1、 理科数学参考答案 第 1 页（共 5 页） 武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B 二、填空题 131 312 22 = yx 14)+ ，1 1514. 9 16 2 1 三、解答题 17 （1）由已知条件 c bc BA BA = + tantan tantan 得： c b BA B = + tantan tan2 ， 由正弦定理得 C B c b sin sin =，则 C B BA B sin sin tantan tan2
2、= + ， 即B B B A A C B B sin) cos sin cos sin (sin cos sin2 +=，由0sinB， 整理得：BABAACsincoscossincossin2+=，3 分 即)sin(cossin2BAAC+=，4 分 即CACsincossin2=，由0sinC，故 2 1 cos=A6 分 由（1）知 3 =A，则bcAbcS ABC 4 3 sin 2 1 = ， 由余弦定理得：Abccbacos2 222 +=，而4=a，则16 22 =+bccb 由bccb2 22 +得162bcbc，即16bc，9 分 所以3416 4 3 4 3 sin 2
3、 1 = bcAbcS ABC ， 当cb =时取等号12 分 18 （1）取DC的中点H，AB的中点M，连接QH，HL、BD， 在正方体 1111 DCBAABCD中，Q为 11D C的中点， 理科数学参考答案 第 2 页（共 5 页） 则CDQH ， 从而QH面ABCD， 所以ACQH ， 2 分 在正方形ABCD中，H、L分别为CD、BC的中点， 所以HLBD/，而BDAC， 则ACHL, 4 分 又HHLQH=I，所以AC面QHL， 所以QLAC 6 分 （2）连接ML、MP，由ACQL，/ /MLAC知MLQL， 则四边形PQLM为矩形， 则点A到平面PQL的距离即为点A到平面PML
4、的距离，设其值为h，8 分 在四面体AMLP中， 2 8 1 222 1 2 1 a aa BLAMS AML = ， 2222 4 3 ) 2 () 2 ( 2 2 2 1 2 1 a a a a aPMMLS PML =+= ， 由等体积法可知： PMLAAMLP VV =，即haaa= 22 4 3 3 1 8 1 3 1 ， 解之得ah 6 3 =，故点A到平面PQL的距离为a 6 3 12 分 19 （1）)0(2 2 =ppxy的焦点)0 , 2 ( p F，而)32 , 2(=FP，所以点)32 , 2 2 (+ p P， 又点P在抛物线pxy2 2 =上，所以)2 2 (2)3
5、2( 2 += p p，即0124 2 =+pp， 而0p，故2=p，则抛物线的方程为xy4 2 = 4 分 （2）设),( 00 yxM，),( 11 yxN，),( 22 yxL，则 1 2 1 4xy=， 2 2 2 4xy=， 直线MN的斜率为 01 2 0 2 1 01 01 01 4 4 yyyy yy xx yy kMN + = = =， 则 MN l：) 4 ( 4 2 0 01 0 y x yy yy + =，即 10 10 4 yy yyx y + + =； 同理 ML l： 20 20 4 yy yyx y + + =； 理科数学参考答案 第 3 页（共 5 页） 将)2
6、, 3(A、)6, 3(B分别代入、两式得： + + = + + = 20 20 10 10 12 6 12 2 yy yy yy yy ， 消去 0 y得12 21 =yy， 9 分 易知直线 21 4 yy kNL + =，则直线NL的方程为) 4 ( 4 2 1 21 1 y x yy yy + =， 即 21 21 21 4 yy yy x yy y + + + =， 故 2121 124 yy x yy y + + + =， 所以)3( 4 21 + + =x yy y， 因此直线NL恒过定点)0 , 3(12 分 20 （1）依题意0 .380 10 1 = =i i x， 则38
7、0454339383736333132 10 =+x，解得：46 10 =x3分 （2） （）由居民收入x与该种商品的销售额y之间满足线性回归方程 363 254 yxa=+知 254 363 =b，即 254 363 10 10 10 1 2 2 10 1 = = = = i i i ii xx yxyx b， 即 254 363 254 10 340 38104612875 10 10 = + + y y ， 解之得：51 10 =y8 分 （）易得38=x，1 .39=y，代入axy+= 254 363 得：a+=38 254 363 1 .39， 解得21.15a，所以21.15 25
8、4 363 =xy ，10 分 当40=x时，96.4121.1540 254 363 =y 故若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是96.41万元 12 分 21 （1）2cos2(cossin ) x yexxxx = xxxexcos4sin2+=，2 分 因为) 2 ,( x，所以0 x e，0sin2xx，0cos4x，故( )0y x， 所以e2sin2 cos x yxxx=在) 2 ,( 上单调增4 分 理科数学参考答案 第 4 页（共 5 页） （2）可得： 2 2 cos2) 1( )( x xxxe xf x =，5 分 令xxxexg x cos2
9、) 1()( 2 =，则)cos4sin2()(xxxexxg x +=， 当) 2 ,( x时，由（1）知0cos4sin2+xxxex，则0)( x g， 故)(xg在) 2 ,( 递减， 而0) 1 2 () 2 ( 2 += eg， 由零点存在定理知：存在唯一的) 2 ,( 0 x使得0)( 0 =xg7 分 即0cos4sin2 000 0 =+xxxex， 当),( 0 xx时，0)(xg，即0)( x f，)(xf为增函数； 当) 2 ,( 0 xx时，0)( 故 0 ()0f x 又 0 00 0 e ()2sin x f xx x =，当 0 (,) 2 x 时， 0 0 e
10、 10 x x ， 0 02sin2x 故 0 ()2f x 所以 0 0()2f x.12 分 22 （1）由 = = sin4 cos5 y x ，消去参数可得1 1625 22 =+ yx 2 分 将 = = sin cos y x 代入03cos4 2 =+得034 22 =+xyx5 分 （2） 2 C的圆心为)0 , 2(M， 理科数学参考答案 第 5 页（共 5 页） 则20cos20cos9)0sin4()2cos5( 222 2 +=+=MP，7 分 由1cos1知，当1cos=时，9920209min 2 =+=MP， 故3 min =MP，9 分 从而2 min =PQ1
11、0 分 23 （1）在4=a时，8342+xx， 当3x时，8342+xx，解之得5x； 当32 x时，8342+xx，解之得9x；此时 x 无解； 当2x时，8324+xx，解之得 3 1 x； 综上)+ , 5 3 1 ,Ux5 分 （2）当2a时有 2 1 a a， + + = 2 , 123 1 2 , 1 1, 123 )( a xax ax a x axax xf 在 2 a x =时，1 2 ) 2 ()( min = aa fxf，则只需 2 1 2 2 aa ，而2a，则a； 7 分 当2a时有 2 1 a a， + + = 1, 123 2 1,1 2 , 123 )( axax a xax a xax xf 在 2 a x =时， 2 11 2 ) 2 ()( min aaa fxf=，则只需 22 1 2 aa ， 即02 2 +aa， 所以12a，而2a，故所求a范围为：12a 综合以上可知：12a10 分
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