1、模块五四边形第19讲多边形与平行四边形(参考用时:35分钟)A层(基础)1.(2019咸宁)若正多边形的内角和是540,则该正多边形的一个外角为(C)(A)45(B)60(C)72(D)90解析:设这个正多边形的边数为n,则(n-2)180=540,解得n=5.该正多边形的每个外角为3605=72.故选C.2.(2019泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列四组条件中,一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)(A)ADBC(B)OA=OC,OB=OD(C)ADBC,AB=DC(D)ACBD解析:A.只有一组对边平行,无法判定平行四边形,故A错误;B.根据对角线互相平分的四
2、边形是平行四边形可得结论,故B正确;C.一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可举反例“等腰梯形”,故C错误;D.对角线垂直的四边形不一定是平行四边形,故D错误.故选B.3.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是(D)(A)360(B)540(C)720(D)900解析:将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和之和为180+180=360;将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和之和为180+360=540;将矩形从一边剪向对边,得到两个四边形,两个多边形的内角和之和为360+360=720.将矩
3、形从一边剪向邻边,得到一个三角形和一个五边形,其内角和之和为180+540=720.故选D.4.(2019广州)如图,ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是(B)(A)EH=HG(B)四边形EFGH是平行四边形(C)ACBD(D)ABO的面积是EFO的面积的2倍解析:四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,AB=CD,ADBC,E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,EH=12AD=2,HG=12CD=12AB=1,EHHG,故A错误;E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,EH=1
4、2AD,FG=12BC,EHAD,FGBC,EH=FG,EHFG,四边形EFGH是平行四边形,故B正确;ABCD的对角线AC与BD不垂直,故C错误;点E,F分别为OA和OB的中点,EF=12AB,EFAB,OEFOAB,SOEFSOAB=(EFAB)2=14,即ABO的面积是EFO面积的4倍,故D错误.故选B.5.如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AEBC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为(D)(A)32(B)32(C)217(D)2217解析:AC=2,BD=4,四边形ABCD是平行四边形,AO=12AC=1,BO=12BD=2,AB=3,AB2+AO2=BO2
5、,BAO=90,在RtBAC中,BC=AB2+AC2=(3)2+22=7,SBAC=12ABAC=12BCAE,32=7AE,AE=2217,故选D.6.(2019广安)如图,正五边形ABCDE中,对角线AC与BE相交于点F,则AFE=72度.解析:五边形ABCDE是正五边形,EAB=ABC=(5-2)1805=108,BA=BC,BAC=BCA=36,同理ABE=36,AFE=ABF+BAF=36+36=72.7.已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x=4或-2.解析:根据题意画图如图所示,以O,A,
6、B,C为顶点的四边形是平行四边形,则C的坐标为(4,1)或(-2,1),则x=4或-2.8.(2019达州)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,BEO的周长是8,则BCD的周长为16.解析:ABCD的对角线AC,BD相交于点O,O为BD的中点,点E是AB的中点,OE是BAD的中位线,AD=2OE,BEO的周长为8,OB+OE+BE=8,AB+AD+BD=2BE+2OE+2OB=16,四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,BC=AD,BD+BC+CD=16,即BCD的周长是16.9.如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是180或360或
7、540.解析:正方形截去一个角后,得到的多边形可能是三角形或四边形或五边形,内角和分别是180,360,540.10.如图,分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边ACD、等边ABE,EFAB,垂足为F,连结DF,当ACAB=32时,四边形ADFE是平行四边形.解析:设AD=a,四边形ADFE是平行四边形,EF=AD=a.EFAB,ABE是等边三角形.AB=AE=233a.又ACD是等边三角形,AC=AD=a.ACAB=32.11.(2019乐山市市中区模拟)如图,在平行四边形ABCD中,ABC的平分线交CD于点E,ADC的平分线交AB于点F.求证:四边形DFBE是平行四边形.证明
8、:四边形ABCD是平行四边形,AD=CB,AB=CD,ABCD,A=C,ADC=ABC.又ADF=12ADC,CBE=12ABC,ADF=CBE.ADFCBE.AF=CE.AB-AF=CD-CE,即DE=FB.又DEBF,四边形DFBE是平行四边形.12.(2019荆门)如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=213.(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求证:BDBC.(1)解:作CEAB,交AB的延长线于点E,设BE=x,CE=h,在RtCEB中,根据勾股定理,得x2+h2=9, 在RtCEA中,根据勾股定理,得(5+x)2+h2=52, 联立,解得x=95,h=125
9、,S平行四边形ABCD=ABh=5125=12.(2)证明:作DFAB,垂足为F,DFA=CEB=90,四边形ABCD是平行四边形,AD=BC,ADBC,DAF=CBE,又DFA=CEB=90,AD=BC,ADFBCE(A.A.S.),AF=BE=95,BF=5-95=165,DF=CE=125,在RtDFB中,BD2=DF2+BF2=(125)2+(165)2=16,BD=4,BC=3,DC=5,CD2=DB2+BC2,BDBC.B层(能力)13.如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E,F是AB边上的点,且EF=12AB;G,H是BC边上的点,且GH=13BC.若S1,S2分别表示EO
10、F和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是S1=32S2.解析:连结OA,OB,OC(图略),由题意可知SOEF=12SOAB,SOGH=13SOBC,由于点O是平行四边形ABCD的对称中心,则有SOBC=SOAB,S1=32S2(也可以写出2S1=3S2或S2=23S1).14.(2019滨州)如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分BCD交AB于点E,交BD于点F,且ABC=60,AB=2BC,连结OE.下列结论:EOAC;SAOD=4SOCF;ACBD=217;FB2=OFDF.其中正确的结论有(填写所有正确结论的序号).解析:四边形ABCD是平行四边形,CDAB,OD=O
11、B,OA=OC,DCB+ABC=180,ABC=60,DCB=120,CE平分DCB,ECB=12DCB=60,EBC=BCE=CEB=60,ECB是等边三角形,EB=BC,AB=2BC,EA=EB=EC,ACB=90,OA=OC,EA=EB,OEBC,AOE=ACB=90,EOAC,故正确;OEBC,OEFBCF,OEBC=OFFB=12,OF=13OB,SAOD=SBOC=3SOCF,故错误;设BC=BE=EC=a,则AB=2a,AC=3a,OD=OB=a2+(32a)2=72a,BD=7a,ACBD=3a7a=217,故正确;OF=13OB=76a,BF=73a,BF2=79a2,OFD
12、F=76a(72a+76a)=79a2,BF2=OFDF,故正确.正确的结论为.15.(2019重庆B卷)在ABCD中,BE平分ABC交AD于点E.(1)如图1,若D=30,AB=6,求ABE的面积;(2)如图2,过点A作AFDC,交DC的延长线于点F,分别交BE,BC于点G,H,且AB=AF.求证:ED-AG=FC.(1)解:作BOAD交DA的延长线于O,如图所示.四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD,AEB=CBE,BAO=D=30,BO=12AB=62,BE平分ABC,ABE=CBE,ABE=AEB,AE=AB=6,SABE=12AEBO=12662=32.(2)证明:作AQBE交DF的延长线于P,垂足为Q,连结PB,PE,如图所示.AB=AE,AQBE,ABE=AEB,BQ=EQ,PB=PE,PBE=PEB,ABP=AEP,ABCD,AFCD,AFAB,BAF=90,AQBE,ABG=FAP,在ABG和FAP中,ABG=FAP,AB=AF,BAG=AFP=90,ABGFAP(A.S.A.),AG=FP,ABCD,ADBC,ABP+BPC=180,BCP=D,AEP+PED=180,BPC=PED,在BPC和PED中,BCP=D,BPC=PED,PB=PE,BPCPED(A.A.S.),PC=ED,ED-AG=PC-FP=FC.
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