1、2018-2019学年山东省青岛市开发区高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线l：x+y30的倾斜角为（）A30B60C120D902（5分）直线l1：x+y20与直线互相垂直，则实数a的值为（）A1B1C1D03（5分）命题“对任意的xR”，都有ex+ln（x2+1）0的否定为（）A对任意的xR，都有ex+ln（x2+1）0B不存在xR，使得ex+ln（x2+1）0C存在x0R，使得ex+ln（x2+1）0D存在x0R，使得ex+ln（x2+1）04（5分）圆A：x2+y21与圆B：x24x+y250的
2、公共点个数为（）A0B3C2D15（5分）设aR，则“a3”是“直线ax+2y+3a0和直线3x+（a1）ya7平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（5分）曲线|x|+|y|1围成的封闭图形面积为（）A1BC4D27（5分）圆（x1）2+y210内过点A（a，1）的最短弦长为6，则实数a的值为（）A1B1C2D28（5分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB9（5分）过点（0，4）的直线l与x2+y24有两个不同的公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）ABCD10
3、（5分）方程x2+y2ax+2y+10不能表示圆，则实数a的值为（）A0B1C1D211（5分）直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）ABCy3x3D12（5分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）21B（x2）2+（y+1）21C（x+2）2+（y1）21D（x3）2+（y1）21二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13（5分）过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是 14（5分）圆C：x2+（y1）21关于直线l：x+ym对称，则实数m的值为 15（5分）在正方体ABCD
4、A1B1C1D1中，若，则x+y+z的值为 16（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离为1，则半径r的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17（1）已知圆S经过A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2xy40上，求圆S的方程（2）求圆心在原点且圆周被直线3x+4y+150分成1：2两部分的圆的方程18（1）如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，求B，D两点间的距离（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别为A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，求BM
5、与AN所成的角的余弦值19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，直线AP平面CDP，已知APDP2，E为线段DP的中点（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求四棱锥EABCD的体积20O为坐标原点，直线，l与圆相切，l与圆相交于A，B两点，|AB|2，0r1r2（1）求圆C1，圆C2的标准方程；（2）直线m过E（1，0）交圆C2于CD两点，过E作OC的平行线交OD于点W，求|WE|+|WO|的值21如图几何体ABCDEF中，等边三角形ADE所在平面垂直于矩形ABCD所在平面，又知AB2，EFAB，EF1（1）若ED的中点为M，N在线段AB上，MN平面BCF，求|BN|；（2）若
6、平面ABFE与平面BCF所成二面角的余弦值为，求直线AE与平面BCF所成角的正弦值；（3）若AD中点为O，求O在平面BCF上的正投影22已知曲线l：yk|x|6（k0）与圆相交于A，B，C，D四个点，|AB|CD|，A，D在y轴右侧，O为坐标原点（1）当曲线l与圆恰有两个两个公共点时，求k；（2）当OAD面积最大时，求k；（3）证明：直线AC与直线BD相交于定点E，求求出点E的坐标2018-2019学年山东省青岛市开发区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线l：x+y30的倾斜角为（）A
7、30B60C120D90【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式，即可得到所求倾斜角【解答】解：直线l：x+y30，可得y3x，即有直线的斜率为k，设倾斜角为，即有tan，由为钝角，可得120，故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角，注意运用直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力，属于基础题2（5分）直线l1：x+y20与直线互相垂直，则实数a的值为（）A1B1C1D0【分析】利用相互垂直即可得出【解答】解：由直线l1：x+y20与直线互相垂直，则1a20，解得a1故选：C【点评】本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）命题“对
8、任意的xR”，都有ex+ln（x2+1）0的否定为（）A对任意的xR，都有ex+ln（x2+1）0B不存在xR，使得ex+ln（x2+1）0C存在x0R，使得ex+ln（x2+1）0D存在x0R，使得ex+ln（x2+1）0【分析】根据全称命题的否定是特此命题即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，命题的否定是存在x0R，使得ex+ln（x2+1）0，故选：D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础4（5分）圆A：x2+y21与圆B：x24x+y250的公共点个数为（）A0B3C2D1【分析】根据圆心距等于两圆半径之和可得两圆外切，所以只有一个公共点【解答】解：因为圆B：（x2）2+
9、y21，其圆心为B（2，0），半径为1，圆A的圆心A（0，0），半径为1，所以圆心距为|AB|2，半径之和为1+12，所以两圆外切，只有一个公共点故选：D【点评】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定属基础题5（5分）设aR，则“a3”是“直线ax+2y+3a0和直线3x+（a1）ya7平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先判断当a3成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有a3成立，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：当a3时，两条直线的方程分别是3x+2y+90和3x+2y+40，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行
10、时，有但即a3或a2，a2时，两条直线都为xy+30，重合，舍去a3所以“a3”是“直线ax+2y+2a0和直线3x+（a1）ya+70平行”的充要条件故选：C【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，也不应该先化简各个命题，再判断是否相互推出6（5分）曲线|x|+|y|1围成的封闭图形面积为（）A1BC4D2【分析】曲线|x|+|y|1围成的封闭图形面积，如阴影部分所示，即可求出答案【解答】解：曲线|x|+|y|1围成的封闭图形面积，如阴影部分所示，故面积为222，故选：D【点评】本题考查了曲线所围成的面积，属于基础题7（5分）圆（x1）2+y210内过点A（a，1）的最短弦长为6，则实数
11、a的值为（）A1B1C2D2【分析】根据题意，设圆（x1）2+y210的圆心为M，分析可得当MA与弦垂直时，过点A（a，1）的弦的弦长最短，此时有109（a1）2+1，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，设圆（x1）2+y210的圆心为M，则M（1，0），当MA与弦垂直时，过点A（a，1）的弦的弦长最短，此时有109（a1）2+1，解可得：a1，故选：B【点评】本题考查直线与圆相交的性质，注意过点A的最短弦的条件，属于基础题8（5分）已知平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），则直线AB与平面的位置关系为（）AABBABCAB与相交但不垂直DAB【分析】根据平面的法向量与空间向
12、量的共线关系，即可判断直线AB与平面垂直【解答】解：平面的法向量为（2，2，4），（1，1，2），即直线AB与平面垂直故选：A【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题9（5分）过点（0，4）的直线l与x2+y24有两个不同的公共点，则直线l的倾斜角的范围是（）ABCD【分析】当直线l无斜率即倾斜角为时，符合；当直线l有斜率时，设出斜截式方程，然后根据圆心到直线的距离小于半径列式，可得斜率的范围，然后得倾斜角的范围【解答】解：当直线l的倾斜角为时，显然满足题意；当直线l的倾斜角不等于时，存在斜率，设为k，则直线l：ykx+4，即kxy+40，依题意圆心（0，0）到直线l的距离小
13、于半径2，2，解得：k或k，倾斜角（，）（，），综上所述：倾斜角的取值范围是：（，），故选：B【点评】本题考查了直线与圆的位置关系属中档题10（5分）方程x2+y2ax+2y+10不能表示圆，则实数a的值为（）A0B1C1D2【分析】首先把圆的一般式转换为标准式，进一步利用圆存在的充要条件求出结果【解答】解：方程x2+y2ax+2y+10转换为标准式为：，由于该方程不能表示圆，故：a0，故选：A【点评】本题考查的知识要点：圆的一般式和标准式的转换，圆存在的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）
14、ABCy3x3D【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程【解答】解：直线y3x绕原点逆时针旋转90两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选：A【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题12（5分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）21B（x2）2+（y+1）21C（x+2）2+（y1）21D（x3）2+（y1）21【分析】要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出
15、关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可【解答】解：设圆心坐标为（a，b）（a0，b0），由圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离dr1，化简得：|4a3b|5，又圆与x轴相切，可得|b|r1，解得b1或b1（舍去），把b1代入得：4a35或4a35，解得a2或a（舍去），圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x2）2+（y1）21故选：A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，
16、以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13（5分）过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是【分析】由两点式写出直线方程，取y0求得直线在x轴上的截距【解答】解：由直线方程的两点式，得过两点（1，1）和（3，9）的直线方程为：整理得：2xy+30取y0，得x过两点（1，1）和（3，9）的直线在x轴上的截距是故答案为：【点评】本题考查了直线方程的两点式，考查了截距的概念，是基础题14（5分）圆C：x2+（y1）21关于直线l：x+ym对称，则
17、实数m的值为1【分析】圆关于直线对称等价于圆心在直线上【解答】解因为圆C：x2+（y1）21关于直线x+ym对称，所以圆心C（0，1）在直线x+ym上，所以0+1m，即m1，故答案为：1【点评】本题考查了圆关于直线对称问题属基础题15（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，若，则x+y+z的值为0【分析】如图所示，+，又，可得x，y，z【解答】解：如图所示，+，又，则x1，y1，z0x+y+z的值为0故答案为：0【点评】本题考查了空间平面向量法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（5分）若圆（x3）2+（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离为1，则半径r的取值范围是
18、（4，6）【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5r|1，解此不等式求得半径r的取值范围【解答】解：圆心P（3，5）到直线4x3y2的距离等于5，由|5r|1，解得：4r6，则半径r的范围为（4，6）故答案为：（4，6）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法，列出关于r的不等式是解本题的关键三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤17（1）已知圆S经过A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2xy40上，求圆S的方程（2）求圆心在原点且圆周被直线3x+4y+150分成1：2两部分的圆的方
19、程【分析】（1）线段AB的中垂线方程：yx，联立，得S（4，4），由此能求出圆S的半径|SA|（2）圆周被直线分成1：2两部分即AOB360120，又因为圆心是坐标原点，求出原点到直线的距离，根据在直角三角形中利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出圆的半径，即可得到圆的方程【解答】解：（1）线段AB的中垂线方程：yx，联立，得S（4，4），A（7，8），圆S的半径|SA|5圆S的方程为（x4）2+（y4）225（2）如图，因为圆周被直线3x+4y+150分成1：2两部分，所以AOB120而圆心到直线3x+4y+150的距离d3，在AOB中，可求得OA6所以所求圆的方程为x2+y236【点评】
20、考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程18（1）如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，求B，D两点间的距离（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别为A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，求BM与AN所成的角的余弦值【分析】（1）由，能求出B，D两点间的距离（2）以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM与AN所成的角的余弦值【解答】解：（1），|2|2+|2+|2+2+2+21+1+13，B，D两点
21、间的距离|（2）以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设CACB1，则B（0，1，0），M（，1），A（1，0，0），N（），则（，1），（），设BM与AN所成的角为，则cosBM与AN所成的角的余弦值为【点评】本题考查两点间距离的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，直线AP平面CDP，已知APDP2，E为线段DP的中点（1）求证：平面PAD平面ABCD；（2）求四棱锥EABCD的体积【分析】（1）
22、推导出CDAD，CDAP，从而CD平面APD，由此能证明平面PAD平面ABCD（2）求出点P到平面ABCD的距离h，点E到平面ABCD的距离d，由此能求出四棱锥EABCD的体积【解答】证明：（1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，直线AP平面CDP，CDAD，CDAP，ADAPA，CD平面APD，CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD解：（2）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，直线AP平面CDP，已知APDP2，E为线段DP的中点点P到平面ABCD的距离h，点E到平面ABCD的距离d，S正方形ABCDABAD8，四棱锥EABCD的体积V【点评】本题考查面面垂直的证明，考查
23、四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20O为坐标原点，直线，l与圆相切，l与圆相交于A，B两点，|AB|2，0r1r2（1）求圆C1，圆C2的标准方程；（2）直线m过E（1，0）交圆C2于CD两点，过E作OC的平行线交OD于点W，求|WE|+|WO|的值【分析】（1）直接由点到直线距离公式得r1，由勾股定理得r2；（2）利用平行和等腰转化线段和，成为半径，得解【解答】解：（1）由题意，O为圆C1和C2的圆心，直线l与圆C1相切，O到直线l的距离即为r1又直线l与圆C2相交，弦长|AB|2由弦心距，半弦长，半径构成的直
24、角三角形可得r22r12+124，即r22圆C1的方程为：x2+y23；圆C2的方程为：x2+y24（2）如图，ODOCOCDODCEWOCWEDOCDODCWEDWEWD|WE|+|WO|WD|+|WO|r22【点评】此题考查圆的方程，点到直线距离，线段的转化方法等，应属于中档题21如图几何体ABCDEF中，等边三角形ADE所在平面垂直于矩形ABCD所在平面，又知AB2，EFAB，EF1（1）若ED的中点为M，N在线段AB上，MN平面BCF，求|BN|；（2）若平面ABFE与平面BCF所成二面角的余弦值为，求直线AE与平面BCF所成角的正弦值；（3）若AD中点为O，求O在平面BCF上的正投影
25、【分析】（1）如图所示，取CF的中点G，连接MG，GB由梯形的中位线定理可得：MGCD，MG（EF+BC）又DCAB，可得：MGAB因此MNBG四点共面根据MN平面BCF，可得MNBG，可得四边形MNBG为平行四边形即可得出（2）取AD的中点为O，BC的中点为H又ADE为等边三角形，EOAD等边三角形ADE所在平面垂直于矩形ABCD所在平面，可得EO平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系设AD2t0设平面ABFE的法向量为（x，y，z）可得0，可得；同理可得：平面BCF的法向量可得cos，解得t直线AE与平面BCF所成角的正弦值（3）由（2）可知：BC平面OHFEOFBC，又AD，OE1又在
26、OFH中，OH2，OFFH利用勾股定理的逆定理及其线面垂直的判定定理即可得出【解答】解：（1）如图所示，取CF的中点G，连接MG，GB由梯形的中位线定理可得：MGCD，MG（EF+BC）又DCAB，可得：MGAB因此MNBG四点共面MN平面BCF，平面BCF平面MNBGBG，MNBG，可得四边形MNBG为平行四边形BNMG（2）取AD的中点为O，BC的中点为H又ADE为等边三角形，EOAD等边三角形ADE所在平面垂直于矩形ABCD所在平面，平面ADE平面ABCDAD，EO平面ABCD建立如图所示的空间直角坐标系设AD2t0A（t，0，0），E（0，0，t），B（t，2，0），C（t，2，0），
27、F（0，1，t），则（t，0，t），（0，2，0），设平面ABFE的法向量为（x，y，z）则0，可得2y0，取x，则z1，y0（，0，1）同理可得：平面BCF的法向量（0，t，1）cos，解得tAD1直线AE与平面BCF所成角的正弦值（3）由（2）可知：BC平面OHFEOFBC，又AD，OE1又在OFH中，OH2，OF，FHOFFH，OF平面BCF，O在平面BCF上的正投影为点F【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题22已知曲线l：yk|x|6（k0）与圆相交于A，B，C，D四个点，|AB|CD|
28、，A，D在y轴右侧，O为坐标原点（1）当曲线l与圆恰有两个两个公共点时，求k；（2）当OAD面积最大时，求k；（3）证明：直线AC与直线BD相交于定点E，求求出点E的坐标【分析】（1）利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径容易求解；（2）利用三角形面积公式找到最大值情形后不难求解；（3）以求代证，综合性较强【解答】解：（1）由题意可得，圆C1与直线AD，BC均相切，根据对称性，我们只需考虑AD，直线AD的方程为：ykx6，即kxy60，2，又k0解得k2（2）SAOD|OA|OD|sinAOD8sinAOD当AOD90时，SAOD最大，此时易得O到直线AD的距离为2，2，且k0解得k（3）证明：设E（0，m），A（x1，y1），D（x2，y2）由对称性可知kAC+kBD0，kEA+kED0+0+0得2kx1x2（m+6）（x1+x2）0（*）把直线AD的方程代入圆C2的方程得（1+k2）x212kx+200x1+x2，x1x2，代入（*）式得0解得m，直线AC与直线BD相交于定点E（0，）【点评】本题考查了直线与圆相切，三角形面积最值求法，直线方程与曲线方程联立等知识，综合性较强
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