1、第14讲 函数的综合应用,一次函数的应用,一次函数最优化问题,首先求出一次函数表达式,再求出自变量的取值范围,将表达式与自变量的取值范围结合在一起,利用一次函数的增减性,确定最优方案.,反比例函数的应用,反比例函数与一次函数的综合,在符合条件下把握要点,确定分段函数.,二次函数的应用,二次函数的最值的确定方法 (1)配方法:将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x= 时,y有最大(小)值= .,h,k,(2)公式法:如果函数y=ax2+bx+c在顶点处取得最大(小)值,即当x= 时, y有最大(小)值= .,一次函数的最优化问题,例1 (2018湘西)某商店销售A型和
2、B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元. (1)求y关于x的函数表达式;,思路点拨:(1)根据“总利润=A型电脑每台利润A电脑数量+B型电脑每台利润B电脑数量”可得函数表达式;,解:(1)根据题意,得 y=400x+500(100-x)=-100x+50 000.,(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?,思路点拨:(2)列不等式求得x的范围,再结合(1)所求函数表达式以及一次
3、函数的性质求解;,(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0a200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.,思路点拨:(3)列出函数表达式,分三种情况讨论.,当1000,y随x的增大而增大, 当x=60时,y取得最大值. 即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.,应用一次函数模型解决最优化问题要经过三步: (1)求出一次函数表达式; (2)列不等式(组)确定自变量取值范围; (3)由一次函数性质求出最大(小)值,确定最优方案.,一次函数与反比例函数综合实际应用,例2 (201
4、9青岛模拟)为了预防“甲型H1N1”,某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例,药物燃烧后,y与x成反比例,如图所示,现测得药物8 min燃毕,此时室内空气每立方米的含药量为6 mg,请你根据题中提供的信息,解答下列问题:,思路点拨:(1)用待定系数法求出函数的表达式;,(1)药物燃烧时,求y关于x的函数表达式,自变量x的取值范围是什么?药物燃烧后y与x的函数表达式呢?,思路点拨:(2)把y1.6代入反比例函数表达式,求出自变量x的取值范围即可;,(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 mg 时,学生方可进
5、教室,那么从消毒开始,至少需要几分钟后,学生才能进入教室?,思路点拨:(3)分别求出当y=3时的两个时间,再将两时间之差与10作比较,从而得出结论.,(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时,才能杀灭空气中的病菌,那么这次消毒是否有效?为什么?,一次函数与二次函数综合实际应用,思路点拨:(1)根据表格中的数据,运用待定系数法求出一次函数的表达式;,例3 (2019黔东南)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村组织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元,试销阶段每袋的销售价x(元)与该
6、土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表:,若日销售量y是销售价x的一次函数,试求: (1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式;,思路点拨:(2)求出每日的销售利润与销售价x的函数表达式,再应用二次函数的性质求出最大利润.,(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元?,解:(2)设每日销售的利润为w元,根据题意得 w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400 =-(x-25)2+225, -10, 当x=25时,w取得最大值,最大值为225, 要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应
7、定为25元,每日销售的最大利润是225元.,C,1.(2016宜宾)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,下列结论错误的是( ) (A)乙前4秒行驶的路程为48米 (B)在0到8秒内甲的速度每秒增加4米 (C)两车到第3秒时行驶的路程相等 (D)在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度,2.(2018巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m,在如图所示的平面直角坐标系中,下列说法正确的是( ),A,3.(2019攀枝花)攀枝花得天独厚,气
8、候宜人,农产品资源极为丰富,其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果,进价为10元/千克,售价不低于15元/千克,且不超过40元/千克.根据销售情况,发现该芒果在一天内的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)之间的数量满足如下表所示的一次函数关系.,(1)某天这种芒果的售价为28元/千克,求当天该芒果的销售量;,(2)设某天销售这种芒果获利m元,写出m与售价x之间的函数关系式,如果水果店该天获利400元,那么这天芒果的售价为多少元/千克?,解:(2)由题易知m=y(x-10)=(-x+60)(x-10)=-x2+70x-600, 当m=400时,则-x2+70x-600
9、=400, 解得,x1=20,x2=50, 15x40,x=20. 答:这天芒果的售价为20元/千克.,4.(2016内江)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.,(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x;,解:(1)根据题意得(30-2x)x=72, 解得x1=3,x2=12, 30-2x18, x6,x=12.,(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由; (3)当这个苗圃园的面积不小于100平
10、方米时,直接写出x的取值范围.,解:(2)30-2x8,x11,即6x11, 设苗圃园的面积为y平方米, y=x(30-2x)=-2x2+30x=-2(x-7.5)2+112.5, a=-20,当x=7.5时,y最大=112.5(平方米). 当x=6时,y=-236+306=108, 当x=11时,y=-2121+3011=88, 当x=11时,y最小=88(平方米). (3)由题意得-2x2+30x100,解得5x10, x6,6x10.,5.(2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y()与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB,BC表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.,请根据图中信息解答下列问题: (1)求这天的温度y与时间x(0x24)的函数关系式;,(2)求恒温系统设定的恒定温度; (3)若大棚内的温度低于10 时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?,解:(2)由(1)得恒温系统设定恒温为20 .,点击进入 实战演练,
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