1、2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M1，2a，Na，b，若MN4，则MN（）A0，2，4B1，2，4C0，1，2D0，1，2，42（5分）若函数f（x）的定义域为（0，1），则f（x+1）的定义域为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（1，1）3（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+）上是增函数的是（）AyBy2x+2xCyx+Dyx3+x4（5分）若函数f（x）的唯一零点同时在区间（0，8），（0，4），（0，2）内，则下列命题
2、中正确的是（）A函数f（x）在区间（0，1）内有零点B函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点C函数f（x）在区间（1，8）内无零点D函数f（x）在区间2，8）内无零点5（5分）若a20.3，blog23，clog47，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcabDacb6（5分）已知曲线ylnx的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD7（5分）若函数f（x）x33x+m的极小值为1，则函数f（x）的极大值为（）A3B1CD28（5分）若yf（x）是函数y2x的反函数，则函数yf（x2+2x+3）的单调递增区间是（）A（，1）B（3，1）C（1，1）D（1，+）
3、9（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当0x1时，f（x）lgx，则f（）+lg5（）A0B1C2D310（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）lnxBf（x）xexCf（x）Df（x）11（5分）已知函数f（x），则函数g（x）f（x）+x3的零点个数为（）A1B2C3D412（5分）设函数f（x）ex（x1），函数g（x）mxm（m0），若对任意的x12，2，总存在而x22，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围是（）A3e2，B，e2C，+）De2，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（
4、5分）已知函数f（x），若f（f（0）2，则实数a的值为 14（5分）幂函数在（0，+）上为增函数，则m 15（5分）已知函数f（x）满足：f（x）0，且f（x）f（y）f（x+y）+f（xy）（x，yR），若f（1）4，则f（8） 16（5分）已知函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且f（1）0若x0时不等式xf（x）f（x）0，则不等式f（x）0的解集为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设全集为R，函数的定义域为A，集合Bx|x2+a0（1）当a4时，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围18（12分）已知二次
5、函数f（x）满足f（0）0，且对任意x恒有f（x+1）f（x）2x+2（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）f（x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数若对任意x0，1，函数yg（x）的图象恒在x轴上方，求实数的取值范围19（12分）已知函数f（x）loga（x+1）loga（1x）（a0且a1）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）0成立的x的取值范围20（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+3，其中a，bR，且曲线yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程为4x2y30（l）求a，b的值；（2）若曲线yf（x）与直线y2x+m有
6、三个不同的交点，求实数m的取值范围21（12分）某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元（1）写出y与x（x0，xN*）之间的函数关系式：（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润，22（12分）已知函数f（x）e
7、xax，其中aR，e为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，求函数f（x）在0，a上的最大值2017-2018学年山东省烟台市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合M1，2a，Na，b，若MN4，则MN（）A0，2，4B1，2，4C0，1，2D0，1，2，4【分析】根据M与N的交集，得到4属于M，属于N，进而确定出a与b的值，即可求出两集合的并集【解答】解：M1，2a，N（a，b），且MN4，2a4，且a4或b4，解得：a2，b4，M1，4，
8、N2，4，则MN1，3，4故选：B【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）若函数f（x）的定义域为（0，1），则f（x+1）的定义域为（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（1，1）【分析】根据函数f（x）的定义域得出x+1的取值范围，再求得x的取值范围即可【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，1），令0x+11，解得1x0，f（x+1）的定义域为（1，0）故选：A【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，是基础题3（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，+）上是增函数的是（）AyBy2x+2xCyx+Dyx3+x【分析】根据题意，依次分析选项中函数
9、的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y，其定义域为0，+），不是奇函数，不符合题意；对于By2x+2x，有f（x）f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意；对于C，yx+，在（0，+）上不是增函数，不符合题意；对于D，yx3+x，有f（x）f（x），是奇函数，且在（0，+）上，f（x）3x2+10，则函数f（x）在（0，+）上是增函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性的判定方法4（5分）若函数f（x）的唯一零点同时在区间（0，8），（0，4），（0，2）内，则下列命题中正确的是（）A函数f
10、（x）在区间（0，1）内有零点B函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点C函数f（x）在区间（1，8）内无零点D函数f（x）在区间2，8）内无零点【分析】由已知得到函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，从而得到函数f（x）在区间2，8）内无零点【解答】解：函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，8）、（0，4）、（0，2）内，函数f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，函数f（x）在区间2，8）内无零点故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意零点知识的合理运用5（5分）若a20.3，blog23，clog47，则a，b，c的大小关系为（）Aa
11、bcBbacCcabDacb【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解：0a20.3201，blog23log49clog47log441，a，b，c的大小关系为acb故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题6（5分）已知曲线ylnx的一条切线经过坐标原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率【解答】解：设切点坐标为（a，lna），ylnx，y，切线的斜率是，切线的方程为y+ln
12、a（xa），将（0，0）代入可得lna1，ae，切线的斜率是故选：D【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标7（5分）若函数f（x）x33x+m的极小值为1，则函数f（x）的极大值为（）A3B1CD2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案【解答】解：由题意函数f（x）x33x+m可得：f（x）3x23，令f（x）0，即3x230，解得：x11，x21，f（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，x11是极大值点，x21是极小值点，函数f（x）x33x+
13、m的极小值为1，可得13+m1，解得m1，函数的极大值为：f（1）1+3+13故选：A【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用8（5分）若yf（x）是函数y2x的反函数，则函数yf（x2+2x+3）的单调递增区间是（）A（，1）B（3，1）C（1，1）D（1，+）【分析】由yf（x）是函数y2x的反函数，得yf（x）log2x，根据复合函数单调性的判断方法可求得函数的单调增区间，注意函数的定义域【解答】解：由yf（x）是函数y2x的反函数，得yf（x）log2x，
14、则yf（x2+2x+3）log2（x2+2x+3），由x2+2x+30，解得1x3，所以函数yf（x2+2x+3）的定义域为（1，3）因为ylog2u单调递增，ux2+2x+3在（，1）上递增，所以ylog2（x2+2x3）的递增区间为（1，1）；故选：C【点评】本题考查复合函数的单调性、反函数的定义，属于基础题9（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x），当0x1时，f（x）lgx，则f（）+lg5（）A0B1C2D3【分析】推导出f（）+lg5f（）+lg5f（）+lg5lg+lg5lg2+lg5，由此能求出结果【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（x）
15、，当0x1时，f（x）lgx，f（）+lg5f（）+lg5f（）+lg5lg+lg5lg2+lg5lg101故选：B【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）Af（x）lnxBf（x）xexCf（x）Df（x）【分析】根据函数的定义域，单调性分别进行判断排除即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），则排除B，D，函数在定义域上不是单调递增函数，排除A，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的判断，结合函数图象的性质是解决本题的关键11（5分）已知函数f（x），则函数
16、g（x）f（x）+x3的零点个数为（）A1B2C3D4【分析】问题转化为函数f（x）和yx+3的图象的交点个数问题，结合图象读出即可【解答】解：令g（x）0，得：f（x）x+3，画出函数f（x）和yx+3的图象，如图示：，函数g（x）的零点个数即f（x）和yx+3的交点个数，结合图象有2个交点，故函数g（x）有2个零点，故选：B【点评】本题考查了一次函数以及指数函数，对数函数的性质，考查函数的零点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题12（5分）设函数f（x）ex（x1），函数g（x）mxm（m0），若对任意的x12，2，总存在而x22，2，使得f（x1）g（x2），则实数m的取值范围
17、是（）A3e2，B，e2C，+）De2，+）【分析】由题意可得f（x）在2，2的值域包含于g（x）的值域，运用导数和函数的单调性，即可得到所求范围【解答】解：f（x）ex（x1）的导数为f（x）xex，当x0时，f（x）递增；x0时，f（x）递减，即x0时，f（x）取得极小值，且为最小值1；由f（2）3e2，f（2）e2，可得f（x）在2，2的值域为1，e2，由g（x）mxm（m0）在2，2递增，可得g（x）的值域为3m，m，由对任意的x12，2，总存在而x22，2，使得f（x1）g（x2），可得1，e23m，m，即为3m1e2m，解得me2，故选：D【点评】本题考查任意存在性问题解法，注意运
18、用转化思想，考查函数的值域的求法，以及运算能力和推理能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知函数f（x），若f（f（0）2，则实数a的值为1【分析】利用分段函数求出f（0），然后求解方程得到a的值【解答】解：函数f（x），f（0）2，f（f（0）2，即f（2）2，可得4a22，解得a1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力14（5分）幂函数在（0，+）上为增函数，则m2【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案【解答】解：函数是幂函数可得m2m11解得m1或2，当m
19、1时，函数为yx3在区间（0，+）上单调递减，不满足题意；当m2时，函数为yx3在（0，+）上单调递增，满足条件故答案为：2【点评】本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性15（5分）已知函数f（x）满足：f（x）0，且f（x）f（y）f（x+y）+f（xy）（x，yR），若f（1）4，则f（8）4【分析】由已知条件利用递推思想依次能推导出函数f（0）8，f（2）4后，令xy2可求得f（4）4，同理可得f（8）的值，由此能求出结果【解答】解：函数f（x）满足：f（x）0，且f（x）f（y）f（x+y）+f（xy）（x，yR），f（1）4，取x1，y0代入f（x）f（y）f（x+y）+f（
20、xy），得f（1）f（0）f（1）+f（1）2f（1），解得f（0）8，则当x1，y1时，f（1）f（1）f（2）+f（0），解得f（2）4，当x2，y2时，f（2）f（2）f（4）+f（0），解得f（4）4，当x4，y4时，f（4）f（4）f（8）+f（0），解得f（8）4故答案为：4【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16（5分）已知函数f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且f（1）0若x0时不等式xf（x）f（x）0，则不等式f（x）0的解集为（0，1）（，1）【分析】构造函数g（x），求函数的导数，判断函数的单调
21、性，结合函数单调性和奇偶性的关系，将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：设g（x），则g（x），x0时不等式xf（x）f（x）0，此时g（x）0，x0，即此时函数g（x）为增函数，f（x）是定义在（，0）（0，+）上的奇函数，g（x）是偶函数，则当x0时，g（x）为减函数，f（1）0，g（1）0，g（1）0，当x0时，不等式f（x）0等价为0，即g（x）f（1）0，则0x1；当x0时，等式f（x）0等价为0，由g（x）f（1）0，得x1则不等式f（x）0的解集是（0，1）（，1）故答案为：（0，1）（，1）【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，判断函数的单调性，结合函数单调性和
22、奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）设全集为R，函数的定义域为A，集合Bx|x2+a0（1）当a4时，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围【分析】（1）求定义域得出集合A，求不等式的解集得出集合B，再求AB；（2）由ABB知BA，讨论B和B时，求出a的取值范围【解答】解：（1）由题意知2x2+5x+30，解得；令x240，解得时2x2；于是，Bx|2x2，所以ABx|2x3；（2）因为ABB，所以BA；当a0时，B时，满足题意；当a0时，令x2+a0，解得；当BA时，解得；综上所述，a的取值范
23、围是94或a0【点评】本题考查了求定义域和不等式解集的应用问题，也考查了集合的基本运算问题，是基础题18（12分）已知二次函数f（x）满足f（0）0，且对任意x恒有f（x+1）f（x）2x+2（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）f（x）f（x），其中f（x）为f（x）的导函数若对任意x0，1，函数yg（x）的图象恒在x轴上方，求实数的取值范围【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）求解g（x）的解析式，根据任意x0，1，函数yg（x）的图象恒在x轴上方，最小值大于0，即可求解实数的取值范围【解答】解：（1）由题意f（x）是二次函数，f（0）0，c0设f（x）ax2+bxf（x+1
24、）f（x）a（x+1）2+b（x+1）ax2bx2x+2解得：a1，b3f（x）的解析式：f（x）x23x（2）g（x）f（x）f（x）x23x（2x3）x2（3+2）x+3函数yg（x）的图象恒在x轴上方：即x0，1，x2（3+2）x+30结合根的分布，可得或解得：2故得实数的取值范围（2，+）【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，二次函数恒成立的问题属于基础题19（12分）已知函数f（x）loga（x+1）loga（1x）（a0且a1）（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）0成立的x的取值范围【分析】（1）根据对数的真数大于0，可
25、得x的范围，即定义域；（2）利用定义即可判断奇偶性；（3）运用对数的运算法则化简，对底数a讨论，求解f（x）0的x的取值范围即可，注意考虑定义域范围【解答】解：（1）要使f（x）有意义，必须1+x0且1x0，解得1x1所以f（c）的定义域为（1，1）（2）f（x）是奇函数证明如下：由（1）知f（x）的定义域为（1，1），关于原点对称，f（x）loga（x+1）loga（1+x）loga（x+1）loga（1x）f（x）f（x）为奇函数（3）由f（x）0，得loga（x+1）loga（1x）当a1时，ylogax为增函数，x+11x0，解得：0x1当0a1时，ylogax为减函数，0x+11x，
26、解得1x0综上可知，当a1时，x的取值范围为（0，1）；0a1时，x的取值范围为（1，0）【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题20（12分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+3，其中a，bR，且曲线yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程为4x2y30（l）求a，b的值；（2）若曲线yf（x）与直线y2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解a，b的方程组，可得a，b的值；（2）由题意可得x3x2+x+32x+m有三个不等实根，即有m3x3x2x有三个不等实根，求得yx3x2x的导数和单调性，可得极值
27、，令m3介于极小值和极大值之间，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（1）函数f（x）x3+ax2+bx+3的导数为f（x）x2+2ax+b，曲线yf（x）在点（3，f（3）处的切线斜率为9+6a+b，且f（3）9+9a+3b+33，9+6a+b2，解得a，b1；（2）曲线yf（x）与直线y2x+m有三个不同的交点，可得x3x2+x+32x+m有三个不等实根，即有m3x3x2x有三个不等实根，由yx3x2x的导数为yx2x1，可得x3或x时，函数y递增；x3时，函数y递减；则x3处，y取得极小值6；x处，y取得极大值可得6m3，即有3m，实数m的取值范围为（3，）【点评】本题考查导数的运用：求
28、切线的斜率和单调性、极值，考查转化思想、方程思想和运算能力，属于中档题21（12分）某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元（1）写出y与x（x0，xN*）之间的函数关系式：（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利
29、润，【分析】（1）设旅行团的人数为x人，旅行社获得的机票利润为y，根据条件建立函数关系；（2）利用分段函数，结合一元二次函数的性质即可得到结论【解答】解：（1）设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元，当1x30且xN时，y850，y800x12000当30x60且xN时，y85010（x30）115010x，y，（2）当1x30且xN时，Q850x12000，ymax850301200013500元当30x60且xN时，Q1150x10x212000，其对称轴为x57.5，故当x56或58时，ymax21060元所以当公司参加培训的员工为56或58时，培训机构
30、可获得最大利润，最大利润21060元【点评】本题考查函数的应用问题，考查函数的最大值的应用，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键22（12分）已知函数f（x）exax，其中aR，e为自然对数的底数（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，求函数f（x）在0，a上的最大值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最值即可【解答】解：f（x）的定义域是R，（1）f（x）exa，a0时，令f（x）0，解得：xlna，令f（x）0，解得：xlna，故f（x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增；a0时，f（x）0，f（x）在R递增；（2）由（1）a0时，f（x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增；lna0即0a1时，f（x）在0，a递增，f（x）maxf（a）eaa2，0lnaa即1aea时，f（x）在0，lna）递减，在（lna，a递增，故f（x）maxf（0）1或f（a）eaa2，lnaa即aea时，f（x）在0，a递减，f（x）maxf（0）1【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题
浙公网安备33030202001339号