，再给其乘8加1后进行运算，判断其结果是否为完
2、全平方数；(2)用k和k1表示出两个连续的三角形数，然后求它们的和，判断其结果是否为完全平方数即可【自主解答】解决数字排列规律问题需要掌握如下方法：1当所给的一组数是整数时，先观察这组自然数列、正整数列、奇数列、偶数列经过和、平方、平方加1或平方减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号交替出现时，若奇数项为负，则用(1)n表示数字的符号；若偶数项为负，则用(1)n1表示数字的符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果2当数字规律题的数字既有整数又有分数时，把这组数的所有整数写成分数，然后根据整数的数字规律(具体方法同1)，从而分别得出分
3、子和分母的规律，最后得到该组数据第n项的规律我们需要熟记的数字规律有：(1)自然数列规律：0，1，2，3，n(n0)；(2)正整数列规律：1，2，3，n1，n(n1)；(3)奇数列规律：1，3，5，7，9，2n1(n1)；(4)偶数列规律：2，4，6，8，2n(n1)；(5)正整数和：1234n(n1)；(6)正整数平方：1，4，9，16，n2(n1)；(7)正整数平方加1：2，5，10，17，n21(n1)；(8)正整数平方减1：0，3，8，15，n21(n1)1(2018石家庄模拟)观察图中的“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为()A75 B89 C103 D1392(
4、2019河北结课卷)已知如图是按一定规律排成的三角形数阵，若按图中数阵的排列规律，第7行从左至右第3个数是_第n行从左至右第1个数是_1223类型二 图形规律探索 (2018河北)如图，作BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以APB，APC，BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时BPC90，而45是360(多边形外角和)的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示图中的图案外轮廓周长是_；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标
5、的外轮廓周长是_【分析】要求图的外轮廓周长，可直接从图中数出来；确定会标外轮廓周长的最大值，可先根据题意确定上方和下方正多边形边数之间的关系式，再结合两者均为正整数列举所有可能情况，确定其中周长的最大值即可【自主解答】1(2019河北中考说明)如图，在ABC中，已知C90，AC60 cm，AB100 cm，a，b，c，是在ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行，若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a，b，c，的个数是()A7 B8 C9 D102(2016河北)如图，已知AOB7，一条光线从
6、点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时A90783.当A83时，光线射到OB边 上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知12.若A1A2AO，光线又会沿A2A1A原路返回到点A，此时A_.若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角A的最小值_.3(2019唐山路北区一模)如图，过点A1(1，0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B1，点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2(2，0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3(4，0)作x轴的垂线，交直线y2x于点B3；，按此规律作下去，则(1)点B4的
7、坐标为_；(2)点Bn的坐标为_4(2019秦皇岛海港区一模)如图，已知等边OA1B1，顶点A1在双曲线y(x0)上，点B1的坐标为(2，0)过点B1作B1A2OA1，交双曲线于点A2，过点A2作A2B2A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边B1A2B2，过点B2作B2A3B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3A2B2交x轴于点B3得到第三个等边B2A3B3，依次类推，则点B6的坐标为_，点Bn的坐标为_类型三 周期变化规律探索 (2019石家庄桥西区一模)如图所示，一动点从半径为2的O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60的方向运动到O
8、上的点A2处，接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60的方向运动到O上的点A4处；点A4与点A0的距离是_；，按此规律运动到点A2 019处，则点A2 019与点A0间的距离是_【分析】计算A0A4的长，可连接A0A4，判断OA3垂直平分A0A4，且OA02，由垂径定理得解；判断A2 019与A0之间的距离，可先判断A2 019所在的位置，通过继续画图，可发现点A2 019与点A3重合，再判定OA0A3是等边三角形即可得解【自主解答】1(2019唐山路北区一模)如图，在平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开
9、始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，.(1)“17”在射线_上；(2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律；(3)数“2 019”在哪条射线上2(2018河北)如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着5，2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等尝试(1)前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数参考答案【例1】 证明：(1)设一个三角形数为a(k为非零自然数)，根据题意，得8a1814(k2k)14k24k1(
10、2k1)2. k为非零自然数，2k1为自然数，(2k1)2是完全平方数，任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数(2)设两个连续的三角形数为ak，ak1 ，(k2)，则akak1k2.k是自然数，k2是完全平方数，连续两个三角形数的和是一个完全平方数跟踪训练1A【解析】 观察图形规律可知，最上面一个方框的数字为1，3，5，7，9，11；左下方方框中的数字为2，22，23，26，则右下方方框中的数字a261175.22；【解析】 312，6123；101234，第n1行最后一个数的被开方数是123n1，则第n行从左至右第1个数是，第7行从左至右第3个数是2.【例2】 由作图可知，图中是两个正八
11、边形和一个正方形，周长为281214.设上方的正多边形边数为n，则其内角度数为180，根据题意可知，下方的一个正多边形边数k，其中n3，k3，且n，k均为整数，则当n3时，k12，此时外轮廓周长为21；当n4时，k8，此时外轮廓周长为428614；当n6时，k6，外轮廓周长为12；当n8时，k不是整数，不合题意；当n10，k5，外轮廓周长为1025614；当n12时，k均不为整数综上可知，外轮廓周长最大为21.故答案为14；21.跟踪训练1C【解析】 在RtABC中，AB100 cm，AC60 cm，ACB90，由勾股定理得BC80 cm.如解图，设矩形a为矩形DECF，则DFCE，DECF，
12、矩形a的一边长为72 cm，则DFCE72 cm，DFBC，ADFABC，解得CF6 cm，这样的矩形a，b，c，的个数为60619.276；6【解析】 A1A2AO，AOB7，1290783，A1AOB76.如解图当MNOA时，光线沿原路返回，4390783，654AOB837769027，876AOB767699037，98AOB697629047，由以上规律可知，A90n7，当n12时，A取得最小值，最小度数是6.3(8，16)；(2n1，2n)【解析】 由题意可知，A1的坐标为(1，0)，B1的坐标为(1，2)；A2的坐标为(2，0)，B2的坐标为(2，4)；A3的坐标为(4，0)，B
13、3的坐标为(4，8)；A4的坐标为(8，0)，B4的坐标为(8，16)，按此规律可知，Bn的坐标为(2n1，2n)4(2，0)；(2，0)【解析】 如解图，过点A1作A1C1x轴于C1，点B1的坐标为(2，0)，OA1B1是等边三角形，A1C1，点A1的坐标为(1，)，直线OA1的函数解析式为yx.B1A2OA1，直线A2B1的函数解析式为y(x2)，联立得(x2)，x0，解得x1，过点A2作A2C2x轴于C2，则C2O1，B2OOB12(C2B1)22(12)2，点B2的坐标为(2，0)；B2A3OA1，直线B2A3的函数解析式为y(x2)，联立得(x2)(x0)，解得x，过点A3作A3C3
14、x轴于C3，OC3，OB3OB22(OC3OB2)22(2)2，点B3的坐标为(2，0)，依次规律可知，点Bn的坐标为(2，0)，点B6的坐标为(2，0)【例3】 如解图，连接A0A4交OA3于B，易得A0OA3A3OA460，OA0OA4，OBA0A4，A0BA4B.在RtOA0B中，OA02，A0OB60，A0B，A0A42.根据规律，A6将正好回到A0处，从而每6次一个循环，2 01963363，A2 019与A3重合，则A0A2 019A0A3OA02.故答案为2；2.跟踪训练1解：(1)OE; (2)OA：16k；OB：26k；OD：46k；(3)2 01963363，数2 01963363.射线OC上的点可表示为36k，数2 019在射线OC上2解：尝试(1)前4个台阶上数的和为52193.(2)根据题意可得219x3，解得x5应用根据规律，第5个台阶上的数是5，第6个台阶上的数是2，第7个台阶上的数是1，第8个台阶上的数是9，第9个台阶上的数是5，即台阶上的数字每4个一循环，且依次为5，2，1，9.31473，前31个台阶上的数的和为37(521)21615.发现根据规律，1分别出现在第3个台阶，第7个台阶，1出现在第4k1个台阶上
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