1、2018-2019学年山东省枣庄市高二（上）期末数学试卷一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z（i为虚数单位），则z的虚部为（）ABCiDi2（5分）不等式（x1）（2x）0的解集为（）Ax|1x2Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x23（5分）曲线yxlnx在xe处的切线方程为（）AyxeBy2xeCyxDyx+14（5分）k9是方程表示双曲线的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件5（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值为（）ABC4D106（5分）已知an为等差数列，其
2、前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于（）A1BC2D37（5分）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）ABa2+b22ab（ab0）CD（ab0）8（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，用，表示向量为（）A+B+C+D+9（5分）设Sn是等比数列an的前n项和，若，则（）ABCD10（5分）已知函数f（x）ex+x2
3、+（3a+2）x在区间（1，0）上有最小值，则实数a的取值范围是（）ABCD11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左右顶点分别为A1、A2，M是双曲线上异于A1、A2的任意一点，直线MA1和MA2分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD12（5分）对于任意的实数x1，e，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13（5分）若不等式ax2+5x20的解集是，求a 14（5分）已知数列an中，an4n+5，等比数列
4、bn的公比q满足qanan1（n2），且b1a2，则|b1|+|b2|+|bn| 15（5分）函数y的最大值等于 16（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则|PF|的最小值是 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知复数z1i（1）设wz（1+i）13i，求|w|；（2）如果i，求实数a，b的值18（12分）已知函数f（x）x2ax （aR）（1）若a2，求不等式f（x）3的解集（2）若x1，+）时，f（x）x22恒成立，求a的取值范围19（12
5、分）已知数列an为等差数列，其中a2+a38，a53a2（1）求数列an的通项公式；（2）记，设bn的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的一点（）若点E为棱PC的中点，证明：BEDC；（）若BEAC，求二面角EABP的余弦值21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分別为F1，F2，且|F1F2|2，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，ABF1的周长为8（）求椭圆C的方程；（）试问：是否存在定点P（x0，0），使得为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由22（1
6、2分）已知函数f（x）xex+a（lnx+x），其中e为自然对数的底数（）若ae，求f（x）的单调区间；（）试当a0时，记f（x）的最小值为m，求证：m12018-2019学年山东省枣庄市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z（i为虚数单位），则z的虚部为（）ABCiDi【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由z，得z的虚部为故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）不等式（x1）（2x）0的解集为（）Ax|1x2
7、Bx|x1或x2Cx|1x2Dx|x1或x2【分析】此题是x的系数不为正的二次不等式，可转化为x的系数为正的整式不等式然后再利用二次不等式的解法即可求解【解答】解：（x1）（2x）0，（x2）（x1）0结合二次函数的性质可得解集为1x2故选：A【点评】主要考查了一元二次不等式的解法的解法，考查运算求解能力、化归与转化思想要保证x的系数均为正，这一点十分重要！3（5分）曲线yxlnx在xe处的切线方程为（）AyxeBy2xeCyxDyx+1【分析】求导函数，确定xe处的切线的斜率，确定切点的坐标，利用点斜式可得结论【解答】解：求导函数f（x）lnx+1，f（e）lne+12f（e）elnee曲线
8、f（x）xlnx在xe处的切线方程为ye2（xe），即y2xe故选：B【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，属于基础题4（5分）k9是方程表示双曲线的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件【分析】k9方程表示双曲线；方程k9或k4【解答】解：k9，9k0，k40，方程表示双曲线，方程表示双曲线，（9k）（k4）0，解得k9或k4，k9是方程表示双曲线的充分不必要条件故选：B【点评】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用5（5分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，
9、则a的值为（）ABC4D10【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到c的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出a的值【解答】解：双曲线方程化为 ，（1分）由此得a2，b，（3分）c，焦点为（，0），（，0）（7分）椭圆中，则a2b2+c29+716（11分）则a的值为4故选：C【点评】此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键6（5分）已知an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于（）A1BC2D3【分析】设
10、出等差数列的首项和公差，由a36，S312，联立可求公差d【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a36，S312，得：解得：a12，d2故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型7（5分）几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）ABa2+b22ab（ab0）CD（ab0）【分析】由图形可知OF，OC，在RtOC
11、F中，由勾股定理可求CF，结合CFOC即可得出【解答】解：由图形可知：OF，OC，在RtOCF中，由勾股定理可得：CF，CFOC，（a，b0）故选：D【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且，用，表示向量为（）A+B+C+D+【分析】如图所示，连接ON，AN，利用向量的中点公式可得（+）（+），（+），进而即可得出【解答】解：如图所示，连接ON，AN，则（+）（+），（+）（2+）（2+）+，所以（+）+故选：C【点评】熟练掌握向量的运算法则、中点公式等是解题的关键9（5分）
12、设Sn是等比数列an的前n项和，若，则（）ABCD【分析】利用等比数列的求和公式，化简，再代入计算，即可得出结论【解答】解：，q5049，故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）ex+x2+（3a+2）x在区间（1，0）上有最小值，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】f（x）ex+2x+3a+2函数f（x）ex+x2+（3a+2）x在区间（1，0）上有最小值，可得：函数f（x）ex+x2+（3a+2）x在区间（1，0）上有极小值，而f（x）ex+2x+3a+20在区间（1，0）上单调递增，f（x）ex+2x+3a+20在区间（1
13、，0）上必有唯一解x0，使得f（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，0）上单调递增利用函数零点存在定理即可的【解答】解：f（x）ex+2x+3a+2函数f（x）ex+x2+（3a+2）x在区间（1，0）上有最小值，函数f（x）ex+x2+（3a+2）x在区间（1，0）上有极小值，而f（x）ex+2x+3a+20在区间（1，0）上单调递增，f（x）ex+2x+3a+20在区间（1，0）上必有唯一解x0，使得f（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，0）上单调递增，解得1a实数a的取值范围是故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、等价转化方法、函数零点存在定理
14、，考查了推理能力与计算能力，属于难题11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的左右顶点分别为A1、A2，M是双曲线上异于A1、A2的任意一点，直线MA1和MA2分别与y轴交于P，Q两点，O为坐标原点，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD【分析】设M（x0，y0），P（0，yp），Q（0，yq），通过三点共线，求出yp，yq，利用等比数列求出b的范围，然后求解离心率即可【解答】解：设M（x0，y0），P（0，yp），Q（0，yq），由M，P，A1三点共线，可知yp，同理由M，P，A2三点共线，yq，所以|OP|OQ|，从而|OM|b，当ba时，满足
15、题意，所以e故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力12（5分）对于任意的实数x1，e，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】先分离函数，函数交点个数即为解的个数，然后分别求值域，求解【解答】解：原式可化简为：，令f（x）xlnxa，f（x）1+lnx0，故函数f（x）在x1，e上单调递增，f（x）a，ea；，故函数在（，0）上单调递增，（0，2）上单调递减，（2，+）上单调递增，g（y）图象如图：对于任意的实数x1，e，总存在三个不同的实数y，使得成立，则，即，故选：A【点评】本题考查函数与
16、方程，用到导数求单调性，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13（5分）若不等式ax2+5x20的解集是，求a2【分析】由题意知对应方程ax2+5x20的实数根是和2，利用根与系数的关系求得a的值【解答】解：不等式ax2+5x20的解集是，方程ax2+5x20的实数根和2，由根与系数的关系式得+2，解得a2故答案为：2【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系与应用问题，是基础题14（5分）已知数列an中，an4n+5，等比数列bn的公比q满足qanan1（n2），且b1a2，则|b1|+|b2|+|bn|4n1【分析】先由an4n+5及qanan1求出q，再由b1a
17、2，求出b1，从而得到bn，进而得到|bn|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+|bn|【解答】解：qanan1（4n+5）4（n1）+54，b1a242+53，所以bnb1qn13（4）n1，|bn|3（4）n1|34n1，所以|b1|+|b2|+|bn|3+34+342+34n134n1，故答案为：4n1【点评】本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题15（5分）函数y的最大值等于【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可【解答】解：函数的定义域是（0，+），y，令y0，解得：0x
18、e，令y0，解得：xe，故函数在（0，e）递增，在（e，+）递减，故xe时，函数取得最大值，最大值是，故答案为：【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题16（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重合），若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则|PF|的最小值是2【分析】先证明点P在抛物线的准线x1上，因此，原问题转化为准线上的动点P引抛物线的切线于Q，求切线PQ长的最小值，显然当P位于（1，0）时，切线长最短，即|PQ|minp2，从而可得|PF|的最小值【解答】解：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），设Q（a，
19、2），则kQF，以线段PQ为直径的圆恰好经过F，可得PFQF，PF的方程为y（x1）y24x，取y2，y，直线l的方程为y2（xa）联立，可得点P在抛物线的准线x1上，因此，原问题转化为准线上的动点P引抛物线的切线于Q，求切线PQ长的最小值，显然当P位于（1，0）时，切线长最短，即|PQ|minp2，此时a1，Q（1，2），|QF|2，|PF|的最小值是p2故答案为：2【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定点P在抛物线的准线x1上是关键三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知复数z1i（1）设wz（1+i）13i，
20、求|w|；（2）如果i，求实数a，b的值【分析】（1）利用复数的运算化简w，求模；（2）首先化简分子、分母，利用复数相等求a，b【解答】解（1）因为z1i，所以wz（1+i）13i13i （3分）|w|；（7分）（2）由题意得：z2+az+b（1i）2+a（1i）+ba+b（2+a）i；（1+i）i1+i所以，（12分）解得（14分）【点评】本题考查了复数的相等，复数的运算；比较基础18（12分）已知函数f（x）x2ax （aR）（1）若a2，求不等式f（x）3的解集（2）若x1，+）时，f（x）x22恒成立，求a的取值范围【分析】（1）若a2，f（x）3，即x22x30，解得答案；（2）f（
21、x）x22，即a2（x+）在x1，+）时恒成立，构造函数h（x）2（x+），求出最小值，可得a的取值范围【解答】解：（1）若a2，f（x）3，即x22x30即（x3）（x+1）0 所以x|x1或x3（6分）（2）解：f（x）x22，即a2（x+）在x1，+）时恒成立，（8分）令h（x）2（x+），等价于ah（x）min在x1，+）时恒成立，（10分）所以，当且仅当x，即x1时，取等号；所以a4（12分）故所求a的取值范围是a4（13分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，难度中档19（12分）已知数列an为等差数列，其中a2+a38，a53a2（1）求数列an
22、的通项公式；（2）记，设bn的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得【分析】（1）利用等差数列的通项公式，列出方程组求解数列的首项以及公差，然后求解通项公式（2）化简新数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和，然后列出不等式求解即可【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，依题意有，解得a11，d2，从而an的通项公式为；（2）因为，所以令，解得n1009，故取n1010【点评】本题考查数列的应用，数列与不等式相结合，数列求和的应用，考查计算能力20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的一点（）若点E为棱PC的中点
23、，证明：BEDC；（）若BEAC，求二面角EABP的余弦值【分析】（1）根据题目条件，可以使用平行四边形法证明垂直，也可以使用空间向量法直接证垂直；（2）根据（1）当中建系所得的坐标，以及新条件的垂直，重新得到E点的坐标，再进行常规的二面角的空间向量运算过程【解答】证明：（1）因为PA底面ABCD，AD底面ABCD，AB底面ABCD，所以：PAAD，PAAB，又因为ADAB，所以PA、AD、AB两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：可得，B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），因为点E为棱PC的中点，得E（1，1，1），故，所以，所以BEDC（2
24、），不妨设，故，由BEAC，得，解得，即，设（x，y，z）为平面EAB的法向量，则，即，不妨令z1，可得为平面EAB的一个法向量，易知平面ABP的一个法向量，则，且二面角EABP是锐角，所以余弦值为【点评】（1）本题考查异面直线的垂直，考查利用空间向量法证垂直，属于中档题；（2）本题考查二面角，考查利用空间向量先求出给定点的坐标，再进行其它运算，考验图形转化代数的能力，属于中档题21（12分）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分別为F1，F2，且|F1F2|2，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，ABF1的周长为8（）求椭圆C的方程；（）试问：是否存在定点P（x0，0），使得为定值？若存在
25、，求x0；若不存在，请说明理由【分析】（）由题意及a，b，c的关系直接得椭圆方程；（）先假设存在，分斜率存在和不存在两种情况讨论数量积为定值时的P的横坐标【解答】解：（）由题意得：2c2，4a8，b2a2c2，a24，b23，所以椭圆的方程：1；（）假设存在定点P（x0，y0），使得为定值；当直线的斜率存在时，设直线AB为yk（x1），设A（x，y），B（x，y），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x28k2x+4k2120，x+x，xx，yyk2xx（x+x）+1，（xx0，y），（xx0，y），（xx0）（xx0）+yyxxx0（x+x）+x02+yy，因为为定值，所以解得x，此时当直
26、线AB的斜率不存在时，则由（）得，直线AB为x1，与椭圆联立得：y，即A（1，），B（1，），则（x01）2，当x0，得，综上所述：存在定点P（），使得为定值【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题22（12分）已知函数f（x）xex+a（lnx+x），其中e为自然对数的底数（）若ae，求f（x）的单调区间；（）试当a0时，记f（x）的最小值为m，求证：m1【分析】（）将ae代入，求导后容易求得单调区间；（）利用导数求证即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当ae时，函数m（x）xexe，x0单调递增，且m（1）0，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，函数f（x）的单
27、调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+）；（）证明：由（）得f（x）的定义域是（0，+），令g（x）xex+a，则g（x）（x+1）ex0，g（x）在（0，+）上单调递增，a0，g（0）a0，g（a）aea+aa+a0，故存在x0（0，a），使得，当x（0，x0）时，g（x）0，故f（x）0，f（x）单调递减，当x（x0，+）时，g（x）0，故f（x）0，f（x）单调递增，故xx0时，f（x）取得最小值，即，由得：，令xa0，h（x）xxlnx，则h（x）lnx，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，故x1，即a1时，h（x）xxlnx取最大值1，故m1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查利用导数证明不等式，考查推理论证能力，属于中档题
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