1、2018-2019学年辽宁省实验中学、东北育才学校、大连八中、鞍山一中等高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设i是虚数单位，为实数，则实数a的值为（）A1B2CD2（5分）在x（2x+y）5的展开式中x3y3的系数是（）A40B80C20D103（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且0.95x+a，则a（）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.94（5分）用反证法证明命题：“若实数a，b满足a2+b20，则a，b全为0”，其反设正确的是（）A假设a，b至少有一个为0B假设a，b至少有一个不为0C假设
2、a，b全不为0D假设a，b全为05（5分）已知函数f（x）图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（2）f（3）f（2）C0f（3）f（3）f（2）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）6（5分）定积分（+x）dx（）A+BC+1D7（5分）2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（）A720B360C270D1808（5分）设i是虚数单位，则2i+3i2+4i
3、3+2020i2019的值为（）A10101010iB10111010iC10111012iD10111010i9（5分）已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为（）ABCD10（5分）在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（）A甲B乙C丙D丁11（5分）某师范大学数学学院在2019年元且联欢会上要安排3个歌舞类节目、两个小品类节目和1个相声
4、类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B168C144D12012（5分）已知f（x）+f（x）x+1，且f（0）1，g（x）xf（x）x21若关于x的方程（g（x）2+（m+1）g（x）+0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x10x2x3，其中mR，e2，71828为自然对数的底数，则（g（x1）2g（x2）g（x3）的值为（）ABeC1D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸对应的题号后面的横线上）13（5分）若随机变量XB（4，P），且E（X）2，则D（2X3） 14（5分）聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无
5、所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”，则按照以上规律，若具有穿墙术，则n 15（5分）设（x2+1）（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，则a1+a2+a10 16（5分）设直线ym与曲线C：yx（x2）2的三个交点分别A（a，m），B（b，m），C（c，m），其中abc则实数m的取值范围是 ，a2+b2+c2的值为 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程及演算步骤17（12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，
6、采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如：分组70，80）80，90）90，100）100，110）甲校频数231015乙校频数1298分组110，120）120，130）130，140）140，150）甲校频数15x31乙校频数1010y3（）计算x，y的值；（）若规定考试成绩在120，150为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（）若规定考试成绩在120，150内为优秀，由以上统计数据填写右面22列联表若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.481
7、6.63510.828甲校乙校总计优秀 非优秀 总计 附：，na+b+c+d18（12分）已知函数f（x）mx2lnx，mR（）若f（x）0恒成立，试求实数m的取值范围；（）若函数g（x）f（x）的图象在点A（x0，y0）处的切线为直线ym试求实数xo的值19（12分）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行996工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反劳动法的一种对员工的压榨行为，有的人认为只
8、有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行996工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别（单位：百元）0，20）20，40）40.60）60，80）80，100）频数（人数）22504502908（）求所得样本的中位数（精确到百元）；（）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布N（51，152），若该集团共有员工4000，试
9、估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（）已知样本数据中期望补贴数额在80，100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y，求Y的分布列和数学期望附：若XN（，2），则P（X+）0.683P（2X+2）0.954，P（3X+3）0.99720（12分）若数列an的前n项和为Sn，且a13，Sn2Sn1+4（n2）（）求a2，a3，a4；（）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明21（12分）已知aR，函数f（x）alnx+（）讨论函数f（x）的单调性；（）若a1，且F（x）（x1）+mx（1f（x）在m（0，2）时有极大值点x0
10、（x01），求证：F（x0）1请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：极坐标与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos，点P是曲线C1上的动点，点Q在OP的延长线上，且|PQ|3|OP|，点Q的轨迹为C2（1）求直线l及曲线C2的极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点M，与曲线C2交于点N（与原点不重合），求的最大值选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x
11、）|2x1|+a|x1|（）当a2时，f（x）b恒成立，试求实数b的取值范围；（）若f（x）|x2|的解集包含，2，求实数a的取值范围2018-2019学年辽宁省实验中学、东北育才学校、大连八中、鞍山一中等高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设i是虚数单位，为实数，则实数a的值为（）A1B2CD【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解【解答】解：为实数，2a10，即a故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）在x（2x+y）5的展开式中x3y3的系数是（）A40B8
12、0C20D10【分析】根据题意写出展开式中x3y3项，即可得出结果【解答】解：x（2x+y）5的展开式中x3y3的项为x40x3y3，故选：A【点评】本题考查二项式定理的基本知识，属于容易题3（5分）已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且0.95x+a，则a（）x0134y2.24.34.86.7A2.2B2.6C2.8D2.9【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可【解答】解：由题意2，4.5因为回归直线方程经过样本中心，所以4.50.952+a，所以a2.6故选：B【点评】本题考查回归直线方程的应用，回归直线方程经过样本中心是解题的关键4（5分）用反证法证明命题：“若实
13、数a，b满足a2+b20，则a，b全为0”，其反设正确的是（）A假设a，b至少有一个为0B假设a，b至少有一个不为0C假设a，b全不为0D假设a，b全为0【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设【解答】解：由于“a，b全为0”的否定为：“a，b至少有一个不为0”故选：B【点评】本题考查反证法，属于一般基础题5（5分）已知函数f（x）图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A0f（2）f（3）f（3）f（2）B0f（3）f（2）f（3）f（2）C0f（3）f（3）f（2）f（2）D0f（3）f（2）f（2）f（3）【分析】由题意，作出f（3）、f（3）f（2）、f（2
14、）所表示的几何意义，从而求解【解答】解：如下图：f（3）、f（3）f（2）、f（2）分别表示了直线n，m，l的斜率，故0f（3）f（3）f（2）f（2），故选：C【点评】本题考查了学生的作图能力及对导数的几何意义的理解，属于中档题6（5分）定积分（+x）dx（）A+BC+1D【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果【解答】解：故选：A【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7（5分）2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个
15、窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（）A720B360C270D180【分析】根据题意，分2步进行：在6名学生中任选2名安排在两端的两个窗户，将剩下的4名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行：在6名学生中任选2名安排在两端的两个窗户，有30种情况；将剩下的4名学生平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个窗户，有种情况，则一共有306180种不同的安排方案故选：D【点评】本题考查排列、组合及计数原理知识，属于一般基础题8（5分）设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+20
16、20i2019的值为（）A10101010iB10111010iC10111012iD10111010i【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出【解答】解：设S2i+3i2+4i3+2020i2019iS2i2+3i3+2020i2020则（1i）Si+i+i2+i3+i20192020i2020i+2021+i，S故选：B【点评】本题考查了错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的
17、概率为（）ABCD【分析】设已知第一次拿到红球为事件A，第二次拿到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可【解答】解：设第1次拿到红球为事件A，第2次拿到白球为事件B，则n（A）27，n（AB）6，所以P（B|A）故选：D【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键10（5分）在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（）A甲B乙C丙D丁【分析】分别假设考满分的是甲、乙、丙、丁，分析
18、判断四个人的话的真假，能求出结果【解答】解：若甲考满分，则甲、乙、丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意；若乙考满分，则乙、丙说的是假话，甲和丁说的是真话，不合题意；若丙考满分，则甲、乙、丁说的都是真话，丙说的是假话，不合题意；若丁考满分，则甲、丙说的真话，乙、丁说的假话，不合题意综上，甲考满分故选：A【点评】本题考查合情推理，属于容易题11（5分）某师范大学数学学院在2019年元且联欢会上要安排3个歌舞类节目、两个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A72B168C144D120【分析】根据题意，分2步进行分析：先将歌舞类节目全排列，因为3个歌舞类节目不能相
19、邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分两步进行分析：（1）先将3个歌舞类节目全排列，有6种情况，排好后，有4个空位；（2）因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有4种情况，拍好后，最后1个小品类节目放在两端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是64248种；将中间两个空位安排2个小品类节目，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是62672种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72120，故选：D【点评】本
20、题考查排列、组合知识，要注意分步分析与分类讨论的综合运用，属于中档题12（5分）已知f（x）+f（x）x+1，且f（0）1，g（x）xf（x）x21若关于x的方程（g（x）2+（m+1）g（x）+0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x10x2x3，其中mR，e2，71828为自然对数的底数，则（g（x1）2g（x2）g（x3）的值为（）ABeC1D【分析】由条件可设f（x）x+ex，可得g（x）的解析式，求得导数和单调性、极值，画出图象，令tg（x），由关于x的方程（g（x）2+（m+1）g（x）+0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x10x2x3，可得t2+（m+1）t+0有两个不等
21、实根t1，t2，运用韦达定理可得所求值【解答】解：f（x）+f（x）x+1恒成立，可设f（x）x+ex，满足f（x）+f（x）x+ex+1exx+1，满足f（0）1，g（x）xf（x）x21xex1，再令tg（x），t（1x）ex，可得x1时，t0，函数t递减；x1时，t0，函数t递增，可得函数t在x1处取得最大值，且为e11，由关于x的方程（g（x）2+（m+1）g（x）+0有三个不等的实数根x1，x2，x3，且x10x2x3，可得t2+（m+1）t+10有两个不等实根t1，t2，且t1x1ex11，t2x2ex21x3ex31，且t1t2，可得（g（x1）2g（x2）g（x3）（t1t2）
22、2e，故选：B【点评】本题考查函数方程的转化思想，考查构造函数法和数形结合思想，化简运算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题纸对应的题号后面的横线上）13（5分）若随机变量XB（4，P），且E（X）2，则D（2X3）4【分析】推导出E（X）4p2，解得p，从而D（X）1，再由D（2X3）22D（X），能求出结果【解答】解：随机变量XB（4，P），且E（X）2，E（X）4p2，解得p，D（X）1，D（2X3）22D（X）4故答案为：4【点评】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）聊斋志异中有这样一
23、首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”，则按照以上规律，若具有穿墙术，则n24【分析】观查分母就行了，分母项数（分子+1），按照这个规律可以求得结果【解答】解：因为313，824，1535所以n4624，故答案为：24【点评】本题考查归纳推理，是与数字有关的推理，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关知识，入等差数列、等比数列等，基础题15（5分）设（x2+1）（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，则a1+a2+a10【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x可
24、得a0，再令x1可得2a0+a1+a2+a10，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，（x2+1）（4x3）8a0+a1（2x1）+a2（2x1）2+a10（2x1）10，令x，即2x10，则有a0，再令x1，即2x11，则有2a0+a1+a2+a10，则有a1+a2+a102；故答案为：【点评】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值法的运用，属于基础题16（5分）设直线ym与曲线C：yx（x2）2的三个交点分别A（a，m），B（b，m），C（c，m），其中abc则实数m的取值范围是（0，），a2+b2+c2的值为8【分析】根据题意，求出函数f（x）的导数，利用函数的导数与单调性的关系分析可得f
25、（x）的单调性以及单调区间，进而可得f（x）的极大、极小值，据此判断t的取值范围；构造函数g（x）x（x2）2m，分析可得函数g（x）x34x2+4xm0有三个根，依次为a、b、c，根据根与系数的关系得出abc，a2+b2+c2，a+b+c的值再计算可得所求【解答】解：根据题意，设f（x）x（x2）2，其导数f（x）3x28x+4，令f（x）0，解得或x2，则f（x）在和（2，+）上是增函数，在上是减函数，故f（x）的极大值为，极小值为f（2）0，若直线ym与曲线C：yx（x2）2有三个交点，必有，即m的取值范围为（0，）；设g（x）f（x）mx（x2）2mx34x2+4xm，若直线ym与曲线
26、C：yx（x2）2有三个交点，且其坐标分别为A（a，m），B（b，m），C（c，m），则函数g（x）x34x2+4xm0有三个根，依次为a、b、c，则有x34x2+4xm（xa）（xb）（xc）x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabc，变形可得：abct，a+b+c4，ab+bc+ac4，则a2+b2+c2（a+b+c）22（ab+bc+ac）8，故答案为：（0，）；8【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，涉及三次方程根与系数的关系，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要文字说明、证明过程及演算步骤17（12分）甲乙两个学校高三年级分别有110
27、0人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如：分组70，80）80，90）90，100）100，110）甲校频数231015乙校频数1298分组110，120）120，130）130，140）140，150）甲校频数15x31乙校频数1010y3（）计算x，y的值；（）若规定考试成绩在120，150为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（）若规定考试成绩在120，150内为优秀，由以上统计数据填写右面22列联表若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成
28、绩有差异P（K2k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.4816.63510.828甲校乙校总计优秀102030非优秀453075总计5550105附：，na+b+c+d【分析】（I）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数，（II）依据频率分布表估计出两个学校的优秀率（III）根据所给的条件写出列联表，计算观测值，同临界值比较得出结论【解答】解：（I）依题甲校抽取10555（人），乙校抽取10550（人），所以x6，y7；（II）若规定考试成绩在120，150内为优秀，估计乙校优秀率为40%；（III）根据所给的条件列出列联表 如下； 甲校乙校总计
29、优秀102030非优秀453075总计5550105计算K26.109，且6.1093.841，所以有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率意义18（12分）已知函数f（x）mx2lnx，mR（）若f（x）0恒成立，试求实数m的取值范围；（）若函数g（x）f（x）的图象在点A（x0，y0）处的切线为直线ym试求实数xo的值【分析】（）由题意可得mx2lnx0，x0，即有m的最大值，求得h（x）的导数，可得单调性和最值，可得所求范围；（）求得g（x）的导数，可得m，x0的方程，x01+lnx02x0lnx
30、00，设t（x）x1+lnx2xlnx，求得导数，单调性和最值，即可得到所求值【解答】解：（）若f（x）0恒成立，即为mx2lnx0，x0，即有m的最大值，由h（x）的导数为h（x），当x时，h（x）0，h（x）递减；当0x时，h（x）0，h（x）递增，可得h（x）在x处取得最大值，可得m；（）函数g（x）f（x）mx，导数为g（x）m，图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为m0，且mx0m，化为x01+lnx02x0lnx00，设t（x）x1+lnx2xlnx，导数为t（x）12lnx，x0时，t（x）递减，由t（1）0，可得x1时，t（x）递减；0x1时，t（x）递增，即x1处t（x）取得
31、最大值，且为0，解得mx01【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查换元思想和化简运算能力，属于中档题19（12分）近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行996工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反劳动法的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部
32、实行996工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别（单位：百元）0，20）20，40）40.60）60，80）80，100）频数（人数）22504502908（）求所得样本的中位数（精确到百元）；（）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布N（51，152），若该集团共有员工4000，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（）已知样本数据中期望补贴数额在80，100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，
33、现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y，求Y的分布列和数学期望附：若XN（，2），则P（X+）0.683P（2X+2）0.954，P（3X+3）0.997【分析】（）设中位数为x，则0.5，由此能求出所得样本的中位数（）51，15，+281，加班补贴在8100元以上的概率为P（x8100）P（x+2）0.0228，由此能估计有多少名员工期待加班补贴在8100元以上（）Y的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E（Y）【解答】解：（）设中位数为x，则0.5，解得x51，所得样本的中位数为51（百元）（）51，15，+281，加班补贴在8100元以上的概
34、率为：P（x8100）P（x+2）0.0228，0.022835000798，估计有798名员工期待加班补贴在8100元以上（）Y的可能取值为0，1，2，3，P（Y0），P（Y1），P（Y2），P（Y3），Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P E（Y）【点评】本题考查中位数、离散型随机变量的分布列的求法及应用，考查概率的求法，考查频数分布表、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）若数列an的前n项和为Sn，且a13，Sn2Sn1+4（n2）（）求a2，a3，a4；（）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明【分析】（）根据已知结合Sn+1Snan+1
35、，可得an+12an+n1继而可以求出a2，a3，a4；（）结合（）可以推出an的通项公式，继而利用数学归纳法证明即可【解答】解：（）由Sn2Sn1+4（n2）得，两式相减，并运用Sn+1Snan+1，可得an+12an+n1因为a13，所以a22a1+116，a32a2+2113，a42a3+3128（）猜想数列an的通项公式为证明：（i）当n1时，即成立（ii）假设当nk（kN*）时猜想成立，即成立，则当nk+1时，由于ak+12ak+k1，所以，即，故当nk+1时，猜想也成立综合（i）（ii）可知，数列an的通项公式为【点评】本题考查数列的递推公式和数学归纳法，属于中档题21（12分）已
36、知aR，函数f（x）alnx+（）讨论函数f（x）的单调性；（）若a1，且F（x）（x1）+mx（1f（x）在m（0，2）时有极大值点x0（x01），求证：F（x0）1【分析】（）对函数f（x）求导，得f（x），x0；注意到aR，当a0时，aex0，所以0x1时f（x）0，f（x）单调减，x1时，f（x）0，f（x）单调增；当a0时，令f（x）0，得x1或xlna；比较两根的大小关系，即可讨论得出函数f（x）的单调性；（）把a1代入求得F（x）的极大值点x0（x01），再证明：F（x0）1即可【解答】解：（）由条件aR，函数f（x）alnx+，x0；f（x）+，x0；当a1时，aex0，所以0
37、x1时f（x）0，f（x）单调递增；x1时，f（x）0，f（x）单调递减；令f（x）0，得x1或xlna；当1ae时，0lna1，所以0xlna或x1时f（x）0，f（x）单调减，lnax1时，f（x）0，f（x）单调增；当ae时，lna1，所以x0时f（x）0，f（x）单调减；当ae时，lna1，所以0x1或xlna时f（x）0，f（x）单调减，1xlna时，f（x）0，f（x）单调增；综上述；当a1时，f（x）的减区间为（1，+），f（x）的增区间为（0，1）；当1ae时，f（x）的增区间为（lna，1），f（x）的减区间为（0，lna），（1，+）；当ae时，f（x）的减区间为（0，+）
38、；当ae时，f（x）的增区间为（1，lna），f（x）的减区间为（0，1），（lna，+）（）若a1，且F（x）（x1）+mx（1f（x），即：F（x）（x1）+mx（1lnx），m（0，2），x0；F（x）1mlnx，x0，令F（x）0，x；当0x时，F（x）0，F（x）单调递增，当x时，F（x）0，F（x）单调递减；所以F（x）在x有极大值，故F（x）的极大值点x0；F（x0）F（）m1，m（0，2），令h（m）1，0m2；h（m）；当0m1时，h（m）0，h（m）单调递减；当m1时，h（m）0，h（m）单调递增所以h（m）在m1时有最小值h（1）e11；即F（x0）1得证【点评】本题考查
39、了含参数的函数单调性的讨论，及求函数极値和最值的问题求法，证明不等式等问题，属于综合题请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑选修4-4：极坐标与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos，点P是曲线C1上的动点，点Q在OP的延长线上，且|PQ|3|OP|，点Q的轨迹为C2（1）求直线l及曲线C2的极坐标方程；（2）若射线与直线l交于点M，与曲线C2交于点N（与原点不重合），求的最大值【
40、分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：x+y40，转换为极坐标方程为：cos+sin40曲线C1的极坐标方程为2cos，点P是曲线C1上的动点，点Q在OP的延长线上，且|PQ|3|OP|，点Q的轨迹为C2所以：曲线C2的极坐标方程为：8cos（2）若射线与直线l交于点M，与曲线C2交于点N（与原点不重合），所以：，|ON|8cos，则：2cos（cos+sin）1+cos2+sin2，【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间
41、的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x）|2x1|+a|x1|（）当a2时，f（x）b恒成立，试求实数b的取值范围；（）若f（x）|x2|的解集包含，2，求实数a的取值范围【分析】（）当a2时，利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，由f（x）b恒成立，可知bf（x）min；（）f（x）|x2|的解集包含，2，a|x1|33x对x，2恒成立，然后分和1x2两种情况求出a的范围【解答】解：（）当a2时，f（x）|2x1|+2|x1|（2x1）2（x1）|1，当且仅当（2x1）（2x2）0，即时取等号，f（x）min1，f（x）b恒成立，只需bf（x）min1，b的取值范围为（，1；（）当x，2时，2x10，x2
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