1、2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期中数学试卷一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若0，则下列不等式中不正确的是（）Aa+babB+2Cabb2Da2b22（4分）渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是（）AB1CD23（4分）若条件p：|x|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A2，+）B（，2C2，+）D（，24（4分）已知等差数列an中，a111，前7项的和S735，则前n项和Sn中（）A前6项和最小B前7项和最小C前6项和最大D前7项和最大5（4分）
2、若关于x的不等式log2（ax22x+3）0的解集为R，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）6（4分）已知等比数列an，且a6+a84，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A2B4C8D167（4分）过双曲线1（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于P，若2，则双曲线的渐近线为（）AyxByxCyxDyx8（4分）若不等式x2px+q0，（其中p0，q0）的解集为（a，b），且a，b，2这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p+q的值等于（）A7B8C9D109（4分）已知椭圆+1（ab0）短轴的两个端点
3、为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）ABCD10（4分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1记作数列an，若数列an的前n项和为Sn，则S47（）A265B521C1034D2059（二）多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选
4、对得4分，部分选对得2分，错选得0分.11（4分）已知数列是an是正项等比数列，且，则a5的值可能是（）A2B4CD12（4分）已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线1的离心率为（）ABCD13（4分）已知各项均为正项的等比数列an，a11，0q1，其前n和为Sn，下列说明正确的是（）A数列lnan为等差数列B若SnAqn+B，则A+B0CSnS3nS2n2D记Tna1a2an，则数列Tn有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.14（4分）已知命题p：x0，x30，那么p是 15（4分）记Sn为等差数列an的前n项和，a10，3a55a3
5、，则 16（4分）已知x，y（0，+），2x1（）y，若+（m0）的最小值为3，则m的值为 17（4分）如图，过抛物线y24x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若4，则直线AB的方程 ，线段| 四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且1，an，Sn成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn1+2nan，求数列bn的前n项和Tn19（14分）已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比它到直线l：x2的距离小l，已知过F的两条直线l1，l2的斜率之积为1，且l1，l2分别交曲线
6、C于A，B两点和C，D两点，（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|+|CD|的最小值20（14分）已知数列an是递增的等比数列，且a1+a49，a2a38（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn21（14分）已知f（x）ax2（a+1）2x+2（a2+1），aR（1）若a1时，当x1时，求y的最小值（2）求关于x的不等式f（x）0的解集22（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：Et2+20t+16
7、a；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50（1）当a1时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef（t），并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围23（14分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为（）求椭圆E的方程；（）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A、B两点，过原点的直线l2交椭圆于
8、C、D两点若l1l2，求证：为定值2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）若0，则下列不等式中不正确的是（）Aa+babB+2Cabb2Da2b2【分析】根据不等式性质进行判断即可【解答】解：若0，则ba0，则a2b2，其余不正确，故选：D【点评】本题主要考查不等式性质的应用，根据倒数的性质求出a，b的关系是解决本题的关键比较基础2（4分）渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是（）AB1CD2【分析】由渐近线方程，转化求解双曲
9、线的离心率即可【解答】解：根据渐近线方程为xy0的双曲线，可得ab，所以c则该双曲线的离心率为 e，故选：C【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题3（4分）若条件p：|x|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A2，+）B（，2C2，+）D（，2【分析】求出命题p，q对应的集合A，B，由p是q的充分不必要条件，得AB，求得a的取值范围即可【解答】解：p：|x|22x2，条件q：xa，设Ax|2x2，Bx|xa；由p是q的充分不必要条件，AB，a2；故a的取值范围是2，+）故选：A【点评】本题考查了充分必要条件与集合的关系，绝对值不等式的解法，属于基础题
10、4（4分）已知等差数列an中，a111，前7项的和S735，则前n项和Sn中（）A前6项和最小B前7项和最小C前6项和最大D前7项和最大【分析】先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需an0，进而求得n的范围【解答】解：由等差数列求和公式S7711+，d35可得d2，则an11+（n1）（2）132n，要使前n项和最大，只需an0即可，故132n0，解之得n6.5，故前6项的和最大故选：C【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用考查了学生对等差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用5（4分）若关于x的不等式log
11、2（ax22x+3）0的解集为R，则a的取值范围是（）A（0，）B（0，）C（，+）D（，+）【分析】由题意可得 ax22x+20恒成立，可得 ，由此求得a 的范围【解答】解：关于x的不等式log2（ax22x+3）0的解集为R，ax22x+31恒成立，即 ax22x+20恒成立，求得a，故选：C【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，二次函数的性质，属于基础题6（4分）已知等比数列an，且a6+a84，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A2B4C8D16【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，qN*，且m+np+q，则有amanapaq可得，a8（
12、a4+2a6+a8）（a6+a8）2，将条件代入得到答案【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）a8a4+2a8a6+a82，a6+a84，a8a4+2a8a6+a82（a6+a8）216故选：D【点评】本题考查了在等比数列的性质：若m，n，p，qN*，且m+np+q，则有amanapaq，关键是熟练掌握等比数列的性质，需要根据条件正确的转化7（4分）过双曲线1（a0，b0）的左焦点F作圆x2+y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于P，若2，则双曲线的渐近线为（）AyxByxCyxDyx【分析】由2，知E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，则|PF|2|OE|a，运用双
13、曲线的定义可得|PF|PF|+2aa，在RtPFF中，|PF|2+|PF|2|FF|2，可得a，c的关系，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程【解答】解：由2，可得E为PF的中点，令右焦点为F，O为FF的中点，则|PF|2|OE|a，由E为切点，可得OEPF，即有PFPF，由双曲线的定义可得|PF|PF|2a，即|PF|PF|+2aa，在RtPFF中，|PF|2+|PF|2|FF|2，即a2+a24c2，即ca，ba，则双曲线的渐近线方程为yx，即yx，故选：A【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程，注意运用直线和圆相切的性质，以及双曲线的中位线定理，
14、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题8（4分）若不等式x2px+q0，（其中p0，q0）的解集为（a，b），且a，b，2这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p+q的值等于（）A7B8C9D10【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+bp，abq，再由a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案【解答】解：不等式x2px+q0，（其中p0，q0）的解集为（a，b），可得a，b为方程x2px+q0的两根，则a+bp，abq，p0，q0，可得a0，b0，又a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也
15、可适当排序后成等比数列，可得或解得a4，b1；解得a1，b4pa+b5，q144，则p+q9故选：C【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题9（4分）已知椭圆+1（ab0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得A（0，b），B（0，b），设C（x0，y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得【解答】解：由题意可得A（0，b），B（0，b），设C（x0，y0），由C在椭圆上可得+1，即有x02，由直线A
16、C与BC的斜率之积为，可得，即为x024（b2y02），由代入可得4，即a2b，ca，可得离心率e故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题10（4分）杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1记作数列an，若数列an的前n项和为Sn，则S47（）A265B521C1034D2059【分析】计算出第47项所
17、在的行，以及所在行的项数，结合杨辉三角与二项式系数的关系计算即可【解答】解，依题意，第k行有k项，令47，得k9，又472，故a47为第10行第二项，所以S471+（1+1）+（1+2+1）+（1+8+8+1）+1+920+21+28+1+9+10521，故选：B【点评】本题考查了归纳推理及等比数列前n项和，考查归纳能力和计算能力，属于中档题（二）多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分.11（4分）已知数列是an是正项等比数列，且，则a5的值可能是（）A2B4CD【分析】根据基本不等式
18、的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出a5的范围，即可得到所求【解答】解：依题意，数列是an是正项等比数列，a30，a70，a50，2，因为a50，所以上式可化为a52，当且仅当a3，a7时等号成立故选：ABD【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力属于中档题12（4分）已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线1的离心率为（）ABCD【分析】运用等比数列的中项性质，解方程可得a，分别运用椭圆和双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值【解答】解：三个数1，a，9成等比数列，可得a29，即a3，若a3，则圆锥曲线1即为椭圆+1
19、，可得离心率为；若a3，则圆锥曲线1即为双曲线1，可得离心率为故选：BC【点评】本题考查等比数列的中项性质和椭圆、双曲线的离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题13（4分）已知各项均为正项的等比数列an，a11，0q1，其前n和为Sn，下列说明正确的是（）A数列lnan为等差数列B若SnAqn+B，则A+B0CSnS3nS2n2D记Tna1a2an，则数列Tn有最大值【分析】直接利用数列的通项公式判定A正确，进一步利用数列的前n项和公式的转换的应用和函数的单调性的应用求出结果【解答】解：各项均为正项的等比数列an，则，对于选项A：，故正确对于选项B：Aqn+B，所以A+B0，故正确对于选项
20、C：若数列为等比数列，所以Sn（S3nS2n），故错误对于选项D：Tna1a2an，由于a11，所以有最小值，且0q1，所以由最大值，故有最大值，故正确故选：ABD【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质和通项公式的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.14（4分）已知命题p：x0，x30，那么p是x0，x30【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题的否定是特称命题，即x0，x30，故答案为：x0，x30【点评】本题主要考查含有量词的命题的否
21、定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键比较基础15（4分）记Sn为等差数列an的前n项和，a10，3a55a3，则【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可得，a1d，然后再代入等差数列的求和公式即可求解【解答】解：等差数列an中，a10，3a55a3，3（a1+4d）5（a1+2d），整理可得，a1d，snnd+，则故答案为：【点评】本题主要考查了等差差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题16（4分）已知x，y（0，+），2x1（）y，若+（m0）的最小值为3，则m的值为42【分析】先求出x+y1，根据级别不等式的性质求出m的值即可【解答】解：x，y（0，+），2
22、x1（）y，x+y1，+1+m+1+m+23，当且仅当yy时“”成立，解方程m+22，令t，则t0，可化为：t2+2t2，解得：t1，m42故答案为：42【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意利用级别不等式性质需满足的条件，本题是一道基础题17（4分）如图，过抛物线y24x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若4，则直线AB的方程y2（x1），线段|【分析】由题意得F（1，0），由4及抛物线定义即可求出直线的斜率，进而求出直线方程，再联立方程求得A、B的坐标，再求|AB|【解答】解：由题意得F（1，0），准线方程为x1，过点B作准线的垂线，垂足为E，则|BE|FB|，4，
23、|BC|3|BE|，由勾股定理得：|CE|2|BE|，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，由及图象可得：A（2，），B（，），|AB|，故答案为：，【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且1，an，Sn成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn1+2nan，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用拆项求和求解即可【解答】解：（1）由已知1，an，
24、Sn成等差数列得2an1+Sn当n1时，2a11+S11+a1，a11，当n2时，2an11+Sn1得2an2an1an，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，（2）由anbn1+2nan得，【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，求出通项公式以及数列求和，考查计算能力19（14分）已知曲线C上任意一点P到点F（1，0）的距离比它到直线l：x2的距离小l，已知过F的两条直线l1，l2的斜率之积为1，且l1，l2分别交曲线C于A，B两点和C，D两点，（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|+|CD|的最小值【分析】（1）由题意可知，点P到F的距离与它到直线l：x1的距离相等，结合抛物线的定义可
25、求；（2）由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，先设l1的方程为yk（x1），联立方程，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，然后根据弦长公式|AB|x1+x2+2，可求AB，同理可求CD，然后结合基本不等式可求【解答】解：（1）因为点P到点F的距离比它到直线l：x2的距离小l，所以点P到F的距离与它到直线l：x1的距离相等，所以点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y24x（2）由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为yk（x1），则由消去y得k2x2（4+2k2）x+k20，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x21
26、所以|AB|x1+x2+2，因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|24+4k2，故|AB|+|CD|+416当k1 时，|AB|+|CD|取得最小值16【点评】本题主要考查了抛物线的定义在求解方程中的应用及直线与抛物线的位置关系的应用，方程思想的应用是求解问题的关键20（14分）已知数列an是递增的等比数列，且a1+a49，a2a38（1）求数列an的通项公式；（2）设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列an的通项公式；（2）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）数列an是递增
27、的等比数列，且a1+a49，a2a38a1+a49，a1a4a2a38解得a11，a48或a18，a41（舍），解得q2，即数列an的通项公式an2n1；（2）Sn2n1，bn，数列bn的前n项和Tn+1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键21（14分）已知f（x）ax2（a+1）2x+2（a2+1），aR（1）若a1时，当x1时，求y的最小值（2）求关于x的不等式f（x）0的解集【分析】本题第（1）题代入a的值后通过计算、转化，采用均值不等式可求出最小值；第（2）题解题关键是对a进行分类讨论，根据a的不同范围来解一元二次不等式【解答】解：（1）若a
28、1时，f（x）x24x+4（x1）+2x1，x10（x1）+2224当且仅当x1，即x4时等号成立故y的最小值为4（2）由题意，当a0时，f（x）x+2则不等式f（x）0的解集为：x|x2当a0时，令ax2（a+1）2x+2（a2+1）0，解得x1a+，x22（i）当a0时，a+2解不等式ax2（a+1）2x+2（a2+1）0，得a+x2（ii）当a1时，a+2不等式ax2（a+1）2x+2（a2+1）0的解集为R（iii）当a0且a1时，由基本不等式得，a+2解不等式ax2（a+1）2x+2（a2+1）0，得x2，或xa+综上所述，可得：当a0时，不等式解集为x|x2；当a0时，不等式解集为
29、x|a+x2；当a1时，不等式的解集为R；当a0且a1时，不等式的解集为x|x2，或xa+【点评】本题主要考查均值不等式的应用，分类讨论思想的应用，以及一元二次不等式的解法本题属中档题22（14分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：exp）与游玩时间t（小时）满足关系式：Et2+20t+16a；3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50（1）当a1时，写
30、出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式Ef（t），并求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H（t）；若a0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围【分析】（1）根据题意即可得到函数的解析式，并求出游玩6小时的累积经验值，（2）根据这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求出t+4，再分类讨论，即可求出a的范围【解答】解：（1），当t6时，E（6）35，（2）当0t3时，则，综上，【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，关键求出函数的解析式，属于中档题23（14分）已知椭圆的一个顶点为
31、，离心率为（）求椭圆E的方程；（）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A、B两点，过原点的直线l2交椭圆于C、D两点若l1l2，求证：为定值【分析】（）依题意，结合离心率求出a，然后求解椭圆方程（）（1）当直线AB的斜率不存在时，验证结果（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意k0，则直线AB的方程为yk（x1），直线CD的方程为ykx设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立直线与椭圆方程，结合弦长公式转化求解即可【解答】（本小题14分）解：（）依题意，由，得椭圆E的方程为（）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|3，则（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意k0，则直线AB的方程为yk（x1），直线CD的方程为ykx设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由得（3+4k2）x28k2x+4k2120，则，由整理得，则.综合（1）（2），为定值【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法以及简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力
浙公网安备33030202001339号