六年级奥数第19讲-表面积和体积（教）

1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第19讲-表面积和体积授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟悉特殊图形的面积和体积计算公式； 能够通过观察法，把复杂的图形简单化； 能够解表面积和体积的相关题目。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合

2、理大胆想象，正确灵活地计算。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体

3、不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。典例分析 考点一：表面积例1、从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？18-218-118-3【解析】这是一道开放题，方法有多种：按图18-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 按图18-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平

4、方厘米。 按图18-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。例2、把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图18-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。18-4【解析】要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图18-5所示）。18-5而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）2来计算。 （339+338+3310）2 =（81+72+90）2 =2432 =486（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是486平方厘米。例3、把两个

5、长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个 大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？【解析】把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个97的面。 （99+94+74）22972 =（63+36+28）4126 =508126 =382（平方厘米） 答：这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。例4、一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长

6、方体的表面积。【解析】我们知道：体积=长宽高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高=402=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长高=903=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长宽=964=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长宽+长高+宽高）2=（20+30+24）2=148（平方厘米）。即402=20（平方厘米）903=30（平方厘米）964=24（平方厘米）（30+20+24）2=742=148（平方厘米） 答：原 长方体的表面积是148平方厘米。例5、如图18-6所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三

7、个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。【解析】如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.5118-6 =3.14（4.5+3+2+1） =3.1410.5 =32.97（平方米） 答：这个物体的表面积是32.97平方米。考点二：求体积例1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米

8、。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？【解析】中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是330.06+220.04=0.7(立方米)。把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0. 7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。 3 3 0. 06+2 2 0. 04=0.7(立方米) 0. 7（66）=7/360(米)=1又17/18（厘米） 答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。例2、一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把

9、铁块竖放在水中，水面上升几厘米？【解析】在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁块是全部沉入水中，排开水的体积是8815=960(立方厘米)。而现在瓶中水深是8厘米，要淹没15厘米高的铁块，水面就要上升15一8=7(厘米)，需要排开水的体积是(3. 141010-8 8 ) 7=1750(立方厘米)，可知铁块是部分在水中。 当铁块放入瓶中后，瓶中水所接触的底面积就是3. 141010一88=250(平方厘米)。水的形状变了，但体积还是3. 1410108=2512(立方厘米)。水的高度是2512250=10. 048(厘米)，上升10. 048-8=2. 048(厘米)；

10、 3.1410108（3.141010-88)-8 =2512250-8 =10.048-8 =2.048（厘米） 答：水面上升了2. 048厘米。例3、某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积(如图-1所示)。18-7【解析】设圆锥体的底面半径是r，则长方体的高和宽也都是r，长是2r。长方体的容积是2rrr=24，即r的立方=12。这个半圆锥体的体积是1/3r的平方r2=1/6r的立方，将r的立方=12代入，就可以求得面粉的体积。 设圆锥体的底面半径是r，则长方体的容积是2r r r=24的立方=

11、12。 1/33. 14r的平方r2 =1/63014r的立方 =1/63.1412 =6.28（立方米） 答：这堆面粉的体积是6. 28立方米。例4、一只集装箱，它的内尺寸是181818。现在有批货箱，它的外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只货箱？【解析】因为集装箱内尺寸18不是货箱尺寸4的倍数，所以，只能先在18 1618的空间放货箱，可放181618（149）=144(只)。这时还有18218的空间，但只能在18216的空间放货箱，可放18216（149)=16(只)。最后剩下1822的空间无法再放货箱，所以最多能装144+16=160(只)。 答：问这只集装箱能装160只货箱。P(P

12、ractice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？【解析】这有三种情况： 如果把长锯开，则增加692=108平方分米 如果把宽锯开，则增加1292=216平方分米 如果把高锯开，则增加1262=144平方分米 2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少？【解析】将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30615平方厘米，拼成大正方体，表面积将减少两个拼合面的面

13、积，正好是1个30615平方厘米，所以大长方体的表面积是： 30+30+635平方厘米3、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？【解析】减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的面积之和。 把两个合并起来，用120（2+3）24厘米，求到正方体底面的周长，正方体的棱长就是2446厘米。 原长方体的体积是： 66（6+3+2）396立方厘米4、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比

14、较合理？为什么？【解析】大长方体盒子的 长9厘米 宽62=12厘米 高45=20厘米5、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？【解析】二者体积相等 30205=3000立方厘米 20/2=10 10103.14=314 3000/314 9.6厘米 故答案为：9.66、如图18-8所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少水？18-8【解析】装水的部分是小圆锥,容器是大圆锥 小圆锥的高：大圆锥的高=1：2 则： 小圆锥的底面半径：大圆锥的底面半径=1：2 小圆锥的底面积：大圆

15、锥的底面积=1：4 小圆锥的容积：大圆锥的容积=（11/3）：（42/3）=1：8 所以 圆锥形容器的容积=3*8=24升 这个容器还能装24-3=21升7、如右图18-9所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】 44（112244）4 =100（平方米）答：模型涂刷油漆的面积是100平方米。18-98、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一

16、个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】切最大的正方形的体积：121212=1728cm 长方形的体积：211512=3780cm 再切正方形的体积：15-12=3cm 333=27cm 剩下的体积：3780-1728-27=2025cm 课后反击1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？【解析】（1）从面的中间挖菱形： 原长方体的表面积： （65+105+106）2=560(cm2) 挖掉的正方体面积是： 226=24(cm2) 原面积+正方体面积=560+24=584（cm2) 因为挖出的面积只有五面,因此正方体的面积得

17、减去一面后再加入原面积（原面积又少了一面22的面积），总共减去两个22的面积后才是被挖出后的面积，即： 584-（22）2=576（cm2) （2）从面的一个角挖菱形： 虽挖出了一个小菱形,但总面积没变, 还是560（cm2)因为挖出的小菱形增加了3个面,但原面积失去3个了小菱形的面,所以还是560 cm2。2、有一个长方体如下图18-10所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？ 18-10 【解析】长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长（宽+高），2091119， 所以长11，宽+高19，或长19，宽+高11， 根据题意，宽和高只

18、能是17和2，长方体的体积就是11172374 3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？ 【解析】将9厘米和5厘米的一面叠在一起节约. 长=9厘米 宽=5厘米 高=210=20厘米 需要纸： =2（95+920+520） =650平方厘米 4、有30个棱长为1米的正方体，在地面上摆成如右图的形式，求这个立体图形的表面积是多少平方米？ 【解析】422（12121314）4 72（平方米）。 答：这个立体图形的表面积为72平方

19、米。5、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？【解析】（1）（40-52）（20-52）5 =30105 =1500（毫升）； （2）（40-5）（20-52）5 =35105 =1750（毫升）； （3）（40-54）205 =20205 =2000（毫升）； （1） （2） （3） 答：有三种焊接方法，铁皮盒的最大容积是2000毫升。6、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几

20、块？【解析】分上下两层来分析：上层高3厘米，可放： （405）（124） =83 =24（块） 下层高4厘米，可放： （405）（123） =84 =32（块） 24+32=56（块） 答：最多可以放56块。7、一个正方体的纸盒中如图18-12所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（取3.14）？18-12【解析】如上图所示，题目说恰好装入，由此可得正方体边长跟圆柱体地面圆半径之间的关系： a=2r，取3.14， 有：圆柱体积=ar=6.28，解得r=1； 所以正方体体积为：a=（2r）=8立方分米S(Summary-Embedded)归纳总结名师点拨 在解答立体图

21、形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面 的面积都相等，每个面都是正方形的特点。（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点： （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。 （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。 （3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。 学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是