1、第20讲 特殊的平行四边形,矩形,直角,2,直,相等,直角,相等,菱形,相等,四条,垂直平分,四条,互相垂直,正方形,邻边,直角,相等,直角,相等,垂直平分,矩形,菱形,矩形的性质和判定,例1 (2019青岛)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连结CG.,(1)求证:ABECDF;,思路点拨:(1)根据平行四边形的性质得出AB=CD,ABE=CDF,OB=OD,根据中点的定义得到BE=DF,则结论可得.,(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.,思路点拨:(2)先证出四边形EGCF是平行四
2、边形,欲得四边形EGCF是矩形,只需添加条件“有一个角是直角”即可,根据“三线合一”的性质可得只需条件AB=AO,即AC=2AB.,(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形. 理由如下: AC=2OA,AC=2AB,AB=OA, E是OB的中点,AGOB,OEG=90, 同理:CFOD,AGCF,即EGCF, 四边形ABCD是平行四边形,OA=OC, 又EG=AE,OE是ACG的中位线,OECG,即EFCG, 四边形EGCF是平行四边形, OEG=90,四边形EGCF是矩形.,判定矩形的思路 (1)利用直角判定矩形的思路:任意四边形+三个直角矩形;平行四边形+一个直角矩形. (2)利用
3、对角线判定矩形的思路:平行四边形+对角线相等矩形.,菱形的性质和判定,例2 如图,在四边形ABCD中,ABDC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分BAD,过点C作CEAB交AB的延长线于点E,连结OE.,(1)求证:四边形ABCD是菱形;,思路点拨:(1)根据平行线的性质和角平分线的性质可证得AD=DC=AB,又ABDC,从而得到四边形ABCD是平行四边形和菱形;,(1)证明:ABCD,CAB=ACD. AC平分BAD, CAB=CAD, CAD=ACD,AD=CD. 又AD=AB,AB=CD. 又ABCD, 四边形ABCD是平行四边形. 又AB=AD,ABCD是菱形.,思路点拨:
4、(2)先由菱形的性质求得AO的长,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质求得OE的长.,判定菱形的思路: (1)利用边判定菱形的思路:平行四边形+一组邻边相等菱形;四边形+四条边相等菱形. (2)利用对角线判定菱形的思路:平行四边形+对角线互相垂直菱形.,正方形的性质与判定,例3 如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连结AF.,(1)求证:AE=BF.,思路点拨:(1)由正方形的性质,根据A.S.A.证明ABEBCF,可得结论;,(1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=BC,ABE=BCF=90. BAE+AEB=9
5、0. BHAE, AEB+CBF=90, BAE=CBF. 在ABE和BCF中, BAE=CBF,AB=BC,ABE=BCF, ABEBCF.AE=BF.,思路点拨:(2)根据三角形全等的性质可得CF=BE,进而求得DF的长,最后由勾股定理可求得AF的长.,(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.,(1)正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. (2)正方形的面积等于其对角线乘积的一半,还等于边长的平方.,1.(2019攀枝花)下列判定错误的是( ) (A)平行四边形的对边相等 (B)对角线相等的四边形是矩形 (C)对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (D)正方形既是轴对称图形,又是中
6、心对称图形,B,解析:选项B中,对角线相等的四边形不一定就是矩形,应为对角线相等的平行四边形是矩形,故选项B错误.故选B.,2.(2019宜宾)如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1,将ADE绕着点A顺时针旋转到与ABF重合,则EF等于( ),D,3.(2019眉山)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EFAC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是( ),B,A,5.(2018乐山)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使 AE=AC,连结CE,则BCE的度数是 度.,22.5,6.(2019内江)如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一点,点F是CD延长线上的一点,且BE=DF,连结AE,AF,EF.,(1)求证:ABEADF;,(2)若AE=5,请求出EF的长.,点击进入 实战演练,
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