1、精锐教育辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级： 初三 辅导科目：数学授课日期主 题第5讲-相似三角形的性质学习目标1 掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；2 会用相似三角形的性质解决简单的几何问题和实际问题； 3 学会运用相似比的基本性质对应边成比例以及对应角相等；4能够证明相似三角形的各个性质教学内容回顾：（1）相似三角形的定义 如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形；（2） 已学过的相似三角形的判定定理有几条？它们的具体内容又是怎样？1、由定义可直接得三角形相似的性质：相似三角形的对应角相等，对应
2、边成比例。2、思考：相似三角形可看作是一个三角形放大（或缩小）所得到的，那么三角形中重要的三线高、中线、角平分线是否会随三角形的放大（或缩小）而一起放大（或缩小）即如果相似三角形的相似比为，那么相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和之间有何关系呢？3猜想：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比4证明猜想：如何利用已学的知识来证明猜想的结论？5证明：师生共同完成“相似三角形的对应角平分线的比等于相似比”，其他的由学生独立完成如图，ABC，相似比为k，ADBC于D，于，你能发现图中还有其他的相似三角形吗？等于什么？ 相似三角形的性质定理1：相似三角形对
3、应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.练习1：判断下列结论是否正确：相似三角形的中线比等于相似比；两个相似三角形的高的比等于它们边长的比填空题：已知的相似比为，则它们对应中线的比为；已知两个相似三角形对应高的比是，则它们的对应角平分线的比是；已知，、分别是和的角平分线，且，则 且 ， ，边上的中线为 ，求边上的中线 2、思考：相似三角形的周长比和面积比与相似比之间有怎样的关系？已知：图1中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似求：（2）与（1）的相似比_ ，（2）与（1）的周长比_; （2）与（1）的面积比_; （3）与（1）的周长比_; （3）与
4、（1）的面积比_. （3）与（1）的相似比_; 3猜想：相似三角形的周长比等于_；相似三角形的面积比等于_.4证明猜想：已知：如图，ABCA1B1C1,且相似比是k.顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应.求证：.于是得到相似三角形的性质定理2：相似三角形周长比等于相似比.性质1和2可以概括为：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长比都等于相似比.由性质1可以猜想相似三角形的面积比等于相似比平方证明猜想如下：已知：如图，ABCA1B1C1，且相似比是k.顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应.求证：.相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.引导学生用
5、几何语言表示出相似三角形性质定理.几何语言：， 练习2：1.两个相似三角形的相似比为1：4，则对应边的高的比为_，对应角的平分线的比为_,周长的比为_,面积的比为_.2.已知ABCABC，对应边的中线之比为，ABC的周长为24cm，面积为18c,则=_，ABC的周长等于_cm，ABC的面积为_c.3如图，ABC中，DE/BC,且AD:BD=4:3,则DE:BC=_,=_.（第3题图）4ABCABC，相似比为3：4，且两个三角形的面积之差为28cm2,则ABC的面积为_cm2, ABC的面积为_cm2.5.如图，梯形ABCD中，AD/BC,AC/BD交于点O，SAOD=4,SBOC=9,则=_,
6、SAOB_,S梯形ABCD_.例题1、已知：如图，在ABC中，BDAC于点D，CEAB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE（1）求证：EODBOC； （2）若SEOD16，SBOC36，求的值参考答案：（1）证明：在BOE与DOC中 BEOCDO，BOECOD BOECOD 即 又EODBOC EODBOC (2) EODBOC SEOD16，SBOC36 在ODC与EAC中 AECODC，OCDACE ODCAEC 即 试一试：在中，是的中点，且，与相交于点，与相交于点（1）求证：；（2）若，求的面积参考答案：（1）略； （2）4.5例题2：如图，已知：在与中，交于，且，交于，。求和参考答
7、案：解：，与等高 试一试：如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16则ABC的面积是 答案：48例题3：已知，如图的面积为，其中，四边形为矩形，其中在边上，在上，求矩形的面积参考答案：作交分别于，得 ， 为中点 又，设 解得： 矩形面积试一试：如图，已知的边长15厘米，高为10厘米，长方形内接于，点、在边上，点、分别在、上.（1）设，长方形的面积为，试求关于的函数解析式，并写出定义域；（2）若长方形的面积为36，试求这时的值. 解：（1）设与交于点， （2），解得或 矩形， 当时，； ，且 当时， 即 ，
8、从而 定义域为例题4已知：如图，平行四边形 ABCD中，（1）求与的周长的比； （2）如果，求参考答案：ABCD是平行四边形，又，与的周长的比是1：3又， 又与同高 试一试：在中，是边上一动点（不与端点、重合），过动点的直线与射线相交于点，与射线相交于点（1）设，点在边上，与相似，求此时的长度；（2）如果点在边上，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似，设，求与之间的函数关系式并写出函数的定义域；（3）设，以点、为顶点的三角形与以点、为顶点的三角形相似，求的值 参考答案:解：(1)由勾股定理得：如图1 过动点的直线l与射线BC相交于点F，即DE不平行于BC， 只可能DEAB，即ADEA
9、BC（如图1） 由，解得， .(2)如图2，过点的直线l交线段于点，交的延长线于点， ，l如图2 如果与相似，那么只能. 又，. . (04)(3) 如图2，当直线l交线段于点，交的延长线于点时，时，, 由得 如图3l如图3，当直线l交线段的延长线于点、交线段BC于点F时，CD1，AD3由得，进而，由，得由，得CFBF由得： 综上所述，的值等于或1如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，面积的和为41，那么这两个三角形的面积分别为_ 2竿高1.5米，影长1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔高是_米3平行四边形ABCD中，E为BA延长线上的一点，CE交AD于F点，若AEAB=13，则SABCFS
10、CDF= 4如图，在中，点分别在上，如果，的面积为4，四边形的面积为5，那么的长为 5如图，在中，动点(与点，不重合)在边上，交于点（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长6如图，在ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知SAGFSABC964，EF10，求AH的长7如图，小明用直角三角形工具测量树的高度测量时，他使斜边保持水平，并使与点在同一直线上已知两条直角边，测得边离地面的高度，则树高 ABCQDP（第13题图）8如图，已知在中，是边上的一点，=，的平分线与、分别相交于点
11、和点，那么的值等于 9已知中， =72，平分交于，过作交于，作平分、交于，过作交于，则线段的长度为 （用含有的代数式表示参考答案：116，25； 230； 3； 43；5（1）；（2）可设边长分别为，则 得 6167、10 8、 9、18或我的总结重在让学生进行总结与回顾，老师适当引导。1、 填空题1、已知两个相似三角形的相似比为3，则它们的周长比为 ；2、若ABCABC，且，ABC的周长为12cm，则ABC的周长为 ；3、如图1，在ABC中，中线BE、CD相交于点G，则= ；SGED：SGBC= ；ABCDF图5GEABCMN图3ABCDE图2ABCDEG图1ABCDE图44、如图2，在AB
12、C中， B=AED，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ；5、如图3，ABC中，M是AB的中点，N在BC上，BC=2AB，BMN=C，则 ，相似比为 ，= ；6、如图4，在梯形ABCD中，ADBC，SADE：SBCE=4：9，则SABD：SABC= ；7、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对应角的平分线的比为 ；8、如图5，在ABC中，BC=12cm，点D、F是AB的三等分点，点E、G是AC的三等分点，则DE+FG+BC= ；9、两个三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的比为 ，对应边的高的比为 ；10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个边长分别为x
13、、y、12，则x、y的值分别为 ；二、选择题11、下列多边形一定相似的为（ ） A、两个矩形 B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形12、在ABC中，BC=15cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是（ ） A、18cm B、21cm C、24cm D、19.5cmAEBCDO13、如图，在ABC中，高BD、CE交于点O，下列结论错误的是（ ） A、COCE=CDCA B、OEOC=ODOBC、ADAC=AEAB D、CODO=BOEO14、已知，在ABC中，ACB=900，CDAB于D，若BC=5，CD=3，则AD的长为（ ）APBC
14、DQR A、2.25 B、2.5 C、2.75 D、315、如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边QR上，其余两个顶点A、D在PQ、PR上，则PA：PQ等于（ ） A、1： B、1：2 C、1：3 D、2：3ABCDE16、如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点， =3，且AED=B，则AED与ABC的面积比是（ ） A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、4：9CABDE三、解答题17、如图，已知在ABC中，CD=CE，A=ECB，试说明CD2=ADBE。ABCDE18、已知，如图， 在ABC中，DEBC，AD=5，BD=3，求SADE：SABC的值。19、已知正方形ABCD，过C的直线分别交AD、AB的延长线于点E、F，且AE=15，AF=10，求正方形ABCD的边长。CABDE20、已知，如图，在等边CDE中，A、B分别是ED、DE的延长在线的点，且DE2=ADEB，求ACB的度数。21、已知，如图，在ABC中，C=600，ADBC于D，BEAC于E，试说明CDECBA。ABCDE22、已知，如图，F为 ABCD边DC延长在线一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明AE2=EGEFABCFGED向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？（任取两个向量，作图说明下） 14 / 14
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