1、2017-2018学年山东省青岛市城阳区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合AxR|y，集合BxR|0，则AB（）A1，1B2，+）C1，0D0，2）2（5分）已知i为虚数单位，记为复数z的共轭复数，若z（1+i）（2i），则|z|（）A4BC1D103（5分）原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点（2，2）的极坐标是（）A（4，）B（4，）C（4，）D（4，）4（5分）通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下22列联表：
2、男女总计走天桥402060走斑马线203050总计6050110由卡方公式将表中数据带入，可的观测值k27.8，则得到“选择过马路方式与性别有关”结论的把握临界值参考表见试卷公式提示）是（）A90%B95%C99%D99.5%5（5分）若函数f（x）x3+mx2+x+1在R上有极值点，则实数m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（，2）2，+）C（2，2）D2，26（5分）布袋中装有6个质地均匀、大小相等的彩色球，其中有红色球4个，蓝色球2个，摇匀后每次从中随机取一个球，取后放会摇匀后再取，以此重复进行4次，则恰好取得3次红球的概率是（）ABCD7（5分）若椭圆1的焦距为4，则实数a的值为（
3、）A1B21C4D1或98（5分）使用数学归纳法证明不等式1+f（n）（nN*），假设nk时成立，当证明nk+1时，左端应增加的式子是（）ABC+D+9（5分）用0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的三位偶数的个数为（）A36B33C27D3010（5分）已知双曲线1（a、b均为正数）的两条渐近线与抛物线y28x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为（）ABCD211（5分）函数f（x）的图象是（）ABCD12（5分）椭圆方程为+y21，直线方程为yx+1，设直线与椭圆交于A，B两点，F2为椭圆的右焦点，则F2AB的面积S为（）ABCD二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共
4、20分13（5分）若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为 14（5分）（x2）6展开式中的常数项为 （用数字作答）15（5分）已知椭圆+l（b0）过点（，），离心率为则椭圆的标准方程为 16（5分）已知2，3，4，6（m，n都是正整数，且m，n互质）则mn 三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）夏季来临，随着气温升高，一天中最高温超出24，越来越常见，由于空调电扇等电器的使用，用电量显著增加某单位为了了解本单位近期一天用电量y（度）与气温差x（一天中最高气温与24的差，即x当日最高温度24）之间的关系，随机统计了某4天的
5、用电量与当天气温差x的关系，并制作如下了对照表：实际最高温（）25262728气温差x1234用电量y（度）30416085通过散点图分析，可得出x与y近似成线性关系（）求表中样本中心点（，）和y与x间的线性回归方程；（）根据上面回归方程，预测最高温度为30度时，本单位一天的用电量提示：用最小二乘法求线性回归方程x+a，其中系数公式：，ab18（12分）某经贸活动考察小组拟从8名外语优秀大学毕业生中选取4人参加考察活动，已知8人中，有5人为英语系毕业，其余为俄语系毕业（）若从名单中随机抽取，求其中一定有俄语毕业生的概率；（）设其中俄语毕业生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E19（12分）
6、已知函数f（x），g（x）x，其中mR，m0（I）求函数f（x）的极值；（）对任意实数x1，x21，+），都有f（x1）g（x2）恒成立，求实数m的取值范围20（12分）平面直角坐标系中，动点H（x，y）到点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，H（x，y）的轨迹为曲线C，P（4，t）为C上一点（）求曲线C的标准方程；（）若M（1，0），过M和P的直线l1与抛物线交于另一点Q，求的值；（）若N（m，0），直线l2过N，且与抛物线C相交于A，B两点，是否存在定值m，使OAOB恒成立？若有，求出m；若无，分析说明理由（O为坐标原点）21（12分）已知函数g（x）alnx+bx22x+，函数h（x）
7、x（）若函数g（x）的图象在x1处恰好与函数h（x）的图象相切求实数a，b；（）若b0，讨论g（x）在定义域上的单调性；（）若b0，f（x）g（x）+h（x），且对任意实数xe2，+），都有f（x）0恒成立，求实数a的取值范围（其中e为常数，约为2.718）选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)22（10分）面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（1，5）点，倾斜角为；同一坐标系中，以O为原点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为272（sin+cos）（）写出直线的参数方程，将曲线C化为标准直角坐标方程并筒要说明其主要几何特征；（）已知直线l和曲线C交于A，B两点，求
8、|AB|长选修4-5:不等式选讲(本小题满分0分)23函数f（x）|2x1|+|ax3|，xR（）若a1，解不等式f（x）5；（）若a2，且f（x）+b0在R上无解，求实数b的取值范围2017-2018学年山东省青岛市城阳区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1（5分）已知集合AxR|y，集合BxR|0，则AB（）A1，1B2，+）C1，0D0，2）【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出AB【解答】解：集合AxR|yx|x0，集合BxR|0x|1x2，ABx|0x20，2）故选：D
9、【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）已知i为虚数单位，记为复数z的共轭复数，若z（1+i）（2i），则|z|（）A4BC1D10【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z（1+i）（2i）3i，|z|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点（2，2）的极坐标是（）A（4，）B（4，）C（4，）D（4，）【分析】利用直角坐标和极坐标的互化公式直接求解【解答】解：点（2，2），4，tan，点（2，2）的极坐
10、标是（4，）故选：B【点评】本题考查点的极坐标的求法，考查直角坐标和极坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4（5分）通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下22列联表：男女总计走天桥402060走斑马线203050总计6050110由卡方公式将表中数据带入，可的观测值k27.8，则得到“选择过马路方式与性别有关”结论的把握临界值参考表见试卷公式提示）是（）A90%B95%C99%D99.5%【分析】根据K2的观测值，对照临界值得出结论【解答】解：根据列联表中的数据计算K2的观测值为：K27.8，且7.
11、86.635，有90%的把握认为“选择过马路方式与性别有关”故选：A【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题5（5分）若函数f（x）x3+mx2+x+1在R上有极值点，则实数m的取值范围是（）A（，2）（2，+）B（，2）2，+）C（2，2）D2，2【分析】求出原函数的导函数f（x），由f（x）在R上有极值，说明a0且方程3ax24x+10有两不等实数根，由判别式大于0求得a的取值范围；【解答】解：由f（x）x3+mx2+x+1，得f（x）x2+mx+1若f（x）在R上有极值，导函数是二次函数，方程x2+mx+10有两不等实数根，m240，解得：m2或m2；综上m的取值范围是：（，2）
12、（2，+）故选：A【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的导数求函数的极值，考查了函数恒成立问题，是中档题6（5分）布袋中装有6个质地均匀、大小相等的彩色球，其中有红色球4个，蓝色球2个，摇匀后每次从中随机取一个球，取后放会摇匀后再取，以此重复进行4次，则恰好取得3次红球的概率是（）ABCD【分析】根据独立重复实验的概率计算公式可得结果【解答】解：根据题意得，一次实验中取到红球的概率为P；相当于做四次独立重复实验，所求概率P（）3（1）4，故选：C【点评】本题考查相互独立事件和独立重复实验的概率计算公式的应用7（5分）若椭圆1的焦距为4，则实数a的值为（）A1B21C4D1或9【分
13、析】利用椭圆的焦距，求出椭圆的几何量，即可得到选项【解答】解：椭圆1的焦距为4，可得焦点在x轴时，2，解得a1，当焦点在y轴时，可得，解得a9故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查8（5分）使用数学归纳法证明不等式1+f（n）（nN*），假设nk时成立，当证明nk+1时，左端应增加的式子是（）ABC+D+【分析】令nk+1代入f（n）与f（k）进行比较即可得出答案【解答】解：nk时，f（k）1+，当nk+1时，f（k+1）1+f（k）+当证明nk+1时，左端应增加的式子是：+故选：C【点评】本题考查了数学归纳法的步骤，属于基础题9（5分）用0，1，2，3，4这五个数字组
14、成的无重复数字的三位偶数的个数为（）A36B33C27D30【分析】根据题意，分0在个位与0不在个位2种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：，0在个位，在剩下的4个数字中任选2个，安排在百位、个位，有A4212种选法，0不在个位，需要在2、4中选1个，个位有2种选法，0不能在首位，则首位有3种选法，则十位有3种选法，此时有23318种选法，则一共可以组成12+1830个无重复数字的三位偶数，故选：D【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，属于基础题10（5分）已知双曲线1（a、b均为正数）的两条渐近线与抛物线y2
15、8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y和y，由AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率【解答】解：双曲线1（a0，b0），双曲线的渐近线方程是yx，又抛物线y28x的准线方程为x2，双曲线1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y28x的准线分别交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别是y和y，AOB的面积为3，23，4b3a，4c5a，e故选：A【点评】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于基本知识的考查11（5分）函数f（x）的图象是（）ABCD【分析】根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选
16、出答案【解答】解：函数f（x）是偶函数，排除B，C选项当0x1时，yln|x|0，y0故选：A【点评】本题考查了函数图象变换，是基础题12（5分）椭圆方程为+y21，直线方程为yx+1，设直线与椭圆交于A，B两点，F2为椭圆的右焦点，则F2AB的面积S为（）ABCD【分析】直线AB的方程，代入椭圆方程，求出A，B的坐标，求出直线与x轴的交点，即可求得ABF2的面积【解答】解：椭圆方程为+y21，即椭圆x2+2y22的右焦点F2（1，0），直线AB的方程为yx+1，代入椭圆x2+2y22化简可得3x2+4x0，x10，x2，y11，y2，直线yx+1与x轴的交点为：（1，0），故ABF2的面积为
17、：（1+1）|y1y2|1+故选：B【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，求出A、B坐标，直线AB与x轴的交点，是解题的关键二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13（5分）若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为6【分析】因复数是分式且分母含有复数，需要分子分母同乘以12i，再进行化简整理，由纯虚数的定义令实部为零求出a的值【解答】解：由题意知，是纯虚数，a+60a，即a6故答案为：6【点评】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子和分母同乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简，并且利用纯复数的定义进行求值14（5分）（x2）6展开式中的常数项为15（用数
18、字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1（1）rC6rx123r令123r0得r4展开式中的常数项为C6415故答案为15【点评】解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式15（5分）已知椭圆+l（b0）过点（，），离心率为则椭圆的标准方程为+1【分析】由e点在椭圆上，列出方程组，求出a、b，即可求解椭圆方程；【解答】解：e，则 ，又（，）在椭圆上，+1，解得a2，b，椭圆的方程为 +1；故答案为：+1【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，考查计算
19、能力16（5分）已知2，3，4，6（m，n都是正整数，且m，n互质）则mn29【分析】分析等式两边式子和数的变化规律，求出m，n的值，进而可得答案【解答】解：由2，3，4，6，左边的被开方数是两项的和，一项为n+1，另一项是分式，分子为n+1，分母为（n+1）21，左边的被开方数是分式，分子为n+1，分母为（n+1）21，故6中，m35，n6，故mn29，故答案为：29【点评】此题重点考查了准确由图抽取信息考查了学生的观察能力，根据已知分析式子两边数的变化规律是解答的关键三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）夏季来临，随着气温升高，一
20、天中最高温超出24，越来越常见，由于空调电扇等电器的使用，用电量显著增加某单位为了了解本单位近期一天用电量y（度）与气温差x（一天中最高气温与24的差，即x当日最高温度24）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温差x的关系，并制作如下了对照表：实际最高温（）25262728气温差x1234用电量y（度）30416085通过散点图分析，可得出x与y近似成线性关系（）求表中样本中心点（，）和y与x间的线性回归方程；（）根据上面回归方程，预测最高温度为30度时，本单位一天的用电量提示：用最小二乘法求线性回归方程x+a，其中系数公式：，ab【分析】（）由表中数据计算平均数和回归系数，得出样本中
21、心点和线性回归方程；（）计算温度为30度时对应x的值，再求出对应的值【解答】解：（）由表中数据，计算（1+2+3+4）2.5，（30+41+60+85）54，样本中心点（2.5，54）；xiyi130+241+360+485632，12+22+32+4230，18.4，ab5418.42.58，y与x间的线性回归方程为18.4x+8；（）温度为30度时，对应x30246，计算18.46+8118.4，即预测最高温度为30度时，本单位一天的用电量为118.4度【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题18（12分）某经贸活动考察小组拟从8名外语优秀大学毕业生中选取4人参加考察活动，
22、已知8人中，有5人为英语系毕业，其余为俄语系毕业（）若从名单中随机抽取，求其中一定有俄语毕业生的概率；（）设其中俄语毕业生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E【分析】（）基本事件总数n70，利用对立事件概率计算公式能求出从名单中随机抽取，其中一定有俄语毕业生的概率（）设其中俄语毕业生的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望E【解答】解：（）某经贸活动考察小组拟从8名外语优秀大学毕业生中选取4人参加考察活动，8人中，有5人为英语系毕业，其余为俄语系毕业基本事件总数n70，从名单中随机抽取，其中一定有俄语毕业生的概率：P11（）设其中俄语
23、毕业生的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，P（0），P（1），P（2），P（3），随机变量的分布列为：0123P随机变量的数学期望E【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（12分）已知函数f（x），g（x）x，其中mR，m0（I）求函数f（x）的极值；（）对任意实数x1，x21，+），都有f（x1）g（x2）恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（）问题转化为f（x）maxg（x）mi
24、n，分别求出f（x）使得最大值和g（x）的最小值，得到1m2，解出即可【解答】解：（）f（x），令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，故f（x）在（，2）递增，在（2，+）递减，故f（x）maxf（2），（）由（）f（x）maxf（2），而g（x）1+0，故g（x）在1，+）递增，故g（x）ming（1）1m2，对任意实数x1，x21，+），都有f（x1）g（x2）恒成立，只需f（x）maxg（x）min，即1m2，解得：m【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题20（12分）平面直角坐标系中，动点H（x，y）到点F（
25、1，0）的距离比到y轴的距离大1，H（x，y）的轨迹为曲线C，P（4，t）为C上一点（）求曲线C的标准方程；（）若M（1，0），过M和P的直线l1与抛物线交于另一点Q，求的值；（）若N（m，0），直线l2过N，且与抛物线C相交于A，B两点，是否存在定值m，使OAOB恒成立？若有，求出m；若无，分析说明理由（O为坐标原点）【分析】（）运用抛物线的定义可解决；（）直线与圆锥曲线的位置关系；（）存在型问题【解答】解：（）根据题意得，动点H（x，y）到点F（1，0）的距离与到直线x1的距离相等，由抛物线的定义得曲线C的标准方程为y24x；（）设P（4，4）则直线MP：y与y24x联立得Q（，1），；（
26、）假设存在m值符合题意，设直线l2：xky+m与y24x联立得y24ky+4m，y1+y24k，y1y24mx1x2+y1y2+4mm2+4m0，m0或4又m0不合题意，存在m4符合题意【点评】本题考查轨迹方程的求法及直线和圆锥曲线的位置关系21（12分）已知函数g（x）alnx+bx22x+，函数h（x）x（）若函数g（x）的图象在x1处恰好与函数h（x）的图象相切求实数a，b；（）若b0，讨论g（x）在定义域上的单调性；（）若b0，f（x）g（x）+h（x），且对任意实数xe2，+），都有f（x）0恒成立，求实数a的取值范围（其中e为常数，约为2.718）【分析】（）利用导数的几何意义列方
27、程可求得（）先求导，在讨论a得导数的符号可得函数的单调性（）分离参数后，将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后构造函数利用导数求函数最值【解答】解：（）g（x）+2bx2，g（1）a+2b21即a+2b30，又g（1）b+h（1）1，b2，a1，（）b0时，g（x）alnx2x+，g（x），当a0时，g（x）0，g（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，x时，g（x）0； x（，+）时，g（x）0； 此时g（x）在（0，）上增函数，在（，+）上是减函数（）当b0时，f（x）g（x）+h（x）alnxx，对任意实数xe2，+），都有f（x）0恒成立 等价于a在e2，+）上恒成立，令（x），xe2
28、，+），则a（x）min，又（x），xe2，lnx10，（x）0，（x）在e2，+）上是增函数，（x）min（e2），a故答案为：实数a 的取值范围是（【点评】本题考查了导数的几何意义、导数的综合应用、分类讨论思想、构造法、分离参数法属难题选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)22（10分）面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（1，5）点，倾斜角为；同一坐标系中，以O为原点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为272（sin+cos）（）写出直线的参数方程，将曲线C化为标准直角坐标方程并筒要说明其主要几何特征；（）已知直线l和曲线C交于A，B两点，求|AB|长【分析】
29、（）由直线l经过点A（1，5）点，倾斜角为，能求出直线的参数方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的标准直角坐标方程，从而得到曲线C是以（1，1）为圆心，以3为半径的圆（）直线l的普通方程为xy40，联立，得2x212x+170，由此能求出|AB|【解答】解：（）直线l经过点A（1，5）点，倾斜角为，直线的参数方程为，t是参数曲线C的极坐标方程为272（sin+cos）曲线C的直角坐标方程为x2+y272x+2y，曲线C的标准直角坐标方程为：（x1）2+（y1）29，曲线C是以（1，1）为圆心，以3为半径的圆（）直线l的普通方程为xy40，联立，得2x212x+170，1441360，设A（x
30、1，y1），B（x2，y2），x1+x26，x1x2，|AB|2【点评】本题考查直线的参数方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修4-5:不等式选讲(本小题满分0分)23函数f（x）|2x1|+|ax3|，xR（）若a1，解不等式f（x）5；（）若a2，且f（x）+b0在R上无解，求实数b的取值范围【分析】（）通过对x取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，转化为一次不等式，解之取并即可；（）代入a的值，问题转化为|2x1|+|2x3|b在R无解，求出|2x1|+|2x3|的最小值，求出b的范围即可【解答】解：（）a1时，f（x）|2x1|+|x3|，f（x）5，或 或，解得x，或x3，或x，x3不等式的解集为，3（）a2时，f（x）+b0在R上无解，即|2x1|+|2x3|b在R无解，而|2x1|+|2x3|2x12x+3|2，故只需b2，解得：b2【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
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