1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：六年级 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第12讲 浓度应用题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系；浓度三角的应用；会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解；利用方程解复杂浓度问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理 一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等；溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等；溶液：溶质和溶液的混合液体；浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系1
2、、溶液=溶质+溶剂；2、。三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：3、 列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法典例分析 考点一：简单的溶液浓度问题例1、某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【解析】两种配置溶液共含食盐4015%+6010%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶液的浓度为12
3、50=24%.例2、买来蘑菇10千克，含水量为99，晾晒一会儿后，含水量为98，问蒸发掉多少水份？【解析】方法一：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98的干蘑菇加水后得到99的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99的重量。将10千克按11分配，102=5，蒸发掉5千克水份。方法二：晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本题可以抓住这个不变量来解原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为千克，晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是0.1千克，所以晾晒后的蘑菇有千克考点二：两种溶液多次混合例
4、1、甲容器有浓度为2的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？【解析】（1）现在甲容器中盐水含盐量是：1802 2409 25.2（克）.浓度是25.2（180 240） 100= 6.（2） “两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，即两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.29280（克），还要倒入
5、水420-280140（克）.例2、甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精的含量为40。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？【解析】乙中酒精含量为40，是由若干升纯酒精（100）和15升水混合而成，可以求出倒入乙多少升纯酒精。153210升62.5，是由甲中剩下的纯酒 精（1110）1升，与40的乙混合而成，可以求出第二次乙倒入甲升 考点三：三种溶液混合多次例1、有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升甲容器有浓度为的盐水毫升；乙容器中有清水
6、毫升；丙容器中有浓度为的盐水毫升先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水毫升倒入甲容器，毫升倒入丙容器这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？【解析】列表如下： 甲浓度溶液开始第一次第二次乙丙浓度溶液浓度溶液所以此时甲容器中盐水的浓度是，乙容器中浓度是，丙容器中浓度是例2、在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占、和，已知三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【解析】(法1)方程法设丙缸酒精溶液的重量为千克，则乙缸为千克根据纯酒精的量可列方程：，解得，所以丙
7、缸中纯酒精的量是(千克)(法2)浓度三角法由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：，而它们合起来共50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中纯酒精的量是(千克)考点四：列方程解浓度问题例1、使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据农科院专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克，要配药水140千克，其中甲种农药需药_千克。【解析】设甲种农药x千克，则乙种农药（5-x）千克。列方程： 例2、甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有
8、浓度为的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为的硫酸溶液400千克各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【解析】由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量甲容器中纯硫酸的质量为(千克)；乙容器中纯硫酸的质量为(千克)；两容器中纯硫酸的质量和为千克，硫酸溶液的质量和为千克两容器中溶液互换后浓度为， 所以应交换的硫酸溶液的量为：(千克)另解：假设各取千克放入对方容
9、器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即，解得，即各取240千克P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、一容器内有浓度为25的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15，问这个容器内原来含有糖多少千克？【解析】。所以原来含有糖千克2、将75的酒精溶液32克稀释成浓度为40的稀酒精，需加入水多少克？【解析】稀释时加入的水溶液浓度为0（如果需要加入干物质，浓度为100），标注数值的方法与例1相同。328728，需加水28克。3、甲杯中有纯酒精克，乙杯中有水克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲
10、杯中纯酒精含量为，乙杯中纯酒精含量为问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【解析】第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：()(克)，则甲杯中剩纯酒精(克)由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为，所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是克4、纯酒精含量分别为、的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为如果每种酒精都多取克，混合后纯酒精的含量变为求甲、乙两种酒精原有多少克？【解析】原来混合时甲、乙的质量比是：，现在混合时甲、乙的质量比是：由于原来甲、乙的质量差现在甲、乙的质量差，所以原来甲的质量是该质量差的倍， 现在甲的质量是该质量差的倍于是多取的
11、克与对应所以，质量差(克)，原来甲的质量是克，原来乙的质量是克5、已知三种混合物由三种成分、组成，第一种仅含成分和，重量比为；第二种只含成分和，重量比为；第三种只含成分和，重量之比为.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中、和，这三种成分的重量比为？【解析】注意到第一种混合物中、重量比与最终混合物的、重量比相同，均为.所以，先将第二种、第三种混合物的、重量比调整到，再将第二种、第三种混合物中、与第一种混合物中、视为单一物质.最终配成的物质；第二种混合物不含,的含量为，第三种混合物不含,的含量为，所以倍第三种混合物含为，倍第二种混合物含为，即第二种、第三种混合物的重量比为；于是此时含有，即
12、,而最终混合物中，所以第一种混合物的质量与后两种混合质量和之比为，所以三种混合物的重量比为.6、甲容器中有浓度为的盐水克，乙容器有浓度为的盐水克分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【解析】由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为，而甲容器中原来浓度为，所以相互倒了(克)另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的
13、路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的假设相互倒了克，那么甲容器中是由克的盐水和克的盐水混合，乙容器中是由克的盐水和的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以，解得7、在浓度为的盐水中加入一定量的水,则变为浓度的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为.求.【解析】不妨设原来的盐水为100克，加入的水(或)盐重克,可列方程：，可得；，可得；解得， 课后反击1、将含农药的药液，加入一定量的水以后，药液含药，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是_【解析】开始时药与水的比为，加入一定量的水后，药与水的比为，由于在操作
14、开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为，即，原来药占份，水占份；加入一定量的水后，药还是份，水变为份，所以加入了份的水，若再加入份的水，则水变为份，药仍然为份，所以最后得到的药水中药的百分比为：2、有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含酒精的液体先将乙杯的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？【解析】第一次将乙杯的一半倒入甲杯，倒入的溶液的量与甲杯中原有液体的量相等，浓度为，所以得到的甲杯中的溶液的浓度为；第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，倒入的溶液的量与乙杯中剩余液体的量相等，而两种溶液的浓度分别为和，所以
15、得到的溶液的浓度为，即这时乙杯中酒精溶液的浓度是3、甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器这样甲容器中的纯酒精含量为，乙容器中的纯酒精含量为那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？【解析】由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为，而在此次倒入之前，甲容器中是纯酒精，浓度为，根据浓度倒三角，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有立方分米，
16、所以甲容器中剩下的有立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米4、甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？【解析】(法1)不妨设甲、乙两种酒精各取千克，则混合后的浓度为，含纯酒精千克；又知，千克甲酒精与千克乙酒精，混合后的浓度为，含纯酒精千克相差千克，说明千克乙酒精中含纯酒精千克，则乙酒精中纯酒精的百分比为，那么甲酒精中纯酒精百分比为.(法2)甲、乙两种酒精各取千克，则混合后的浓度为，而这种混合溶液，再混上千克的乙酒精就能获得的混合溶液，由于混合的质量比是，由十字交叉法，乙溶液
17、的浓度为，又因为同样多的甲种酒精溶液和乙种溶液能配成的溶液，所以甲溶液浓度为.5、三个试管中各盛有克、克、克水把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？【解析】整个过程中盐水浓度在下降倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，即一开始倒入中的盐水浓度为6、瓶中装有浓度为的酒精溶液克，现在又分别倒入克和克的、两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了已知种酒精溶液浓度是种酒精溶液浓度的倍，那么种酒精溶液的浓度是百分之几？【解析】(
18、法1)方程法新倒入纯酒精：(克)设种酒精溶液的浓度为，则种为根据新倒入的纯酒精量，可列方程：，解得，即种酒精溶液的浓度是(法2)浓度三角法设种酒精溶液的浓度为，则种为根据题意，假设先把100克种酒精和400克种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克的酒精溶液混合，所以、两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为根据浓度三角，有，解得故种酒精溶液的浓度是7、一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用现在我把桶里的液体倒入桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把桶里的液体倒进桶，使桶内的液体体积翻番最后，我又将桶中的液体
19、倒进桶中，使桶中液体的体积翻番此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在桶中，水比牛奶多出升现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？【解析】假设一开始桶中有液体升，桶中有升第一次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第二次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第三次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升由此时两桶的液体体积相等，得，现在还不知道桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：桶桶原桶液体：原桶液体原桶液体：原桶液体初始状态第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶第三次桶倒入桶由上表看出，最后桶中的液体，原桶液体与原桶液体的比是，而题目中说“水比牛奶多
20、升”，所以原桶中是水，原桶中是牛奶因为在中，“”相当于1升，所以2个单位相当于1升由此得到，开始时，桶中有 升水，桶中有升牛奶；结束时，桶中有3升水和1升牛奶，桶中有升水和升牛奶直击赛场 1、(数学夏令营)若干升含盐的溶液与若干升含盐的溶液混合后得到含盐的溶液。如果每种溶液各多取升，混合后就得到含盐的溶液，那么第一次混合时含盐的溶液取了 升。【解析】第一次两种溶液所取的体积比为；由于两种溶液各取15升，将混合成含盐为的溶液30升，拿这30升溶液与开始时混合而成的含盐的溶液混合，将得到含盐的溶液，可知这两种溶液的体积之比为，所以第一次混合而成的溶液体积为升，所以第一次混合时含盐的溶液取了升。2、
21、(华杯赛)林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次，林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的_。 （用分数表示）【解析】 喝掉的牛奶 剩下的牛奶第一次： 1第二次： （喝掉剩下的） （剩下是第一次剩下的）第三次： （喝掉剩下的） （剩下是第一次剩下的）第四次： （喝掉剩下的） 所以最后喝掉的牛奶为：。3、(101中学)种酒精浓度为，种酒精浓度为，种酒精浓度为，它们混合在一起得到了11千克浓度为的酒精溶液，其中种酒精比种酒精多3千克，则种酒精有 千克【解析】设种酒精有千克，种酒精有千克，种酒精有千克，则：解
22、得，故种酒精有7千克4、(人大附中入学考试)有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中为酥糖将两包糖混合后，水果糖占，那么奶糖与酥糖的比例是_.【解析】第一包糖水果糖占，第二包糖水果糖占由浓度三角知：，即第一包糖与第二包糖的数量比为所以，奶糖与酥糖的比为5、(迎春杯)在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物有的狗认为它们是猫；有的猫认为它们是狗其余动物都是正常的一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有认为自己是猫如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只那么狗的数目是 只【解析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有的狗认为自己
23、是猫，有的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有的认为自己是猫那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：而狗比猫多180只，所以狗的数目为只S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等；溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等；溶液：溶质和溶液的混合液体；浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂；2、。名师点拨 十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是
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