1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第30讲 解不定方程授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握不定方程的解题技巧；能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；学会解不定方程的经典例题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一古希腊的丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究宋代数学家秦九韶
2、的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解典例分析 考点一：不定方程与数论例1、把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数【解析】这是一道整数分拆的常规题
3、可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，则拆成的两个数分别是和考点二：不定方程与应用题例1、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？【解析】设有大油桶个，小油桶个由题意得：可知，所以由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解所以大油桶有个，小油桶有个例2、某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？【解析】设参加的男宾有人，女宾有
4、人，则由题意得方程：，即，化简得这个方程有四组解：，和，但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足所以，这个活动共有人或人参加例3、甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个配件与一个配件组成甲每天生产300个配件，或生产150个配件；乙每天生产120个配件，或生产48个配件为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【解析】假设甲、乙分别有天和天在生产配件，则他们生产配件所用的时间分别为天和天，那么10天内共生产了配件个，共生产了配件个要将它们配成套，配件与配件的数量应相等，即，得到，则此时生产的产品的套数为，要使生产的产品最多，就要使得
5、最大，而最大为10，所以最多能生产出套产品例4、有一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，丙单独做需要天完成，现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天，那么丙休息了 天【解析】设完成这项工程用了天，其间丙休息了天根据题意可知：，化简得由上式，因为与都是的倍数，所以必须是的倍数，所以是的倍数，在 的条件下，只有，一组解，即丙休息了天例5、实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然，热爱大自然”活动，所有的学生和老师共人恰好坐满了辆大巴车和辆中巴车，已知每辆中巴车的载客人数在人到人之间，求每辆大巴车的载客人数【解析】
6、设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为人和人，那么有：由于知道中巴车的载客人数，也就是知道了的取值范围，所以应该从入手显然被除所得的余数与被除所得的余数相等，从个位数上来考虑，的个位数字只能为1或6，那么当的个位数是或时成立由于的值在20与25之间，所以满足条件的，继而求得，所以大巴车的载客人数为人例6、公鸡1只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各、只，根据题意，得方程组 由，得，即：，因为、为正整数，所以不难得出应为的倍数，故只能为、，从而相应的值分别为、，相应的值分别为、所以，方程组的特殊解为，所以公鸡
7、、母鸡、小鸡应分别买只、只、只或只、只、只或只、只、只考点三：不定方程与生活中的应用题例1、某地用电收费的标准是：若每月用电不超过度，则每度收角；若超过度，则超出部分按每度角收费某月甲用户比乙用户多交元角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？【解析】3元3角即33角，因为既不是的倍数又不是的倍数，所以甲、乙两用户用电的情况一定是一个超过了50度，另一个则没有超过由于甲用户用电更多，所以甲用户用电超过度，乙用户用电不足度设这个月甲用电度，乙用电度因为甲比乙多交角电费，所以有容易看出，可知甲用电度，乙用电度例2、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金元，乙公司每月付给他薪金元
8、年终，马小富从两家公司共获薪金元他在甲公司打工 个月，在乙公司兼职 个月【解析】设马小富在甲公司打工月，在乙公司兼职月(，、都是不大于的自然数)，则有，化简得若为偶数，则的末位数字为，从而的末位数字必为，这时但时，不是整数，不合题意，所以必为奇数为奇数时，的末位数字为，从而的末位数字为，或但时容易看出，与矛盾所以，代入得于是马小富在甲公司打工个月，在乙公司兼职个月例3、小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛，一共有100道题，每个人各解出其中的60道题，有些题三人都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来，我们称之为“难题”已知每个题都至少
9、被他们中的一人解出，则难题比容易题多 道【解析】设容易题、中等题和难题分别有道、道、道，则，由得，即，所以难题比容易题多20道例4、某男孩在年月日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差，到今天为止正好就是”请问：他是在哪一天出生的？【解析】设男孩的年龄为个年和个月，即个月，由此有方程式：，也就是，得到，由于而且是整数，所以，从年月日那天退回年又个月就是他的生日，为年月日P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是的倍数，乙搬的砖数是的倍数，两人共搬了块砖问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】设甲搬的是块，乙搬的是块那么观察发现和都是的倍
10、数，所以也是的倍数由于，所以只能为6或12 时，得到；时，此时不是整数，矛盾所以甲搬了块，乙搬了块，甲比乙搬得多，多块2、 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种棵树，女职工每人种棵树，每个孩子都种棵树，他们一共种了棵树，那么其中有多少名男职工？【解析】因为有的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是的倍数设男职工有人，女职工有人则职工总人数是人，孩子是人得到方程：，化简得：因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当时，；当时，；当，其中只有是的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工3、个大、中、小号钢珠共重克，大号钢珠每个重克，中号钢珠每个重克，小
11、号钢珠每个重克问：大、中、小号钢珠各有多少个？【解析】设大、中、小号钢珠分别有个，个和个，则： ，得可见是3的倍数，又是7的倍数，且小于30，所以只能为21，故，代入得，所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个4、某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为天和天，则他们用于生产裤子的天数分别为天和天，那么总共生产了上衣件， 生产了裤子件根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以，即，即那么共生产了套衣服要使生产的衣服最多，
12、就要使得最小，则应最大，而最大为21，此时故最多可以生产出套衣服5、每辆大汽车能容纳54人，每辆小汽车能容纳36人现有378人，要使每个人都上车且每辆车都装满，需要大、小汽车各几辆？【解析】设需要大、小汽车分别为辆、辆，则有：，可化为可以看出是3的倍数，又不超过10，所以可以为0、3、6或9，将、3、6、9分别代入可知有四组解：；或；或；或即需大汽车1辆，小汽车9辆；或大汽车3辆，小汽车6辆；或大汽车5辆，小汽车3辆；或大汽车7辆6、某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过度的部分，按每度元收费；超过度而不超过度的部分，按每度元收费；超过度的部分按每度元收费某月甲用户比乙用户多交电费元
13、，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？(用电都按整度数收费)【解析】由于丙交的电费最少，而且是求甲、乙电费的关键，先分析一下他的用电度数因为乙用户比丙用户多交元，所以二者中必有一个用电度数小于度(否则差中不会出现元)，丙用电少，所以丙用电度数小于度，乙用电度数大于度，但是不会超过度(否则甲、乙用电均超过度，其电费差应为的整数倍，而不会是元)设丙用电()度，乙用电()度，由题意得：所以是的倍数，又均为整数，且都大于小于所以，所以丙用电度，交电费元；乙交电费元，甲交电费元，三户共交电费元7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为分(成绩都是整数)的测验已知：甲得了分，乙得了最高分
14、，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五人的平均分，戊比丙多分求乙、丙、丁、戊的成绩【解析】法一：方程法 设丁的分数为分，乙的分数为分，那么丙的分数为分，戊的分数为分，根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”，有，所以因为，所以，得到，故，代入得所以丁得分，丙得分，戊得分，乙得分法二：推理法因为丁为五人的平均分，所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等，所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高，所以乙、丙、丁、戊都不是最低分，那么甲的成绩是最低的因为甲是分，所以丁可能是分或分(由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数)，经检验丁得分时与题意不符，所以丁得分，则丙得分
15、，戊得分，乙得分 课后反击1、某人打靶，发共打了环，全部命中在环、环和环上问：他命中环、环和环各几发？ 【解析】假设命中10环发，7环发，5环发，则由可知除以5的余数为3，所以、9如果为9，则，所以只能为4，代入原方程组可解得，所以他命中环发，环发，环发2、小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候若是早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们的叫声统计了天，发现它们并不是每天早晚都见面在这天内它们共叫了声问：波斯猫至少叫了多少声？ 【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫声，晚上见面共叫声设在这15天内早晨见面次，晚上见面次
16、根据题意有：(，)可以凑出，当时，；当时，；当时，因为小花狗共叫了 声，那么越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以当，时波斯猫叫得最少，共叫了(声)3、小伟听说小峰养了一些兔和鸡，就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多，鸡兔共条腿”那么小峰养了多少兔和鸡？【解析】这是一道鸡兔同笼问题，但由于已知鸡兔腿的总数，而不是鸡兔腿数的差，所以用不定方程求解设小峰养了只兔子和只鸡，由题意得：即：， 这是一个不定方程，其可能整数解如下表所示：由题意，且，均不为，所以，也就是兔有只，鸡有只4、有两小堆砖头，如果从第一堆中取出块放到第二堆中去，那么第二堆将比第一堆多一倍如果相反，从第
17、二堆中取出若干块放到第一堆中去，那么第一堆将是第二堆的倍问：第一堆中的砖头最少有多少块？【解析】设第一堆砖有块，则根据第一个条件可得第二堆砖有块再设从第二堆中取出块放在第一堆后，第一堆将是第二堆的倍，可列方程：，化简得，那么因为是整数，与互质，所以应是的倍数，最小是，推知最小是，所以，第一堆中的砖头最少有块5、某次数学竞赛准备了支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给支，二等奖每人发给支，三等奖每人发给支，后来改为一等奖每人发支，二等奖每人发支，三等奖每人发支那么获二等奖的有 人【解析】法一：根据“后来改为一等奖每人发支”，可以确定获一等奖的人数小于否则仅一等奖就要发不少于
18、支铅笔，已超过支，这是不可能的分别考虑一等奖有人或者人的情况： 获一等奖有人时，改变后这人共多得支，那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔由于改变后二等奖多得1支，三等奖少得1支，所以三等奖应比二等奖多人，这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的但此时三等奖至少14人，他们的铅笔总数至少为，所以这种情况不可能发生 获一等奖有1人时，类似前面情况的讨论，可以确定获三等奖的人数比二等奖多人，所以获二等奖的有(人)经检验，获一等奖人，获二等奖人，获三等奖人符合题目要求，所以有3人获二等奖法二：设获一、二、三等奖的人数分别有人、人、人，则有方程组： 由将消元，则有，即，显然该方程的正整数解只有，继而可
19、得到所以获二等奖的有3人6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛，一共有名男、女选手参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的人选已知参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛的女选手人数的，而且比参加初赛的男选手的人数多参加决赛的男、女选手各有多少人？【解析】由于参加决赛的男选手的人数，占初赛的男选手人数的；参加决赛的女选手的人数，占初赛时女选手人数的，所以参加初赛的男选手人数应是的倍数，参加初赛的女选手的人数应是的倍数设参加初赛的男生为人，参加初赛的女生为人根据题意可列方程：解得，或 又因为参加决赛的女选手的人数，比参加决赛的男选手的人数多，也就是要比大，
20、所以第一组解不合适，只有，满足故参加决赛的男选手为人，女选手为人7、甲、乙两人各有一袋糖，每袋糖都不到粒如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的倍甲、乙两人共有多少粒糖？【解析】设甲、乙原有糖分别为粒、粒，甲给乙的数量为粒，则依题意有：，且整理得由得，代入得，即因，故或若，则，不合题意因而，对应方程组有唯一解，则甲、乙共有糖粒直击赛场 1、（资优博雅杯）用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的倍，则满足条件的所有自然数之和为_.【解析】若是四位数，则，矛盾，四位以上的自然数也不可能。 若是两位数，则，也不可能，故只有三位数. ，化简得.由于
21、， 所以或.时，或，；时，. 所以所有自然数之和为.2、（我爱数学夏令营）将一群人分为甲乙丙三组，每人都必在且仅在一组已知甲乙丙的平均年龄分为，.甲乙两组人合起来的平均年龄为；乙丙两组人合起来的平均年龄为则这一群人的平均年龄为 .【解析】设甲乙丙三组分别有人，依提议有： 由化简可得，由化简可得，所以； 因此，这一群人的平均年龄为3、(迎春杯复赛)在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应分、分和分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数如果比赛规定恰好投中
22、分才能获奖，要想获奖至少需要投中 次飞镖【解析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为次、次和次，那么投中飞镖的总次数为次，而总得分为分，要想获奖，必须由于，得到当的值一定后，要使最小，必须使尽可能大若，得到，此时无整数解；若，得到，此时，；若，得到，此时最大为4，当时，这种情况下；若，得到，此时，；若，得到，此时最大为6，当时，这种情况下；若，得到，此时最大为9，当时，这种情况下；若，得到，此时最大为8，当时，这种情况下经过比较可知的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 考点一：不定方程与数论考点二：不定方程与应用题考点三：不定方程与生活中的应用题名师点拨 不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是
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