1、2019-2020学年山东师大附中高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求0001（4分）命题“x0R，x02+x0+10”的否定是（）AxR，x2+x+10BxR，x2+x+10Cx0R，x02+x0+10DxR，x2+x+102（4分）已知数列an为等差数列，a3+a56，则其前7项的和是（）A36B30C22D213（4分）椭圆kx2+2y22的一个焦点是（1，0），那么k（）AB1C1D4（4分）已知2x+y4（x0，y0），则xy的最大值是（）A2B4C6D85（4分）数列（1）nn的前2019项的和是（
2、）A2019B1010C1010D20196（4分）已知F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A（0，B，1）C（0，D，1）7（4分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A35B33C31D298（4分）已知双曲线1（a）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）ABCD29（4分）在等比数列an中，an0，a1+a2+a89，a1a2a881，则+的值为（）A3B6C9D2710（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，
3、且|PF2|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分11（4分）下列叙述中不正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充要条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C“a1”是“方程x2+x+a0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D“a1”是“1”的充分不必要条件12（4分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P是双曲线
4、上异于双曲线顶点的一点，且0，则下列结论正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21CF1到双曲线的一条渐近线的距离为1DPF1F2的面积为113（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，0，则下列结论正确的是（）A0q1Ba6a81CSn的最大值为S7DTn的最大值为T6三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分14（4分）函数f（x）（ax1）（x+b），若不等式f（x）0的解集为（1，2），那么a+b ；15（4分）若等差数列an的前n项和Sn（n+1）2+t，则实数t的值为 ；16（4
5、分）设F1，F2分别是椭圆 +1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则 ；17（4分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，得数列an，则anan1 （n2）；对nN*，an 四、解答题：本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（10分）（1）不等式mx2+2mx+
6、10对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）求与双曲线1有共同渐近线，且过点P（2，3）的双曲线的标准方程19（14分）设椭圆+1（ab0）的短轴长为4，离心率为（1）直线yx+m与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）设点M（2，1）是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程20（14分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2（nN*）（1）证明：数列an是等比数列，并求它的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn21（14分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足x3（k为常数
7、），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大22（15分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn2a1恒成立，求实数a的
8、取值范围23（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且过点（1，），若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由2019-2020学年山东师大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求0001（4分）命题“x0R，x02+x0+10”的否定是（）AxR，x
9、2+x+10BxR，x2+x+10Cx0R，x02+x0+10DxR，x2+x+10【分析】特称命题“x0R，x02+x0+10”的否定是：把改为，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题即“xR，x2+x+10”【解答】解：特称命题“x0R，x02+x0+10”的否定是全称命题：“xR，x2+x+10”故选：B【点评】写含量词的命题的否定时，只要将“任意”与“存在”互换，同时将结论否定即可，属基础题2（4分）已知数列an为等差数列，a3+a56，则其前7项的和是（）A36B30C22D21【分析】由，能求出结果【解答】解：数列an为等差数列，a3+a56，其前7项的和是：21故选：D【点
10、评】本题考查等差数列的前7项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（4分）椭圆kx2+2y22的一个焦点是（1，0），那么k（）AB1C1D【分析】由题设条件知a2，b21，求出c，列出方程求出k【解答】解：由题设条件椭圆kx2+2y22知a2，b21，c1，k1，故选：C【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，是中档题4（4分）已知2x+y4（x0，y0），则xy的最大值是（）A2B4C6D8【分析】利用基本不等式先求出xy的范围，从而得到其最大值【解答】解：x0，y0，2x+y42x+y42解得xy2xy的最大值2故选：A【
11、点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，此为和定积最大值，属于基础题5（4分）数列（1）nn的前2019项的和是（）A2019B1010C1010D2019【分析】由题意可得前2019项的和为1+23+45+6+201820191+（1）+（1）+（1），计算可得所求和【解答】解：数列（1）nn的前2019项的和为1+23+45+6+201820191+（1）+（1）+（1）110101010故选：B【点评】本题考查数列的并项求和，以及化简运算能力，属于基础题6（4分）已知F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A（
12、0，B，1）C（0，D，1）【分析】F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，化为bc，即可得出椭圆的离心率的范围【解答】解：F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF290，可得以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，可得bc，即b2c2，a2c2c2，a22c2，因为0e1，即可得1e，所以则椭圆的离心率e的取值范围为：，1）故选：B【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（4分）已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2a32a1，且a4与2
13、a7的等差中项为，则S5（）A35B33C31D29【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2a32a1求得a4，再根据a4+2a7a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可【解答】解：a2a3a1qa1q22a1a42a4+2a7a4+2a4q32q，a116故S531故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题8（4分）已知双曲线1（a）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线的夹角公式，解方程可得a，再由双曲线的离心率公式计算可得所求值【解答】解：双曲线1（a）的两条渐近线方程为yx，由两条渐近线的夹角为，可得tan
14、，化为a22a30，解得a3（1舍去），则e，故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于基础题9（4分）在等比数列an中，an0，a1+a2+a89，a1a2a881，则+的值为（）A3B6C9D27【分析】利用等比数列的性质得出，数列也为等比数列，代入即可【解答】解：由题意，q1，a1+a2+a89，得，由a1a2a881，得，数列也为等比数列，+故选：A【点评】考查等比数列的性质和前n项和公式的应用，中档题10（4分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若
15、|PF1|F1F2|，则的最小值为（）ABC8D6【分析】由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论【解答】解：由题意可知：|PF1|F1F2|2c，设椭圆的方程为+1（a1b10），双曲线的方程为1（a20，b20），又|F1P|+|F2P|2a1，|PF2|F1P|2a2，|F2P|+2c2a1，|F2P|2c2a2，两式相减，可得：a1a22c，则+（+18）（2+18）8当且仅当，即有e23时等号成立，则的最小值为8，故选：C【点评】本题考查椭圆和双曲
16、线的定义和简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题二、多项选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分11（4分）下列叙述中不正确的是（）A若a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充要条件是“b24ac0”B若a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac”C“a1”是“方程x2+x+a0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D“a1”是“1”的充分不必要条件【分析】A当a0，b0，c0时，不成立，进而确定错误B若a，b，cR，“ac”且b0时，推不出“ab2cb2“，故错误；C若方
17、程x2+x+a0有一个正根和一个负根，则14a0，x1x2a0a，故正确；D“a1”“1”但是“1”推不出“a1”，故正确【解答】解：A错误，当a0，b0，c0时，满足b24ac0，但此时ax2+bx+c0不成立，故a，b，cR，则“ax2+bx+c0”的充分条件是“b24ac0”错误；B错误，若a，b，cR，“ac”且b0时，推不出“ab2cb2“，故错误；C正确，若方程x2+x+a0有一个正根和一个负根，则14a0，x1x2a0a，故正确；D正确，“a1”“1”但是“1”推不出“a1”，故正确故选：AB【点评】本题综合考查了不等式的性质、一元二次方程的根与系数的关系、充分必要条件，属于基础
18、题12（4分）已知F1，F2分别是双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且0，则下列结论正确的是（）A双曲线C的渐近线方程为yxB以F1F2为直径的圆的方程为x2+y21CF1到双曲线的一条渐近线的距离为1DPF1F2的面积为1【分析】给出双曲线方程，可以得出abc的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由0，得P的横纵坐标的关系，再由P在双曲线上，可求出P的坐标进而得命题的真假【解答】解：A中双曲线x2y21，可得焦点在x轴上，a2b2，a0，b0，a是实半轴长，b虚半轴长，所以渐近线方程为yx即yx，所以A 正确；B中，x2y21，可得左焦点F1（，0），右焦点F
19、2（，0），所以以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为，所以圆的方程为x2+y22，所以B不正确；C中，F1（，0）到一条渐近线为xy0的距离d1，所以C正确；D中，0，设P坐标（x，y），（x，y），（x，y），（x）（）+（y）20x2+y22，又P在双曲线上，所以x2y21（y0），由得，|y|，SPFF2|F1F2|y|1，D正确；故选：ACD【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题和易错题13（4分）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a11，a6a71，0，则下列结论正确的是（）A0q1Ba6a81CSn的最大值为S7
20、DTn的最大值为T6【分析】利用等比数列an，则lgan为等差数列，用等差数列的性质得出q和Tn的大小关系【解答】解：等比数列an，公比为q，q0，则lgan为等差数列，公差dlgq，由a11，a6a71，q0且q1，得lga10，lga6+lga70，0，得a61，a71，若不然，a7a6，则q1，又a11，数列ana1qn11，则a61，a71，0不成立，故q1，又a6a71，所以q0，故0q1成立，由a61，a71，得lga60，lga70，又lga10，所以数列lgan是递减数列，从第7项开始小于零，故前6项和lgTn最大，即Tn的最大值为T6，lga6+lga82lga70，故B不成
21、立，因为0q1，a11，所以数列各项均为正的，Sn没有最大值，C不成立，故选：AD【点评】考查了等差数列与等比数列的性质和前n项和公式，中档题三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分14（4分）函数f（x）（ax1）（x+b），若不等式f（x）0的解集为（1，2），那么a+b3；【分析】由已知可得，（ax1）（x+b）0的解为x1，或x2，且a0，然后结合二次方程的根与系数关系可求a，b即可求解【解答】解：f（x）（ax1）（x+b）0的解集为（1，2），（ax1）（x+b）0的解为x1，或x2，且a0，ax2+（ab1）xb0，整理可得，2a2+a10，解可得，a1或a（舍），b2a
22、2，那么a+b3故答案为：3【点评】本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式与二次方程的关系的相互转化，考查运算能力，属于基础题15（4分）若等差数列an的前n项和Sn（n+1）2+t，则实数t的值为1；【分析】由等差数列an的前n项和Sn（n+1）2+t，求出等差数列的前3项，再由a1，a2，a3是等差数列，能求出t的值【解答】解：等差数列an的前n项和Sn（n+1）2+t，a1S14+t，a2S2S1（2+1）2（1+1）25，a3S3S2（3+1）2（2+1）27，a1，a2，a3是等差数列，2a2a1+a3，25（4+t）+7，解得t1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查等差
23、数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（4分）设F1，F2分别是椭圆 +1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则；【分析】求得椭圆的a，b，c，运用椭圆的定义和三角形的中位线定理，可得PF2x轴，即可得|PF2|，|PF1|，即可所求值【解答】解：椭圆的a4，b3，c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|2a8，由中位线定理可得PF2x轴，令x，可得y，即有|PF2|，|PF1|8，则故答案为：【点评】本题考查椭圆的定义，三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题17（4分）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上
24、画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第2个五角形数记作a25，第3个五角形数记作a312，第4个五角形数记作a422，若按此规律继续下去，得数列an，则anan13n2（n2）；对nN*，an【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论【解答】解：a2a1514，a3a21257，a4a3221210，由此可知数列an+1an构成以4为首项，以3为公差的等差数列所以anan13（n1）+13n2（n2
25、）迭加得：ana14+7+10+3n2，故an1+4+7+10+3n2，故答案为：3n2，【点评】本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共82分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（10分）（1）不等式mx2+2mx+10对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）求与双曲线1有共同渐近线，且过点P（2，3）的双曲线的标准方程【分析】（1）讨论m0，m0，且0，m0时不等式不恒成立，解不等式即可得到所求范围；（2）设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，代入P（2，3），解得，可得所
26、求双曲线的方程【解答】解：（1）当m0时，不等式mx2+2mx+10，即为10成立，当，综上可得m的取值范围是0m1；（2）设与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为，点P（2，3）代入，得2，所以所求双曲线的方程为【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想，考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题19（14分）设椭圆+1（ab0）的短轴长为4，离心率为（1）直线yx+m与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）设点M（2，1）是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，求直线l的方程【分析】（1）利用椭圆的短轴长以及离心率，求解a，b，然后得到椭圆方
27、程联立直线与椭圆方程，通过韦达定理转化求解即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）法一：当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为y1k（x2），联立直线与椭圆方程，利用中点坐标，求出直线的斜率，然后推出直线方程法二：通过平方差法求解直线的斜率，得到直线方程【解答】解：（1）由题意，所以a216，b24，即椭圆方程为，0，即（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）法一：当斜率不存在时不符合题意，当斜率存在时，设直线方程为y1k（x2），所以直线l的方程为x+2y40，法二：，所以直线l的方程为：y1（x2），即x+2y40【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方
28、程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题20（14分）设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an2（nN*）（1）证明：数列an是等比数列，并求它的通项公式；（2）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）运用数列的递推式：当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1，将n换为n1作差，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，再由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）证明：当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S12a12，可得a12，所以数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，则；（2），两式作差得：，所以【点评】本
29、题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题21（14分）某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m0）满足x3（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2010年的促销费用投入
30、多少万元时，厂家的利润最大【分析】（1）由题意可知当m0时，x1由满足x3，即可得出k值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出2010年的利润的表达式即可；（2）对于（1）中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的x值，从而解决该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大【解答】解：（1）由题意可知当m0时，x1（万件），13kk2（2分）x3每件产品的销售价格为1.5（元），（4分）2010年的利润yx（8+16x+m）（6分）4+8xm4+8m+29（m0）（8分）（2）m0时，+（m+1）28，（12分）y8+2921，当且仅当m+1m3（
31、万元）时，ymax21（万元）（15分）所以当该厂家2010年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大（15分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题22（15分）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan+124n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列（1）证明：a2；（2）求数列an的通项公式；（3）设bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn2a1恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由4Snan+124n1，可令n1，整理即可得证；（2）将n换为n1，两式相减，结合等差数列的定义和等比数列的中
32、项性质，即可得到所求通项公式；（3）求得，运用数列的裂项相消求和可得Tn，由不等式的性质和恒成立思想，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）证明：由4Snan+124n1，nN*，当n1时，；（2）当n2时，由an0，可得an+1an+2an+1an2，数列an从第二项起成等差数列，且d2，因为a2，a5，a14构成等比数列，所以，可得a23，由，所以a11，a2a12，所以数列an成等差数列即an2n1；（3），前n项和为Tn1+11，Tn2a1恒成立，可得2a11a1【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式，等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，
33、属于中档题23（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，且过点（1，），若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出a，b得到椭圆方程（2）思想A，B坐标，求出P，Q，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式求解三角形的面积即可【解答】解：（1），所以椭圆的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以，即，由，16k2m28（2k2+1）（m21）0，2k2+1m20，代入，得，所以AOB的面积为定值【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题
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