1、模块七图形与变换第24讲尺规作图、视图与投影(参考用时:30分钟)A层(基础)1.(2019内江)下列几何体中,主视图是三角形的是(A)解析:A.圆锥的主视图是三角形,故此选项正确;B.三棱柱的主视图是长方形,中间还有一条竖线,故此选项错误;C.球的主视图是圆,故此选项错误;D.圆柱的主视图是长方形,故此选项错误.故选A.2.(2019南充)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是(C)解析:由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱.故选C.3.(2019达州)如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数,这个几何体的左视图是(C
2、)解析:从左面看可得到从左到右分别是3个,1个正方形.故选C.4.(2019宜昌)通过如下尺规作图,能确定点D是BC边中点的是(A)解析:选项A作的是BC的垂直平分线,选项B作的是AB的垂直平分线,选项C作的是BAC的角平分线,选项D作的是BC边上的高.只有作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点.选项A符合条件.故选A.5.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是(C)(A)12 cm2 (B)(12+)cm2(C)6 cm2(D)8 cm2解析:由三视图知该几何体是圆柱体,且底面直径是2 cm,高是3 cm,其侧面积为23=6(cm2).6.
3、(2019夏津县一模)在市委、市政府的领导下,全市人民齐心协力,努力将我市创建为“全国文明城市”,为此学生小红特制了一个正方体玩具,其展开图如图所示,则原正方体中与“文”字所对的面上标的字应是城.解析:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,“全”与“明”是相对面,“国”与“市”是相对面,“文”与“城”是相对面.7.(2019江川区模拟)一块直角三角形板ABC,ACB=90,BC=12 cm,AC=8 cm,测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm,则A1B1长为8cm.解析:ACB=90,BC=12,AC=8,AB=BC2+AC2=122+82=413,ABCA1B1C1,A1
4、B1AB=B1C1BC=2412=2,A1B1=2AB=2413=813(cm).8.(2019甘肃)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为等边三角形,则该几何体的左视图的面积为3 cm2.解析:由三视图可得该几何体是一个三棱柱,三棱柱的高为3 cm,底面等边三角形边长为2 cm,则高为3 cm,其左视图的面积为33=33(cm2).9.(2019成都)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M;以点M为圆心,以MN长为半径作弧,在COB内部交前面的弧于点N;过点N
5、作射线ON交BC于点E.若AB=8,则线段OE的长为4.解析:由作法得COE=OAB,OEAB,四边形ABCD为平行四边形,OC=OA,CE=BE,OE为ABC的中位线,OE=12AB=128=4.10.图所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图的几何体,一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(32+36) cm.解析:如图所示,BCD是等腰直角三角形,ACD是等边三角形,在RtBCD中,CD=BC2+BD2=6 cm,BE=CE=DE=12CD=32(cm),在RtACE中,AE=AC2-CE2=(62)2-(32)2=36(c
6、m),从顶点A爬行到顶点B的最短距离为(32+36) cm.11.(2019盐城)如图,AD是ABC的角平分线.(1)作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB,AC于点E,F;(用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)(2)连结DE,DF,四边形AEDF是形.(直接写出答案)解:(1)如图,直线EF即为所求的垂直平分线.(2)四边形AEDF是菱形.理由:AD平分BAC,BAD=CAD,AOE=AOF=90,AO=AO,AOEAOF(A.S.A.),AE=AF,EF垂直平分线段AD,EA=ED,FA=FD,EA=ED=DF=AF,四边形AEDF是菱形.12.(2019达州)如图,在
7、RtABC 中,ACB=90,AC=2,BC=3.(1)尺规作图:不写作法,保留作图痕迹.作ACB的平分线,交斜边AB于点D;过点D作BC的垂线,垂足为点E.(2)在(1)作出的图形中,求DE的长.解:(1)如图,CD为所作.如图,DE为所作.(2)CD平分ACB,BCD=ACD=12ACB=45,DEBC,CDE为等腰直角三角形,DE=CE,CDE=ECD=45,ACD=CDE,DEAC,BDEBAC,DEAC=BEBC,即DE2=3-DE3,DE=65.B层(能力)13.(2019宿迁)在RtABC中,C=90.(1)如图,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交B
8、C于点E,与边AC相切于点F.求证:1=2;(2)在图中作M,使它满足以下条件:圆心在边AB上;经过点B;与边AC相切.(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)(1)证明:如图,连结OF,AC是O的切线,OFAC,C=90,OFBC,1=OFB,OF=OB,OFB=2,1=2.(2)解:如图所示,M为所求.作法提示:作ABC的平分线交AC于F点;作BF的垂直平分线交AB于M;以M为圆心,MB为半径作圆,则M为所求.14.如图,在RtABC中,B=90,A=30,AC=23.(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE,垂足为E,交AB于点D;(保留作图痕迹,不写作法)(2)若ADE的周长为a,
9、先化简T=(a+1)2-a(a-1),再求T的值.解:(1)如图所示,DE即为所求.(2)由题可得,AE=12AC=3,A=30,RtADE中,DE=12AD,设DE=x,则AD=2x,x2+(3)2=(2x)2,解得x1=1,x2=-1(不合题意,舍去),ADE的周长a=1+2+3=3+3,T=(a+1)2-a(a-1)=3a+1,当a=3+3时,T=3(3+3)+1=10+33.15.几何体的三视图相互关联.已知直三棱柱的三视图如图,在PMN中,MPN=90,PN=4,sin PMN=45.(1)求BC及FG的长;(2)若主视图与左视图两矩形相似,求AB的长;(3)在(2)的情况下,求直三
10、棱柱的表面积.解:(1)过点P作PQMN交MN于点Q(图略),由题意知BC=MN,FG=PQ,MPN=90,sin PMN=PNMN=45,PN=4,BC=MN=5,PM=3,SPMN=12PMPN=12MNPQ,FG=PQ=PMPNMN=125.(2)矩形ABCD与矩形GFEH相似,且AB=EF,ABFG=BCEF,即AB125=5AB,AB=23.(3)直三棱柱的表面积为12342+523+323+423=12+243.16.(2019德州)如图,BPD=120,点A,C分别在射线PB,PD上,PAC=30,AC=23.(1)用尺规在图中作一段劣弧,使得它在A,C两点分别与射线PB和PD相
11、切.要求:写出作法,并保留作图痕迹;(2)根据(1)的作法,结合已有条件,请写出已知和求证,并证明;(3)求所得的劣弧与线段PA,PC围成的封闭图形的面积.解:(1)作法:分别以点A,C为圆心,以AC的长为半径画弧,两弧在BPD的内部相交于点O;以点O为圆心,以OA长为半径画劣弧AC即为所求,如图.(2)已知:BPD=120,PAC=30,OA=OC=AC.求证:射线PB,PD与O相切.证明:BPD=120,PAC=30,PCA=30,OA=OC=AC,OAC是等边三角形,OAC=OCA=60,OAP=OCP=30+60=90,射线PB,PD与O相切.(3)连结OP.OAC为等边三角形,OA=AC=23,AOC=60,PB,PD与O相切,OP平分APC,APO=60,AP=OAtan60=233=2,封闭图形的面积=S四边形APCO-S扇形AOC=212232-60(23)2360=43-2.
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