2019-2020学年山东省潍坊市寿光一中尖子生高二（上）10月月考数学试卷（含详细解答）

1、2019-2020学年山东省潍坊市寿光一中尖子生高二（上）10月月考数学试卷一选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知p：1，q：（xa）（x3）0，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围（）A1，+）B1，3C3，+）D（，1）2（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z3x+5y的最大值为（）A6B19C21D453（5分）数列an满足an+1+（1）nan2n1，则an的前60项和为（）A3690B3660C1845D18304（5分）现有下列命题：xR，不等式x2+2x4x3均成立；若log2x+logx22，则x1；“若ab0且c0，则”的逆否命题是真命题；若命题p：xR，

2、x2+11，命题q：x0R，x02x010，则命题pq是真命题则其中真命题为（）ABCD5（5分）已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（）p：m2或m6；q：yx2+mx+m+3有两个不同的零点p：1；q：yf（x）是偶函数；p：coscos；q：tantanp：ABA；q：AU，BU，UBUAABCD6（5分）已知命题p：实数m满足m2+12a27am（a0），命题q：实数m满足方程+1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为（）AB0，C（，1）D0，）7（5分）设abc0，则2a2+10ac+25c2的最小值是（）A2B4CD58（5分）已知椭圆mx2

3、+4y21的离心率为，则实数m等于（）A2B2或C2或6D2或89（5分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的圆心，则的最小值是（）A9B8C4D210（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z21，则S的最小值为（）A3BC4D2（+1）11（5分）已知椭圆C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A+y21B+1C+1D+112（5分）已知直线x+yk0（k0）与圆x2+y24交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）ABCD二、填空题（每小题5

4、分，共20分）13（5分）给出下列命题：（1）“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件；（2）“a2”是“函数f（x）|xa|在区间2，+）为增函数”的充要条件；（3）“m3”是“直线（m+3）x+my20与直线mx6y+50相互垂直”的充要条件；（4）设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）14（5分）若a，b，c0，且，则2a+b+c的最小值为 15（5分）P为椭圆上的点，F1，F2是其两个焦点，若F1PF230，则F1PF2的面积是 16（5分）已知椭圆

5、1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为 三、解答题（每题14分，共70分）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC18（15分）已知数列an满足a11，an+13an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+19（15分）设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（nN*），bn是等差数列已知a11，a3a2+2

6、，a4b3+b5，a5b4+2b6（）求an和bn的通项公式；（）设数列Sn的前n项和为Tn（nN*），（i）求Tn；（ii）证明2（nN*）20（15分）设椭圆+1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|6（）求椭圆的方程；（）设直线l：ykx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q若sinAOQ（O为原点），求k的值21（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的左焦点为F，A（1，）为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点（I）求椭圆C的方程；（II）直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于P，交

7、椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数，使得|PA|2|PD|PE|，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由2019-2020学年山东省潍坊市寿光一中尖子生高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（每小题5分，共60分）1（5分）已知p：1，q：（xa）（x3）0，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围（）A1，+）B1，3C3，+）D（，1）【分析】求出p，q成立的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可【解答】解：由1得10，解得1x1，若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，若a3，则不等式的解为x3，此时满足

8、条件，若a3，则不等式的解为xa或x3，此时满足条件若a3，则不等式的解为x3或xa，此时应满足条件a1，即1a3综上a1，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，注意要对a进行分类2（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z3x+5y的最大值为（）A6B19C21D45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z3x+5y的最大值【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）当目标函数z3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值将其代入得z的值为21，故

9、选：C【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值3（5分）数列an满足an+1+（1）nan2n1，则an的前60项和为（）A3690B3660C1845D1830【分析】由题意可得 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997，变形可得a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a9+a72，a12+a1040，a13+a112，a16+a1456，利用数列的结构特征，求出an的前6

10、0项和【解答】解：由于数列an满足an+1+（1）nan2n1，故有 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997从而可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a11+a92，a12+a1040，a15+a132，a16+a1456，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）1830，故选：D【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的结构特征，属于中档题4（5分）现有下列命

11、题：xR，不等式x2+2x4x3均成立；若log2x+logx22，则x1；“若ab0且c0，则”的逆否命题是真命题；若命题p：xR，x2+11，命题q：x0R，x02x010，则命题pq是真命题则其中真命题为（）ABCD【分析】根据二次函数的图象和性质，可判断；根据对勾函数的图象和性质，可判断；判断出原命题的真假，可判断；根据复合命题真假判断的真值表，可判断【解答】解：x22x+320恒成立，故xR，不等式x2+2x4x3均成立为真命题；若log2x+logx22，则log2x0，则x1，故为真命题；若ab0，则，又由c0，则，故原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，故为真命题；若命题p：x

12、R，x2+11，命题q：x0R，x02x010，则p真，q真，故命题pq是假命题故选：A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档5（5分）已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（）p：m2或m6；q：yx2+mx+m+3有两个不同的零点p：1；q：yf（x）是偶函数；p：coscos；q：tantanp：ABA；q：AU，BU，UBUAABCD【分析】判断各个选项两个命题的真假关系，判断充要条件，推出结果即可【解答】解：对于，由yx2+mx+m+3有两个不同的零点，可得m24（m+3）0，从而可得m2或m6所以p

13、是q的必要不充分条件；对于，由1f（x）f（x）yf（x）是偶函数，但由yf（x）是偶函数不能推出1，例如函数f（x）0，所以p是q的充分不必要条件；对于，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA所以pq综上所述，p是q的充分必要条件的是故选：A【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的判断，是基本知识的考查，中档题6（5分）已知命题p：实数m满足m2+12a27am（a0），命题q：实数m满足方程+1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取

14、值范围为（）AB0，C（，1）D0，）【分析】根据题意，分析两个命题，求出对应的m的取值范围，结合充分必要条件与集合的关系分析可得x|3am4am|1m，必有，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，命题p：实数m满足m2+12a27am（a0），又由a0，m27am+12a20，得3am4a，即命题p：3am4a，a0命题q：实数m满足方程+1表示的焦点在y轴上的椭圆，则有2mm10，解得1m，即命题q：1m因为p是q的充分不必要条件，则有x|3am4am|1m，必有，解可得：a，即m的取值范围为，故选：A【点评】本题考查充分必要条件的判断以及应用，注意充分必要条件与集合的关系，

15、属于基础题7（5分）设abc0，则2a2+10ac+25c2的最小值是（）A2B4CD5【分析】先把整理成，进而利用均值不等式求得原式的最小值【解答】解：0+2+24当且仅当a5c0，ab1，a（ab）1时等号成立如取a，b，c满足条件故选：B【点评】本题主要考查了基本不等式的应用主要考查了运用基本不等式求最值的问题8（5分）已知椭圆mx2+4y21的离心率为，则实数m等于（）A2B2或C2或6D2或8【分析】利用已知条件判断m的父亲，然后分类讨论求出m的值即可【解答】解：椭圆mx2+4y21，显然m0且m4当0m4时，椭圆长轴在x轴上，则，解得m2；当m4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8，

16、故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的两种情况，考查计算能力9（5分）已知直线ax+by+c10（bc0）经过圆x2+y22y50的圆心，则的最小值是（）A9B8C4D2【分析】将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c1，从而化简得+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b且c时，的最小值为9【解答】解：圆x2+y22y50化成标准方程，得x2+（y1）26，圆x2+y22y50的圆心为C（0，1），半径r直线ax+by+c10经过圆心C，a0+b1+c10，即b+c1，因此，（b+c）（）+5，b、c0，24，当且仅当时等号成立由此可得当b2c，即

17、b且c时，+5的最小值为9故选：A【点评】本题给出已知圆的圆心在直线ax+by+c10上，在b、c0的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题10（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z21，则S的最小值为（）A3BC4D2（+1）【分析】由题意可得1z2x2+y22xy，从而可得，由基本不等式和不等式的性质可得4【解答】解：由题意可得0z1，01z1，z（1z）（）2，当且仅当z（1z）即z时取等号，又x2+y2+z21，1z2x2+y22xy，当且仅当xy时取等号，1，1，4，当且仅当xy且z时取等号，S的最小值为4故选：C【点评】本题考

18、查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题11（5分）已知椭圆C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为（）A+y21B+1C+1D+1【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a，b，可得椭圆的方程【解答】解：|AF2|2|BF2|，|AB|3|BF2|，又|AB|BF1|，|BF1|3|BF2|，又|BF1|+|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|a，|AF1|+|AF2|2a，|AF1|a，|AF1|AF2|，A在y轴上在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，

19、由余弦定理可得cosBF2F1，根据cosAF2O+cosBF2F10，可得+0，解得a23，ab2a2c2312所以椭圆C的方程为：+1故选：B【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题12（5分）已知直线x+yk0（k0）与圆x2+y24交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）ABCD【分析】利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论【解答】解：设AB中点为D，则ODAB，直线x+yk0（k0）与圆x2+y24交于不同的两点A、B，44k0，故选：C【点评】本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力

20、，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）给出下列命题：（1）“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件；（2）“a2”是“函数f（x）|xa|在区间2，+）为增函数”的充要条件；（3）“m3”是“直线（m+3）x+my20与直线mx6y+50相互垂直”的充要条件；（4）设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1b，则“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是（1）（4）（写出所有真命题的序号）【分析】利用等比数列的定义以及充要条件的有关定义判断出（1）对；通过举反例判断出（2）不对；通过举反例说明（3）不对；利用三角形

21、的正弦定理以及有关的充要条件的定义判断出（4）对【解答】解：对于（1）若“数列an为等比数列”，则所以，所以“数列anan+1为等比数列”反之，若“数列anan+1为等比数列”成立，例如数列1，3，2，6，4，12，8满足数列anan+1为等比数列，但数列an不为等比数列所以“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列”的充分不必要条件；故（1）对；对于（2），例如a1时，f（x）在区间2，+）为增函数，所以）“a2”不是“函数f（x）|xa|在区间2，+）为增函数”的充要条件，故（2）不对；对于（3），当m0时，两直线的方程分别为3x20及6y+50垂直，所以“m3”不是“直线（m+

22、3）x+my20与直线mx6y+50相互垂直”的充要条件；故（3）不对；对于（4），因为a1b，若A30”成立，由正弦定理得，所以，所以B60或120，反之，若“B60”成立，由正弦定理得得，因为ab，所以A30所以A30”是“B60”的必要不充分条件故（4）对；故答案为（1）（4）【点评】本题考查充要条件的有关定义、考查三角形中的正弦定理、两直线垂直的充要条件，属于中档题14（5分）若a，b，c0，且，则2a+b+c的最小值为2【分析】由题意知a（a+b+c）+bc（a+c）（a+b）42；所以2a+b+c（a+b）+（a+c）22；所以，2a+b+c的最小值为22【解答】解：a（a+b+c

23、）+bca（a+b）+ac+bca（a+b）+c（a+b）（a+c）（a+b）422a+b+c（a+b）+（a+c）22所以，2a+b+c的最小值为22答案：22【点评】本题考查不等式的基本性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答15（5分）P为椭圆上的点，F1，F2是其两个焦点，若F1PF230，则F1PF2的面积是【分析】设|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义和余弦定理可得，解得mn即可【解答】解：由椭圆可得，b2，设|PF1|m，|PF2|n，由题意可得，解得mnF1PF2的面积S故答案为：【点评】本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于基础题

24、16（5分）已知椭圆1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，设P为椭圆上一点，F1PF2的外角平分线所在的直线为l，过F1，F2分别作l的垂线，垂足分别为R，S，当P在椭圆上运动时，R，S所形成的图形的面积为a2【分析】延长F2S交F1P的延长线于Q，可证得PQPF2，且S是PF2的中点，由此可求得OS的长度是定值，即可求点S的轨迹的几何特征【解答】解：由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为S，延长F2S交F1P的延长线于Q，得PQPF2，由椭圆的定义知PF1+PF22a，故有PF1+PQQF12a，连接OS，知OS是三角形F1F2Q的中位线

25、，OSa，即点S到原点的距离是定值a，由此知点S的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆同理可得，点R的轨迹是以原点为圆心、半径等于a的圆故点R，S所形成的图形的面积为a2【点评】本题考查求轨迹方程，关键是证出OS是中位线以及利用题设中所给的图形的几何特征求出QF1的长度，进而求出OS的长度，再利用圆的定义得出点M的轨迹是一个圆，属于难题三、解答题（每题14分，共70分）17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2a2bc，再由余弦定理能求出A（2）由已

26、知及正弦定理可得：sin（C），可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解【解答】解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsin C则sin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC，由正弦定理得：b2+c2a2bc，cosA，0A，A（2）a+b2c，A，由正弦定理得，解得sin（C），C，C，sinCsin（）sincos+cossin+【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（15分）已知数列an满足a11，an+13an+1（）证明an+是等比数列，并求an的

27、通项公式；（）证明：+【分析】（）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式【解答】证明（）3，0，数列an+是以首项为，公比为3的等比数列；an+，即；（）由（）知，当n2时，3n13n3n1，当n1时，成立，当n2时，+1+对nN+时，+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或

28、可以用裂项相消法求和的新数列属于中档题19（15分）设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（nN*），bn是等差数列已知a11，a3a2+2，a4b3+b5，a5b4+2b6（）求an和bn的通项公式；（）设数列Sn的前n项和为Tn（nN*），（i）求Tn；（ii）证明2（nN*）【分析】（）设等比数列an的公比为q，由已知列式求得q，则数列an的通项公式可求；等差数列bn的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（）（i）由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列Sn的前n项和为Tn；（ii）化简整理，再由裂

29、项相消法证明结论【解答】（）解：设等比数列an的公比为q，由a11，a3a2+2，可得q2q20q0，可得q2故设等差数列bn的公差为d，由a4b3+b5，得b1+3d4，由a5b4+2b6，得3b1+13d16，b1d1故bnn；（）（i）解：由（），可得，故；（ii）证明：2【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题20（15分）设椭圆+1（ab0）的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|AB|6（）求椭圆的方程；（）设直线l：ykx（k0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB

30、交于点Q若sinAOQ（O为原点），求k的值【分析】（）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程；（）设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值【解答】解：（）设椭圆+1（ab0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e，；又a2b2+c2，2a3b，由|FB|a，|AB|b，且|FB|AB|6；可得ab6，从而解得a3，b2，椭圆的方程为+1；（）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1y20；|PQ|sinAOQy1y2；又|AQ|，且OAB，|AQ|y2，由sinAOQ，可得5y19y2；由方程组，消

31、去x，可得y1，由（）知直线AB的方程为x+y20；由方程组，消去x，可得y2；由5y19y2，可得5（k+1）3，两边平方，整理得56k250k+110，解得k或k；k的值为或【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力21（15分）已知椭圆C：+1（ab0）的左焦点为F，A（1，）为椭圆上一点，AF交y轴于点M，且M为AF的中点（I）求椭圆C的方程；（II）直线l与椭圆C有且只有一个公共点A，平行于OA的直线交l于P，交椭圆C于不同的两点D，E，问是否存在常数，使得

32、|PA|2|PD|PE|，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【分析】（I）由题意可知：在AFF1中，OMAF1，求得c1，由A（1，）为椭圆上一点，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（II）设直线DE的方程为，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理可知：，求得|PD|PE|，由直线l和DE方程，求得P点坐标，求得|PA|2，即可求得的值【解答】解：（）设椭圆的右焦点是F1，在AFF1中，OMAF1，c1，（2分）A（1，）为椭圆上一点，a2b2+1，a，b1，椭圆的方程为（4分）（）设直线DE的方程为，解方程组，消去y得到，设D（x1，y1）E（x2，y2），则，其中42t20（6分），又直线l的方程为，直线DE的方程为，（8分）所以P点坐标，存在常数1使得|PA|2|PE|PD|（12分）【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆方程位置关系，考查韦达定理，弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于中档题