1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第8讲-相似综合二（相似三角形的分类讨论）学习目标1相似三角形的基本图形；2理解和掌握相似的分类讨论技巧教学内容（一）上次课课后巩固作业处理，建议让学生互批互改，个别错题可以让学生进行分享，针对共性的错题教师讲解为主。（2） 上次预习思考内容讨论分享一、相似三角形的基本图形：1）直角三角形：2）非直角三角形：二、确定一个相等角的相似（证明等角的方法）：1） 两全等（相似）三角形的对应角相等；2） 同一三角形中等边对等角；3） 等腰三角形中三线合一平分顶角；4） 两直线平行：同位角、内错角相等；5） 同角的等角、
2、余角、补角相等；6） 相应三角比相同的两个角相等；7） 同圆或等圆中，等弦（弧）所对的圆心角、圆周角相等；8） 圆内接四边形的外角等于内对角；1、P是RtABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条答案：C2、如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5答案：C3、如图，已知ABC，P是AB上一点，连结CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件）【答案】BACP，或ACBAPC，或AC2APAB例题1、如图，是一个正方形网络，里面有许多
3、三角形在下面所列出的各三角形中，与不相似的是( ) （A）BDE （B）BCD （C）FGH （D）BFG.参考答案：B例题2、在中，、分别为、上一点，当取何值时，与相似.参考答案：这个让我们想到A型图和反A型图 （1） （2） 这种题目学生可以想到A型图，容易疏忽反A型图，这个要重点强调例题3： 在正方形中，已知，点在边上，且，如图,点在的延长线上，如果与点、所组成的三角形相似，那么 参考答案：或例题4：点P在线段AB上移动，当AP = _时，ACP与PBD相似答案：例题5、如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ABCCDB？（2）过A作BD的垂线，
4、与DB的延长线交于点E，若ABCCDB求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）【答案】（1）ABCCDB90，当时，ABCCDB即BD即当BD时，ABCCDBABCCDB，ACBCBDACED又D90，ACD90E90四边形AEDC为矩形例题6、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由【答案】如图，是相似【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G在RtAEF与RtDEG中，E是AD的
5、中点，AEEDAEFDEG，AFEDGEAFEDGEE为FG的中点又CEFG，FCGCCFEGAFEEFC又AEF与EFC均为直角三角形，AEFEFC 存在如果BCFAEF，即k时，AEFBCF证明：当时，ECG30ECGECFAEF30BCF906030又AEF和BCF均为直角三角形，AEFBCF 因为EF不平行于BC，BCFAFE不存在第二种相似情况例题7、如图，在RtABC中，C90，BC6 cm，CA8 cm，动点P从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使SBCPSABC？【答案】当点P从点C出发，运动在CA上时，若SBCPSABC，则CPBC
6、ACBC，CPAC2（cm）故由点P的运动速度为每秒2 cm，它从C点出发1秒时，有SBCPSABC当点P从点C出发运动到AB上时，如图，可过点P作PDBC于D若SBCPSABC，则PDBCACBCPDAC2（cm）RtBACRtBPD，又AB10，故BP，APABBP107.5也就是说，点P从C出发共行15.5 cm，用去7.75秒，此时SBCPSABC答：1秒或7.75秒例题8、已知：如图，点在线段上，联结，过点作的垂线，与相交于点设线段的长为（1）当时，求线段的长；（2）设的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当时，求线段的长 参考答案：解：（1）过点作，交的延长线于点
7、，PDCD，AD / BC， = = = 90， / ，即得 又，又由，得 于是，由，得 在和中，得 ， 于是，在中，得 （2）在Rt中，由 ，得 ， 在中，所求函数解析式为 函数的定义域为 0 x 3 （3）当时，即得 根据题意，当时，有下列两种情况：（）当点与点不重合时，可知 由，得即得 由，得即得易证得四边形是矩形， （）当点点与点重合时，可知 在Rt中，由，得由，得即得解得 时，线段的长分别为4或1、如图，D是ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使ACD与ABC相似你添加的条件是 【答案】B=ACD或者ADC=ACB或者2、如图，点P是ABC边AB上一点（ABAC），下列条件不一定
8、能使ACPABC的是（ ）A B CACPB D APCACB【答案】B 3、例题2. 在ABC中，B=25，AD是BC边上的高，并且AD2=BDDC，则BCA的度数为 考点：相似三角形的判定与性质。专题：分类讨论。分析：根据已知可得到BDAADC，注意C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定BCA度数解答：解：（1）当C为锐角时，由AD2=BDDC，AD是BC边上的高得，BDAADC，CAD=B=25， BCA=65；（2）当C为钝角时，同理可得，BDAADC BCA=25+90=115 4、已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为
9、何值时，以A,D,P为顶点的三角形与以Q,C,P为顶点的三角形相似 分析：ADP与QCP相似时，D=C=90，分两种情况讨论解：正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点， PD=PC= 当DPA=CPQ时，即，解得CQ=1， ；当DPA=PQC时，解得， 5、如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，点F在CD边上，且DF = 3 FC，联结AE、AF、EF，图中是否存在与EAF相等的角？若存在，请写出并加以证明；若不存在，请说明理由参考答案：图中存在与相等的角，分别是和 由正方形ABCD得 ， E为BC中点，DF = 3 FC， ， 在和中，且 ，且 在中 ， ， ， 又， 同理6、如图，在中
10、，AC=3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F（1）当时，求的长；（2）联结，当和相似时，求的长（备用图）参考答案：（1）过点作，垂足为 易得设， 即 化简，得 解得 （负值舍去） （3）过点作，垂足为 易得 设， 当和相似时，有两种情况： 即 解得 即 解得 综合、，当和相似时，的长为或 7、在中，是边上一动点（不与端点、重合），过动点的直线与射线相交于点，与射线相交于点（1）设，点在边上，与相似，求此时的长度；（2）如果点在边上，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似，设，求与之间的函数关系式并写出函数的定义域；（3）设，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三
11、角形相似，求的值 参考答案:解：(1)由勾股定理得： 过动点的直线l与射线BC相交于点F，即DE不平行于BC， 只可能DEAB，即ADEABC（如图1） 由，解得， .(2)如图2，过点的直线l交线段于点，交的延长线于点， ， 如果与相似，那么只能. 又，. . (04)(3) 如图2，当直线l交线段于点，交的延长线于点时，时，, 由得 如图3，当直线l交线段的延长线于点、交线段BC于点F时，CD1，AD3由得，进而，由，得由，得CFBF由得： 综上所述，的值等于或8/如图，在梯形中，=，交直线于点. （1）当点与恰好重合时，求的长；（2）当点在边上时（不与、重合），设，试求关于的函数关系式，
12、并写出定义域；ABCDE231ABCDE231（3）问：是否可能使、与都相似？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由.在中，是边上一动点（不与端点、重合），过动点的直线与射线相交于点，与射线相交于点（1）设，点在边上，与相似，求此时的长度；（2）如果点在边上，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似，设，求与之间的函数关系式并写出函数的定义域；（3）设，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似，求的值 1、如图，在34的方格纸上，每个方格的边长为1个单位，的顶点都在方格的格点位置，若点在格点位置上（与点不重合），且使与相似，则符合条件的点共有 个答案：略2、如图,在中,是边的中点
13、,过点O的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有_条.答案：33、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0t6），那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与PBC相似【提示】使两种情况讨论即可得出以点为顶点的三角形与相似【答案】4、（虹口区二模） 如图，在ABC中，C=90，AC=6，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作DEF=90，EF交射线BC于点F设BE=x，BED的面积为y（1）求y关
14、于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积【答案】（1）（2）由题意知，故可以分两种情况当为锐角时，由已知以为顶点的三角形与相似，又知，所以根据等角的余角相等，可证得由（1）知：，当BEF为钝角时，同理可求得，易得5、如图，的顶点、在二次函数的图像上，又点、分别在轴和轴上，ABO（1）求此二次函数的解析式；（4分）（2）过点作交上述函数图像于点，点在上述函数图像上，当与相似时，求点的坐标（8分）解：(1) 点在二次函数的图像上， （1分） 在中， , （1分） 点B在二次函数的图像上 （1分） （1分） （2）交上述函数图像于点
15、， 设 （1分） 解得, （1分） , 设抛物线与轴的另一交点为可得， (3，0) （1分） , （1分）易得， （2分）或 6、(徐汇)（本题满分14分）如图11，在中，是斜边上的中线，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设（1）求关于的函数关系式及定义域；（4分）（2）联结，当平分时，求的长；（4分）（3）过点作交于，当和相似时，求的值（6分）解：（1）在中， （1分）是斜边上的中线， （1分），定义域为 （2分）解：（2）过点作，垂足为平分，垂足为 （1分） （1分） （1分） （1分）解：（2） （1分）当和相似时，可得和也相似 （1分）分两种情况：当时，在中，解得； （2分）
16、当时，在中， ，解得 （2分）综合，或107、(本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分） 如图，已知梯形，为射线上一动点，过点作交射线于点联结，设，（1）求的长；（2）当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）联结，若与相似，试求的长解：（1）过点作于点， ， （1分）在中， （1分） （1分） （1分）解：（2）， 与同高， （2分）由可得： （1分）， （2分，1分）解：（3），与相似， ，可证四边形是平行四边形 （2分）， 可求得： 8、如图，在中，是斜边上的中线，AC=6，点是延长线上的一动点，过点作，交延长线于点，设（
17、1）求关于的函数关系式及定义域；（2）联结，当平分时，求的长；（3）过点作交于，当和相似时，求的值参考答案：解：（1）在中，AC=6， BC=8 是斜边上的中线， ，定义域为 （2） 过点作，垂足为 平分，垂足为 （3） 当和相似时，可得和也相似 分两种情况：当时，在中，解得； 当时，在中， ，解得 综合，或10（2013宝山区一模）已知AOB=90，OM是AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且PDF与OCD相似，求OD的长 22 / 22
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