1、2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知实数a、b、c，且ab，则下列不等式正确的是（）Aa2b2BCa+1b1Dac2bc22（5分）抛物线x216y的准线方程为（）Ay4By8Cx4Dx83（5分）若命题p：a，bR，a2+b20，则p为（）Aa，bR，a2+b20Ba，bR，a2+b20Ca，bR，a2+b20Da，bR，a2+b204（5分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定5（
2、5分）已知目标函数z3x2y，若实数x、y满足不等式组，则有（）Azmax13，zmin2Bzmax13，z无最小值Czmin2，z无最大值Dz既无最大值，也无最小值6（5分）已知平面的法向量为，直线AB与平面相交但不垂直，则向量的坐标可以是（）A（2，2，2）B（1，3，2）C（2，1，1）D（1，2，3）7（5分）关于x的不等式mx2（1m）x+10对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）ABCD8（5分）正四棱锥PABCD中，设，O为底面ABCD中一点，且PO面ABCD，则（）ABCD9（5分）等比数列an中，公比q1，且a4+a84，则a6的取值范围为（）A（0，2B（0，2）C（
3、2，0）（0，2）D2，210（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）ABCD11（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，a110，nN*，若S120，S130，则数列|an|的最小项是（）A第6项B第7项C第12项D第13项12（5分）已知F为抛物线y212x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|6，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P
4、为椭圆上一动点，PF1F2面积最大值为 14（5分）已知数列an的首项a11，且（n1），则a5 15（5分）已知菱形ABCD所在平面与等腰直角ABE所在平面相交，ABE90，点D在平面ABE上的射影为棱AE上的中点O，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为 16（5分）已知椭圆的右焦点F关于直线对称的点在椭圆上，则椭圆的离心率为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知k1，命题p：1mk；表示焦点在y轴上的椭圆（1）若k3，且pq为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a
5、，b，c，且（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为，a+b13，求ABC外接圆的周长19（12分）等差数列an的前n项和为Sn，a15，S60；数列bn中，b23，且满足bn+13bn0（nN*）（1）求an，bn的通项；（2）求数列an+bn+1的前n项和Tn20（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，点E、F分别为AA1、A1D1的中点（1）证明：AC1平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值21（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧
6、原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2x6）（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围22（12分）如图所示，椭圆C：的短轴为AB，|AB|2，离心率，P为第一象限内椭圆上的任意一点，
7、设PHy轴于H，Q为线段PH的中点，过B作直线ly轴（1）求椭圆C的方程；（2）若P的纵坐标为，求直线AQ截椭圆C所得的弦长；（3）若直线AQ交直线l于M，D为直线l上一点，且DQOQ（O为原点），证明：D为线段BM的中点2018-2019学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知实数a、b、c，且ab，则下列不等式正确的是（）Aa2b2BCa+1b1Dac2bc2【分析】令c0、a1、b1，可得A、B、D都不正确，只有C正确，从而得出结论【解答】解：若a1，b1，则
8、A，B错误，若c0，则D错误，ab，a+1abb1，a+1b1，故C正确，故选：C【点评】本题主要考查不等式与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小，可用特殊值代入法，属于基础题2（5分）抛物线x216y的准线方程为（）Ay4By8Cx4Dx8【分析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得抛物线的开口方向以及p的值，由抛物线的准线方程分析可得答案【解答】解：由已知2p16，所以p8，所以准线方程为y4，故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程，涉及其准线方程的求法，注意分析抛物线的开口方向3（5分）若命题p：a，bR，a2+b20，则p为（）Aa，bR，a2+b20Ba，bR，a2+b20C
9、a，bR，a2+b20Da，bR，a2+b20【分析】根据存在性命题的否定形式，写出p即可【解答】解：命题p：a，bR，a2+b20，则p为：a，bR，a2+b20故选：B【点评】本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题4（5分）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【分析】由sin2A+sin2Bsin2C，结合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC可判断C的取值范围【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得cosCABC是钝角三角形故选：C
10、【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题5（5分）已知目标函数z3x2y，若实数x、y满足不等式组，则有（）Azmax13，zmin2Bzmax13，z无最小值Czmin2，z无最大值Dz既无最大值，也无最小值【分析】画出不等式组表示的可行域，由目标函数求出最优解，再计算目标函数的最大、最小值【解答】解：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z3x2y得yx，平移直线yx，经过A时，最大，由，求得A（0，1），此时z最小，z最小值为30212；同理，在B点时，最小，由，求得B（3，2），此时z最大，最大值为332（2）13故选：A【点评】本题
11、考查了简单的线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题6（5分）已知平面的法向量为，直线AB与平面相交但不垂直，则向量的坐标可以是（）A（2，2，2）B（1，3，2）C（2，1，1）D（1，2，3）【分析】容易看出选项A的向量与平行，从而直线AB和平面垂直；选项B，C的向量与垂直，从而直线AB与平面平行或在内，从而判断出A，B，C都错误，只能选D【解答】解：选项A的向量与平行，从而线面垂直，选项B、C的向量与垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D的向量与不平行，也不垂直；的坐标可以是（1，2，3）故选：D【点评】考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，
12、平面法向量的概念7（5分）关于x的不等式mx2（1m）x+10对任意实数x都成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【分析】分m0和m0进行讨论，若m0，则二次函数开口向上，0，列出不等式解出【解答】解：当m0时，不等式为x+10，即x1，不符合题意当m0时，mx2（1m）x+m0对任意实数x都成立，则m0且（1m）24m0，解得32m3+2故选：C【点评】本题考查了二次不等式与二次函数的关系，对m进行讨论是关键8（5分）正四棱锥PABCD中，设，O为底面ABCD中一点，且PO面ABCD，则（）ABCD【分析】利用三角形法则把表示成，再利用平行四边形法则化解，得解【解答】解：，故选：C【点评】此
13、题考查了向量加减法，难度不大9（5分）等比数列an中，公比q1，且a4+a84，则a6的取值范围为（）A（0，2B（0，2）C（2，0）（0，2）D2，2【分析】根据a4+a64即可得出a4，a6，a8都为正数，并且an为等比数列，从而得出，这样即可得出a6的取值范围【解答】解：由已知得a4，a6，a8同为正数；，当且仅当a4a82时取等号，（此时q1）；0a62；a6的取值范围为（0，2故选：A【点评】考查等比数列的定义，等比中项公式，以及基本不等式的应用10（5分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的一个焦点坐标为，且圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程是（）ABCD【
14、分析】由题意可知焦点在y轴上，焦点到渐近线的距离为1，即b1，求出a，b的关系，结合焦点为F（0，），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程【解答】解：双曲线的一个焦点坐标为，则c由题意可知焦点在y轴上，焦点到渐近线的距离为1，即b1，2，则双曲线的方程是，故选：B【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键11（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，a110，nN*，若S120，S130，则数列|an|的最小项是（）A第6项B第7项C第12项D第13项【分析】由题意S120，S130，结合等差数列的求和公式即可判断【解答】解：由
15、题由题意S120，S130，得a6+a70，a70，所以a60，a6|a7|，所以|a7|最小故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题12（5分）已知F为抛物线y212x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|6，则|PA|+|PO|的最小值为（）A6BCD【分析】利用抛物线的定义由|AF|6得到A到准线的距离为6，即可求出点A的坐标，根据：“|PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：|AF|6，由抛物线的定义得点A到准线的距离为6，即A点的
16、横坐标为3，又点A在抛物线上，从而点A的坐标为（3，6）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（6，0），则|PA|+|PO|的最小值为，故选：D【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，PF1F2面积最大值为12【分析】根据椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，PF1F2的面积最大【解答】解：椭圆中，a225，b29，c2a2b216，b3，c4由椭圆的几何性质知，当点P为
17、椭圆的短轴端点时，PF1F2的面积最大，故|F1F2|bbc12，故答案为：12【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于基础题14（5分）已知数列an的首项a11，且（n1），则a5【分析】运用数列的递推关系式计算可得结果【解答】解析：因为a11，所以代入题中关系式可得，故答案为：【点评】本题考查数列的递推关系式及数列中项的求法15（5分）已知菱形ABCD所在平面与等腰直角ABE所在平面相交，ABE90，点D在平面ABE上的射影为棱AE上的中点O，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为【分析】据条件可得出OE，OB，OD三直线两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设O
18、AOBOE1，从而可得出E（1，0，0）B（0，1，0）A（1，0，0），D（0，0，1），从而得出，并可求出，这样即可根据即可求出异面直线AB与CE所成角的余弦值【解答】解：根据条件知，OE，OB，OD三直线两两垂直，分别以OE，OB，OD为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设OAOBOE1，则：E（1，0，0）B（0，1，0）A（1，0，0），D（0，0，1）；，；异面直线AB与CE所成角的余弦值为：故答案为：【点评】考查通过建立空间直角坐标系解决空间几何的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，向量夹角的余弦公式，以及异面直线所成角的定义及范围16（5分）已知椭圆的右焦点F关于直线对称的点在
19、椭圆上，则椭圆的离心率为【分析】如图，直线的斜率为，可得MOF是一个的直角三角形，再判断PFF也是一个直角三角形了，利用椭圆的定义和离心率公式即可求出【解答】解：如图，直线的斜率为，MOF是一个的直角三角形，因为原点O为FF的中点，且M为FP的中点，所以OM为PFF的中位线，所以，PFF也是一个直角三角形，且，从而，由定义易得，又因为|FF|2c，所以|PF|2+|PF|2|FF|2，所以，故离心率为故答案为：【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力是，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知k1，命题p：1mk；表示焦点在y轴上
20、的椭圆（1）若k3，且pq为真命题，求m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求k的取值范围【分析】（1）当q为真时，0m2，又pq为真命题，从而p真且q真由，求解即可得m的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件，可得集合m|1mk是集合m|0m2的真子集，从而可求出k的取值范围【解答】解：（1）当q为真时，0m2，又pq为真命题，从而p真且q真由，得1m2m的取值范围为（1，2）；（2）p是q的充分不必要条件集合m|1mk是集合m|0m2的真子集，1k2【点评】本题考查了椭圆的性质，考查了充分必要条件的判定，是基础题18（12分）已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b
21、，c，且（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为，a+b13，求ABC外接圆的周长【分析】（1）直接利用正弦定理的应用求出C的值（2）利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出c的值再利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式求出外接圆的直径，最后求出周长【解答】解：（1），又角C为锐角，（2），ab40又a+b13，从而a2+b289，由余弦定理得c2a2+b22abcosC49，c7，外接圆的周长为 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（12分）等差数列an的前n项和为Sn，a15，S60；数列bn中，b23，
22、且满足bn+13bn0（nN*）（1）求an，bn的通项；（2）求数列an+bn+1的前n项和Tn【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）an成公差为d的等差数列，S66a1+15d30+15d0，d2，ana1+（n1）d5+2（n1）2n7，又bn+13bn0，即，bn为公比q3的等比数列，33n23n1；（2）等差数列an的前n项和，等比数列bn的前n项和为，数列an+bn+1的前n项和Tn【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式
23、和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题20（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，点E、F分别为AA1、A1D1的中点（1）证明：AC1平面BDE；（2）求二面角FBED的余弦值【分析】（1）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC1平面BDE（2）求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角FBED为锐二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值【解答】（本小题满分12分）证明：（1）如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A（
24、0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），（2分），（3分），AC1BD；，AC1BE（5分）BD与BE是平面BDE内两条相交直线，AC1平面BDE（6分）解：（2）由（）进一步得，则设平面BDE的法向量为，可取（7分）设平面FBE的法向量为由，得取x1，得（9分）（11分）由于二面角FBED为锐二面角，故所求二面角的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火
25、车站正在不断建设目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2x6）（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围【分析】（1）设总造价为y元，列出y900（x+
26、）+7200利用基本不等式求解函数的最值即可（2）由题意可得，对任意的x2，6恒成立.恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可【解答】解：（1）设甲工程队的总造价为y元，则（4分）当且仅当，即x4时等号成立即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元 （6分）（2）由题意可得，对任意的x2，6恒成立（7分）即，从而.恒成立，又当且仅当，即x2时等号成立（11分）所以0a12（12分）【点评】本题考查函数的应用，实际问题的处理方法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力22（12分）如图所示，椭圆C：的短轴为AB，|AB|2，离心率，P为第一象限内椭圆上的任意一点，设PH
27、y轴于H，Q为线段PH的中点，过B作直线ly轴（1）求椭圆C的方程；（2）若P的纵坐标为，求直线AQ截椭圆C所得的弦长；（3）若直线AQ交直线l于M，D为直线l上一点，且DQOQ（O为原点），证明：D为线段BM的中点【分析】（1）先求出b1，再根据离心率公式和a2b2+c2，即可求出，（2）根据弦长公式即可求出，（3）设P（x0，y0），求出点M和D的坐标根据DQOQ（O为原点）即可证明【解答】解：（1）|AB|2b2，b1又，a2椭圆C的方程：（2）由点P在椭圆上，xp0，得，直线AQ：代入，整理得：，从而所截弦长为证明（3）设P（x0，y0），则，+y021直线AQ：，与直线l：y1联立，得设D（xD，1），由DQOQ，得解得：，代入式化简所以，代入式，得，从而得证（法二）简解：易得点Q的轨迹方程为x2+y21，设Q（x0，y0），D（xD，1），M（xM，1）由kAMkAQ，kOQkDQ1，可得，可得（法三）简解：接法二，易知直线DB，直线DQ为圆x2+y21的切线，所以DBDQ又BQA90，从而BQM为直角三角形，易证明DBDQDM【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、直线与圆的位置关系、中点坐标公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题
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