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    四年级奥数第05讲-最优化问题(教)

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    四年级奥数第05讲-最优化问题(教)

    1、学科教师辅导讲义学员编号:年级:四年级课时数:3学员姓名:辅导科目:奥数学科教师:授课主题第05讲-最优化问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标学习了解最优化问题;能解决常见的最优化问题;通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。授课日期及时段T(Textbook-Based)同步课堂知识梳理一、最优化问题 在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去

    2、探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时,要考虑以下几个问题:(1)要做哪几件事;(2)做每件事需要的时间;(3)要弄清所做事的程序,即先做什么,后做什么,哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中,只有尽可能地节省时间、人力和物力,才能发挥出更大的效率。典例分析考点一:烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情:洗水壶1分钟,烧开水12分钟,把水灌入水瓶要2分钟,吃早点要8分钟,整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少?最少要几分钟?【解析】经验表明:能同时做的事尽量要同时去做,这样节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,

    3、因而洗水壶不能和烧开水同时进行;而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示: 从图上可以看出,洗水壶要1分钟,接着烧开水要12分钟,在等水开的同时吃早点、整理书包,水开了就灌入水瓶,共需15分钟。例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?【解析】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。 水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时

    4、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。考点二:煎饼问题例1、贴烧饼的时候,第一面需要烘3分钟,第二面需要烘2分钟,而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟?【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面,过3分钟后,拿下第一个,并把第二个翻过去,并放上第三个烧饼;过2分钟拿下第二个,并放第一个烧饼,过1分钟把第三个烧饼翻过来;再过1分钟取下第一个烧饼,再过1分钟三个烧饼全贴完了,只用了8分钟。32111=8分钟例2、用一个平底锅烙饼,锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟,烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼,最少需要多少分钟?【解析】一共需要5分钟。第一次:同

    5、时放两张大饼烙2分钟;第二次:将其中的一张反过来再烙1分钟,把另外一张取出,把第三张放入烙1分钟;第三次:将烙熟的一张拿出,把取出的那张放入另外一面烙1分钟,第三张也烙1分钟:第四次:将第三张的另外一面再烙1分钟。考点三:收割问题例1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地,他们同时用一台收割机进行收割,甲的麦地需要收割4小时,乙的麦地需要收割1小时,丙的麦地需要收割3小时,丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序,他们花的总时间最少?最少时间是多少?【解析】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和,因为各自收割的时间不变,所以在安排收割的顺序时,应该使等的时间尽可能少,即应该安排收割时间

    6、少的人先用,顺序是:乙、丁、丙、甲,过程可用下表表示: 从表中可以看出,四人收割的时间为:1234=10小时,三人等的时间为:13223=10小时,所以,最少时间为1010=20小时。例2、五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=

    7、9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。考点四:过河问题例1、 小明骑在马背上赶马过河,共有甲、乙、丙、丁四匹马,甲马过河需2分钟,乙马过河需3分钟,丙马过河需6分钟,丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河,要把4匹马都赶到对岸去,最少要几分钟?【解析】要使过河时间最少,应抓住以下两点:(1)同时过河的两匹马相差时间尽可能小些,才能使花时间少的马在过河时少浪费时间;(2)过河后应骑时间少的那匹马回来。因此,赶马的顺序是:小明先骑甲马赶乙马一起过河,再骑甲马返回,共需32=5分钟;然后骑丙马赶丁马一起过河后,再骑乙马返回,73=10分钟;最后骑在甲马背上赶乙马一起过河,不再回来,共需3分钟。所以,

    8、4匹马都赶到对岸去最少时间是5103=18分钟。例2、明明骑在牛背上赶牛过河,共有甲、乙、丙、丁4头牛,甲牛过河需1分钟,乙牛过河需2分钟,丙牛过河需5分钟,丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头过河,要把4头占都赶到对岸去,最少要多少分钟?【解析】此题较复杂,应抓住每次时间接近的两头牛过河,同时回来尽量骑时间短的牛返回这两个关键,进而分析解答即可先骑1分钟的,带着2分钟的过去,用时2分;然后骑一分钟的回来,用时1分;然后骑5分钟的带着6分钟的过去,用时6分;然后骑2分钟的回来,用时2分;最后骑着1分钟带着2分钟的过去,用时2分;一共13分钟考点五:其他最优问题例1、在一条公路上每隔50千米有一个粮

    9、库,共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食,乙粮库存有20吨粮食,丁粮库存有50吨粮食,还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中,如果每吨粮食运1千米要1元的运费,那么最少要花多少运费才行? 【解析】这种运输问题,运的货物越重路程越远,花费就越多。反之,如果移动的货物重量小路程近,花费的费用就少。在本题中,各粮库之间的距离相等都是50千米,一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约,甲、乙两仓库粮食合起来是30吨,还不如丁粮库的粮食多,所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用110503=1500元,乙粮库需要1205020=2000元,共用15002000=

    10、3500元。例2、用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?【解析】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是182=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:54=20平方厘米。例3、用36这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。【解析】解决这个问题应考虑两点:(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位,4和3放在个位。根据“两个因数的差越小,积越大”的规律,3应放在6的后

    11、面,4应放在5的后面。6354=3402.P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟,烧开水要12分钟,买茶叶5分钟,洗茶杯要1分钟,冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶,你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了?【解析】洗水壶和烧开水要一起,冲茶要等烧完后,也就是2+12,之后再加上要冲茶的一分钟(烧开水同时可买茶叶洗茶杯)12+2+1=152、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包,烤一个面包每面需要2分钟,那么烤三个面包最少需要多少分钟?【解析】6分钟,把两片面包放入烤架烤2分钟,烤好一面后拿出一片,另一片翻过来,放入没烤的

    12、一片2分钟。等烤好后,把烤好的拿出来,放入刚才拿出来的那片,和架子上的另一片面包一起烤另一面2分钟,搞定收工。3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务,甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排,使3人所花的时间最少?最少时间是多少?【解析】按时间从短到长,即丙、甲、乙的次序安排谈话,才能使3人所花的总时最短。当丙在谈的时候,甲和乙在等待,所以3个人都在,一共花费83分钟;当甲在谈的时候,乙在等待,丙走了,所以2个人在,一共花费102分钟;当乙在谈的时候,丙和甲都走了,所以只有1个人在,一共花费161分钟;可得:3人所花的总时间最短为83+102+161=60分钟。4、卫

    13、生室里有四名同学等候医生治病,甲打针要3分钟,乙换纱布需要4分钟,丙涂红药水需要2分钟,丁点眼药水需要1分钟。怎样安排,他们在医院等候的时间和最少?最少是多少分?【解析】医生治的顺序是:丁、丙、甲、乙。 等候的时间和为:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20分钟5、一条公路有四个储油站,它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油,乙储油站储有10吨油,丙储油站有20吨油,丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站,每吨油运1千米要2元运费,那么最少要花多少运费?【解析】应该将乙、丙的集中去甲,所花的运费最少。 丙需用220200=8000元,乙粮库需要210100

    14、=2000元: 最少共用80002000=10000元。6、小刚骑在马背上过河,共有甲、乙、丙、丁4匹马,甲马过河需7分钟,乙马过河要2分钟,丙马过河要3分钟,丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河,要把4匹马都赶到对岸去,最少要多少分钟?【解析】赶马的顺序是:先骑乙马赶丙马一起过河,再骑乙马返回,共需32=5分钟;然后骑甲马赶丁马一起过河后,再骑丙马返回,38=11分钟;最后骑在乙马背上赶丙马一起过河,不再回来,共需3分钟。所以,4匹马都赶到对岸去最少时间是5113=19分钟。7、一个长方形的周长是20分米,它的面积最大是多少?【解析】一个四边形,周长一定的条件下,以正方形的形式出现,其面积最

    15、大。 那么一个周长为20的正方形,面积非常简单:55=25平方分米.8、用58这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。【解析】(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差最小。 所以85乘76,首先最高位越大越好,个位数小的和十位数大的在一起,这样可以使积最大 课后反击1、小李阿姨要出门,出门之前她要完成以下几件事:整理房间5分钟,把衣服和水放入洗衣机要1分钟,洗衣服自动洗涤要12分钟,擦鞋要3分钟。怎样合理安排,小李阿姨在多少分钟后就可以出发了?【解析】把衣服和水放入洗衣机的时间1分钟加上洗涤的12分钟就是所需要花的时间。整理房间和擦鞋可以在洗衣服的12分钟内完成。所

    16、以13分钟后可以出发。2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼,锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟,另一面要1分钟,可小红烙6个饼只用了5分钟,她是怎么做的?【解析】先放4个一起烙2分钟后翻面,取出其中两个,放两个新的再烙1分钟,一开始的两个饼就烙好了,然后翻面,把之前取出的2个反面放入烙1分钟可以取出,再烙一分钟剩下的2个。一共花费5分钟。3、三个顾客到同一个柜台去买东西,甲需要用4分钟,乙需要用6分钟,丙需要用2分钟。怎样安排他们购买的顺序,使他们所花的总时间最少?最少是多少?【解析】这个问题主要是找出减少三人总等待时间的方法,所以用的时间少,就可以减少别人的等待时间,就是说他们的顺序应该是

    17、丙、甲、乙.总共用时是2+2(甲、乙等待时间)+4+4(乙等待时间)+6=18。4、一条公路有三所小学分别为A、B、C,在什么地方设一个汽车站,才能使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少? 【解析】设在B站。5、小强骑在牛背上过河,共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛,甲牛过河要1分钟,乙牛过河要2分钟,丙牛过河要3分钟,丁牛过河要4分钟,戊牛过河要5分钟,己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河,要把6头牛都赶到对岸去,最少要几分钟?【解析】分析:要想用时最少,先让过河用时多的先过,首先骑甲赶戊和己,骑甲回:6+1=7(分钟),再骑甲赶丙和丁,骑甲回需:4+1=5分钟,最后再骑甲赶乙需2分钟最少

    18、:7+5+2=14分钟。 6、甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水,甲洗托把需要3分钟,乙洗抹布需要2分钟,丙洗衣服需要10分钟,丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序,使他们所花的总时间最少?最少时间是多少?【解析】顺序是丁、乙、甲、丙; 一共所花时间:1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+10)=26分钟。7、一个长方形的面积是36平方厘米,并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米?【解析】36=361=182=123=94=66;所以长方形的长和宽分别是:长36厘米、宽1厘米;长18厘米、宽2厘米;长12厘米、宽3厘米;长9厘米、宽4厘米;长6厘米、宽

    19、6厘米这个长方形的周长最长是:(36+1)2=372=74(厘米),8、用38这六个数字分别组成两个三位数,使这两个三位数的乘积最大。【解析】864753=650592,854763=651602,853764=651692; 可知853764最大,值为651692 规律:首位分别取最大,两个数差距越小,积越大,得853764最大直击赛场1、有157吨货物要从甲地运往乙地,大卡车的载重量是5吨,小卡车的载重量是2吨,大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少?这时共需用油多少公升? (上海市数学竞赛试题)【解析】大卡车每吨耗油量为105=2(公升);小

    20、卡车每吨耗油量为52=2.5(公升)为了节省汽油应尽量选派大卡车运货,又由于157=531+2,因此,最优调运方案是:选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完,且这时耗油量最少,只需用油1031+51=315(公升)2、用一只平底锅煎饼,每次能同时放两个饼如果煎1个饼需要2分钟(假定正、反面各 需1分钟),问煎1993个饼至少需要几分钟? (数学解题能力展示大赛)【解析】由于1993数目较大,直接入手不容易我们不妨先从较小的数目来进行探索规律如果只煎1个饼,显然需要2分钟;如果煎2个饼,仍然需要2分钟;如果煎3个饼,初学者看来认为至少需要4分钟:因为先煎2个饼要2分钟;再单独煎第3

    21、个饼,又需要2分,所以一共需要4分钟但是,这不是最佳方案最优方法应该是:首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟;其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟;最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟;这样总共只用3分钟就煎好了3个饼如果煎1993个饼,最优方案应该是:煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟;煎后面1990个饼时,每两个饼需 要2分钟,分19902=995(次)煎完,共需要2995=1990(分钟);这样总共需要3+1990=1993(分钟)S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾(1)了解统筹规划的一般步骤;(2)理解各种题型的解答方法;(3)掌握重点题型。名师点拨重点和难点突破:(1)掌握优化的思想,合理统筹安排操作程序,就能够节省时间,提高效率;(2)掌握常见的题型,学会独立思考学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是


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